• Du ska kunna avgöra för vilka väden på en variabel (oftast \(x\)) som en olikhet gäller. I huvudsak gäller det olikheter mellan rationella uttryck (summor av bråk mellan polynom). Också andra funktioner kan förekomma. För att klara detta behöver du bland annat lära dig:

  • Räkneregler för olikheter • Skriva en summa av rationella uttryck på gemensamt bråkstreck • Faktorisera polynom (med faktorsatsen, polynomdivision och kvadratkomplettering) • Ta reda på var och hur ett linjärt uttryck växlar tecken och vilket tecken ett andragradspolynom som inte går att faktorisera har. • Avläsa var teckenväxlingar äger rum i en rationell funktion när täljare och nämnare väl är faktoriserade. • Avläsa var det rationella uttrycket ej är definierat när väl nämnaren är faktoriserad.

  Avsnitt i kurslitteraturen: P 1.11 (även S appendix A). Tentamensuppgifter: 130828 1a, 130119 1a, förekommer annars mest i teckenstudium av \(f'\) eller \(f''\). Duggor: Dugga 1, Dugga 6*? (teckenstudium)
• Du skall kunna lösa linjära ekvationssystem med Gausselimination (radreduktion) och du skall kunna avgöra om ett ekvationssystem har entydig lösning, oändligt många lösningar eller saknar lösningar. För att klara detta bör du bland annat lära dig:

  • Skriva och tolka ett ekvationssystem på matrisform • De elementära radoperationerna • Begreppen pivotelement, trappstegsform och reducerad trappstegsform • att förstå innebörden av fria variabler

  Avsnitt i kurslitteraturen: L 1.1 – 2 Tentamensuppgifter: 130828 1c, 6b, 130119 1b, 131027 1a, 120829 1c, 120114 1c, 1111022 1c Dugga: Dugga 2
• Du skall kunna använda komplexa tal för att lösa 1:a- och 2:a-gradsekvationer samt vissa enkla ekvationer av högre grad. Du skall också kunna översätta mellan \(a+ib\)-form och polär form. För att klara detta behöver du bland annat lära dig:

  • Addera och multiplicera/dividera komplexa tal och förstå den geometriska innebörden. • Att bestämma real- och imaginärdel samt argument och belopp av ett komplext tal. • Att dra rötter ur komplexa tal, genom att lösa en binomisk ekvation. • Att tillämpa de Moivres formel.

  Avsnitt i kurslitteraturen: S Appendix H. Tentamensuppgifter: 130828 1e, 6b, 130119 1c, 6d 121027 1c, 6f 120829, 6a 120114, 6a 111022 Dugga: Dugga 1
• Du skall kunna addera vektorer och multiplicera vektorer med tal (skalärer). Du skall också kunna åskådliggöra dessa operationer grafiskt. Du skall även kunna beräkna vektorers längd och kunna normera vektorer liksom bräkna skalär- och kryss-produkter och förstå den geometriska innebörden av detta. För att klara detta behöver du bland annat lära dig:

  • Sambandet mellan geometriska vektorer ("pilar" i rummet/planet) och tipler av tal. • Att skilja på och förstå sambandet mellan en punkt i rummet/planet och tillhörande lägesvektor. • Definitionen av vektoraddition. • Innebörden av, samt att kunna beräkna skalär- och vektorprodukter

  Avsnitt i kurslitteraturen: S 12.1 – 3 Tentamensuppgifter: 130828 1b, 6a, 130119 1d, 6c, 121027 1b, 6e Dugga: Dugga2
• Du skall kunna beskriva plan och linjer i rummet med ekvationer samt beräkna/avläsa normalvektorer till plan och riktningsvektorer till linjer. Du skall också kunna tillämpa skalär- och vektorprodukt för att göra längd- och avståndsberäkningar, t.ex. beräkna avståndet mellan en punkt och ett plan. För att klara detta bör du bland annat lära dig:

  • Förstå korrespondansen mellan plan/linjer och ekvationer samt ekvationssystem • Innebörden av, samt att kunna beräkna skalär- och vektorprodukter • Använda ortogonal projektion av en vektor längs en annan • Principer för att beräkna avstånd mellan punkt och linje, punkt och plan samt mellan två linjer

