Grundkurser inom forskarutbildningen
i Matematik & Tillämpad matematik / Numerisk analys

• [A] Algebra
• [B] Topologi
• [C] Analys

[A] Algebra

[A1] Galoisteori (5p)

Ändliga kroppsutvidgningar, Galoisgrupper, lösbarhet av polynomekvationer

Litteratur: I.N. Stewart, Galois Theory, Chapman & Hall

Ges vartannat år

[A2] Algebraisk talteori (5p)

Algebraiska tal, Dedekindringar, kvadratiska och cyklotomiska kroppar, geometriska metoder, klassgrupper, Dirichlets enhetssats, diofantiska ekvationer, lokala och analytiska metoder

Litteratur: I. Stewart, D. Tall, Algebraic number theory, Chapman & Hall, och valda delar ur D.A. Marcus, Number Fields, Springer, eller J.P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer

Ges vartannat år

[A3] Grundkurs i algebra / Algebra för doktorander, I (5p)

Moduler över ringar, multilinjär algebra, bilinjära och seskvilinjära former, Cliffordalgebror, klassiska grupper, kanoniska former av tensorer (Jordans normalform), kategorier och funktorer, halvenkelhet och grupprepresentationer, Liealgebror

Litteratur: S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, eller N. Jacobson, Basic Algebra, Freeman, samt utdelade stenciler som komplement i båda fallen

[A4] Grundkurs i algebra / Algebra för doktorander, II (3p)

Lokalisering, noetherska ringar, ringutvidgningar, Dedekindringar, dimensionering av ringar och algebraiska mångfalder, komplettering av ringar

Litteratur: se [A3] ovan

[A5] Kategorier, homologisk algebra och K-teori (6p)

Moduler över ringar, kategorier och funktorer, tensorprodukter och Hom-funktorer, deriverade funktorer, Ext och Tor, homologi- och kohomologigrupper, spektralsekvenser, K-grupper

Litteratur: J.J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Academic Press

[A6] Algebraisk geometri (6p)

Affina och projektiva algebraiska mängder, algebraiska kurvor och ytor, upplösning av singulariteter, Riemann-Rochs sats, scheman

Litteratur: W. Fulton, Algebraic Curves, Benjamin, samt delar av Hartsthorne, Algebraic Geometry, Springer

[A7] Ickekommutativa ringar (5p)

Halvenkelhet, Wedderburns sats, grupprepresentationer, Brauergrupper, halvenkla algebror och ordningar

Litteratur: N. Jacobson, Basic Algebra II, kapitel 4 och 5, och/eller S. Lang, Algebra, kapitel 17 och 18, samt J.P. Serre, Linear Representations of Finite Groups, Springer

A1 och A2 är också fördjupningskurser vid GU och måste kompletteras av doktorander för full poäng.

[B] Topologi

[B1] Allmän topologi I (5p)

Metriska, topologiska och kompakta rum, separationsaxiom

Litteratur: Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill

Ges varje år

[B2] Allmän topologi II (5p)

Välordning och Zorns lemma, kompakta rum, fullständigt regulära rum, parakompakta rum, lokalkompakta och topologiskt fullständiga rum, kvottopologier och funktionsrum

Litteratur: O. Hanner, Några kapitel om allmän topologi, kompendium

[B3] Algebraisk topologi (7p)

Singulär homologi, triangulering och cellindelning, Brouwers och Lefschetz fixpunktssatser, Jordans kurvsats, Brouwers invarianssats, fundamentalgrupper

Litteratur: O. Hanner, Inledning till algebraisk topologi, kompendium kapitel 1-23

[B4] Översiktskurs i topologi (5p)

Homotopi, överlagringsytor, homologi, tillämpningar

Litteratur: M.A. Armstrong, Basic Topology, Springer

[B5] Differentialtopologi (5p)

Sards sats, inbäddningar, transversalitet

Litteratur: Guillemin, Pollack, Differential Topology

B1 är också fördjupningskurs vid GU och måste kompletteras av doktorander för full poäng.

[C] Analys

[C1] Integrationsteori (5p)

Mått, mätbarhet, integral, konvergenssatser, olika slags konvergens, Fubinis sats, absolutkontinuitet, Radon-Nikodyms sats, derivering, begränsad variation

Litteratur: G.B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and their Applications, kapitel 1-3, Wiley

Ges varje år

[C2] Funktionalanalys (5p)

Banach- och Hilbertrum, dualitet, Hahn-Banachs sats, Baires sats med följdsatser, svag*-kompakthet, L^p-rum, Riesz representationssats

Litteratur: G.B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and their Applications, kapitel 4-7, Wiley

Ges varje år

[C3] Distributionsteori (5p)

Testfunktioner, distributioner, ordning, faltning, tempererade distributioner, Fouriertransformer

Litteratur: L. Hörmander, Distribution Theory and Fourier Analysis, kompendium, eller W.F. Donoghue, Distributions and Fourier Transforms, Academic Press

[C4] Ordinära differentialekvationer (5p)

System av differentialekvationer, existens och entydighet, randvärdesproblem, stabilitet, fasporträtt

Litteratur: Andersson, Böijers, Ordinära differentialekvationer, kompendium

[C5] Komplex analys (5p)

Analytiska, harmoniska och subharmoniska funktioner, Riemanns avbildningssats, Weierstrass, Mittag-Lefflers och Runges satser, analytisk fortsättning, Picards sats, H^p-rum, Fatous sats, F och M Riesz sats, M Riesz sats om konjugerade funktioner

Litteratur: W. Rudin, Real and Complex Analysis, kapitel 10-17

[C6] Differentiabla mångfalder (5p)

Mångfalder, tangent- och kotangentbuntar, differentialformer, Stokes sats, Poincarés lemma, Frobenius sats, Liegrupper

Litteratur: F.W. Warner, Differentiable Manifolds and Lie Groups, kapitel 1,2,4,6

[C7] Spektralteori (5p)

Kompakta operatorer, spektralsatser för kompakta operatorer, Fredholms alternativsats, resolventer, klassificering av spektrum, spektralsatser för begränsade och obegränsade självadjungerade operatorer, spektra för valda differentialoperatorer

Litteratur: K.O. Friedrichs, Spectral Theory of Operators in Hilbert Space, Springer

[C8] Partiella differentialekvationer (8p)

Existens, entydighet, regularitet, speciellt huvudtyperna av andra ordningens ekvationer

Litteratur: G.B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, Princeton

[C9] Differentialgeometri (5p)

Mångfalder, ytor, tensorer, konnektioner, krökning, riemannska mångfalder, kovariant derivata, Gauss-Bonnets sats, Hodgeteori

Litteratur: N.J. Hicks, Notes on Differential Geometry, van Nostrand

[C10] Flera komplexa variabler (6p)

Lokala egenskaper hos holomorfa funktioner, Cauchy-Riemann-komplexet, holomorfiområden, plurisubharmonicitet, pseudokonvexitet, Levis problem, Hartogs fenomen, Bochner-Martinelli-kärnan, Bergmankärnan, Henkin-Ramirez-formler, L^2-metoder och koherenta analytiska kärvar

Litteratur: R.M. Range, Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex Variables, kapitel 1-4, Springer

C1, C2 och C3 är också fördjupningskurser vid GU.