  Avsnitt i kurslitteraturen: S 12.3 – 5 Tentamensuppgifter: 130828 2, 130119 1e, 121027 2, 120829 2, 120114 2, 111022 2 Dugga: Dugga 2, Dugga 3
• Du skall förstå innebörden av gränsvärden av typen \(\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)\), \(\lim_{x\rightarrow a} g(x),\) etc., och du skall kunna beräkna enkla sådana gränsvärden. Du skall också känna till begreppen höger- och vänstergränsvärden och veta att en funktion, \(f(x),\) är kontinuerlig i en punkt, \(a,\) precis när \(\lim_{x\rightarrow a+}f(x)=\lim_{x\rightarrow a-}f(x)=f(a).\) För att klara detta behöver du bland annat lära dig:

  • Definitionen av gränsvärde. • Räkneregler för gränsvärden. • Vissa standardgränsvärden, t.ex. \(\lim_{x\rightarrow 0} \sin(x)/x = 1,\) \(\lim_{x\rightarrow 0}(\cos x -1)/x = 0,\)... • l'Hospitals regel

  Avsnitt i kurslitteraturen: S 2.1 – 4, S 2.6, S 4.4. Tentamensuppgifter: 130828 1f, 130119 2, 7, 121027 1e, 120829 1f, 120114 1e, 3, 6b, 111022 1e Dugga: Dugga 4, Dugga 7
• Du skall kunna avgöra en given funktions definitionsmängd och i speciella fall även dess värdemängd. Du skall också kunna sätta samman funktioner och veta när det är möjligt. Givet grafen av en funktion skall du kunna avgöra om funktionen är kontinuerlig och/eller inverterbar. Du bör även kunna översätta en med ord definierad funktion till en matematisk funktion. För att klara detta bör du bland annat lära dig:

  • att förstå begreppen definitionsmängd och värdemängd • sammansättning av funktioner • vad invers funktion är och när den finns • att förstå innebörden av kontinuitet • innebörden av de grundläggande satserna om kontinuerliga funktioner: max/min-saten, satsen om mellanliggande värden och att värdemängden till en kontinuerlig funktion definierad på ett intervall är ett intervall.

  Avsnitt i kurslitteraturen: S 1.1 – 4, S 2.5, S 4.1 – 2. Tentamensuppgifter: 130828 5, 6f, 130119 1f, 6a, 121027 3, 120829 1b, 111022 6d, 6f Dugga: Dugga 4, Dugga 6, Dugga 7
• Du skall känna till de grundläggande trigonometriska funktionerna \(\sin x,\) \(\cos x\) och \(\tan x,\) veta deras derivator och kunna rita deras grafer. Du skall kunna beräkna t.ex. sin(a) för vissa speciella a och du skall kunna lösa enkla trigonometriska ekvationer. Du bör även kunna använda trigonometriska funktioner för att solvera trianglar (t.ex., givet två sidor och en vinkel, beräkna den 3:e sidan och övriga vinklar). För att klara detta bör du bland annat lära dig:

  • De trigonometriska funktionernas definitions- och värdemängder • Sambandet mellan enhetscirkeln och de trigonometriska funktionerna • Additions- och subtraktionsformlerna (inkluderat formler för dubbla vinkeln) • Sinus- och cosinussatserna • Trigonometriska ettan

  Avsnitt i kurslitteraturen: P 2.1 – 8 (även S Appendix D). Tentamensuppgifter: 130828 1d, 130119 6f, 121027 7b, 7c, 120829 1b, 1d, 120114 1d, 111022 1d Dugga: Dugga 1, Dugga 5
• Du ska kunna hantera beräkningar med som innehåller arcusfunktionerna och veta deras värden i de fall då svaret är kända vinklar. Du ska veta hur de är definierade, deras definitions- och värdemängder och deras derivator. Speciellt viktiga är funktioneran \(\arcsin x\) och \(\arctan x\). För \(\arctan x\) ska du också känna till dess gränsvärden när \(x\rightarrow \pm\infty.\) För att klara detta behöver du bland annat lära dig:

  • De trigonometriska funktionernas definition och egenskaper. • Arcusfunktionernas definition. • Arcusfunktionernas derivata. • Hantera sammansättning mellan arcusfunktion och en trigonomtrisk (t.ex. \(\cos(\arctan(x))\) och \(\arctan(\tan(x))\). • För svårare uppgifter ska du kunna använda trigonometriska formler (t.ex additionsformler).

  Avsnitt i kurslitteraturen: S 1.5 Tentamensuppgifter: 130828 1d, 130119 1g, 120829 6c, 120114 6c Dugga: Dugga 7
• Du skall känna till funktionerna \(\ln x\) och \(e^x,\) kunna rita deras grafer och beräkna deras derivator. Du skall också kunna beräkna gränsvärden för funktioner som innehåller logaritm- och exponentialfunktioner. För att klara detta bör du bland annat lära dig:

  • Logaritm- och exponentialfunktionernas definitions- och värdemängder • Standardgränsvärden, t.ex. \(\lim_{x\rightarrow 0^+}x\ln(x) = 0,\) \(\lim_{x\rightarrow \infty}x^k/e^x = 0,\) etc. • Logaritmlagar och räkneregler för exponenter • Att \(\ln x\) och \(e^x\) är varandras inverser, dvs. att \(x = e^{\ln x}\) om \(x > 0\) och att \(x = \ln(e^x)\) för alla \(x.\)

  Avsnitt i kurslitteraturen: S 1.4 – 5, S 3.1, S 3.6, S 4.4. Tentamensuppgifter: 130828 7, 120829 1a, 6e, 120114 1a, 111022 1b Dugga: Dugga 6
• Du skall förstå sambandet mellan derivata och riktningskoefficient och du skall kunna beräkna tangenter och normaler till kurvor. Du skall också kunna beräkna derivator (bland annat av inversa funktioner) och du skall kunna använda derivata för att avgöra var en funktion är växande/avtagande och konvex/konkav. Du bör kunna förstå och tillämpa medelvärdessatsen. För att klara detta behöver du bland annat lära dig:

  • Derivatans definition • Deriveringsregler, t.ex. kedjeregeln, produktregeln, kvotregeln. • Derivator av enkla funktioner, t.ex. polynom, trigonometriska funktioner, logaritmer. • Implicit derivering • Samband mellan derivata av en funktion och dess invers (om den finns).

  Avsnitt i kurslitteraturen: 2.7 – 8, S 3.1 – 11. Tentamensuppgifter: 130119 6e, 121027 1f, 6d, 7a, 120829 1e, 6d, 6f, 7, 120114 1b, 1f, 6d, 6e, 111022 1f, 3b, 7 Dugga: Dugga 5, Dugga 6
• Du skall kunna avgöra på vilka intervall en given funktion är växande/avtagande respektive konvex/konkav samt förstå innebörden av detta; exempelvis att en strängt växande funktion är inverterbar. Du bör också veta att deriverbarhet medför kontinuitet (men inte omvänt) och du skall kunna bestämma tangentlinjen till en given funktion i en given punkt. Du bör förstå och kunna tillämpa max-min-satsen och satsen om mellanliggande värden (Intermediate-value theorem), t.ex. för att visa att vissa ekvationer har lösning(ar). För att klara detta bör du bland annat lära dig:

  • Innebörden av kontinuitet • Max-min-satsen • Satsen om mellanliggande värden • Hur man med derivata avgör om en funktion växer eller avtar på ett intervall • Derivatans definition och innebörd • Andraderivatans innebörd

  Avsnitt i kurslitteraturen: S 2.5, S 2.7 – 8, S 4.2 – 3. Tentamensuppgifter: 130828 5, 6c, 6d, 130119 1g, 6b, 121027 1d, 3, 5, 6a, 6b, 6c, 120829 3, 6b,120114 3, 6f, 7, 111022 2a, 6b, 6c, 6e Dugga: Dugga 7
• Du skall känna till att en kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall har ett största och ett minsta värde. Du skall också kunna beräkna lokala extrempunkter och kunna bestämma lokala och globala maximum och minimum. För att klara detta behöver du bland annat lära dig:

  • Max-min-satsen • Göra teckentabeller för derivatan • Att max och min antas antingen i punkter \(x\) där \(f'(x)=0,\) i randpunkter, eller punkter där \(f\) inte är deriverbar. • Att en funktion kan sakna största och minsta värde på ett intervall där inte båda ändpuntkerna ingår, även om den är kontinuerlig. • Ta hänsyn till gränsvärden då variabeln går mot ett intervalls ändpunkter

  Avsnitt i kurslitteraturen: P 1.11, S 2.5, S 4.1. Tentamensuppgifter: 130828 4, 130119 3, 120829 3 Dugga: Dugga 7
• Du skall kunna göra matematiska modeller för enkla geometriska och fysiska problem. De resulterande matematiska problemeen, som ofta blir optimeringsproblem, skall du kunna lösa. För att klara detta behöver du bland annat lära dig:

  • Att översätta "verkliga" problem till matematiska problem • Hitta maximum och minimum (se optimering) • Tillgodogöra dig stora delar av kursen!

  Avsnitt i kurslitteraturen: S 4.7. Tentamensuppgifter: 130119 5, 120829 5, 120114 5, 111022 5 Dugga: –
• Givet en funktion skall du kunna avgöra om den har vertikala, horisontella och/eller sneda asymptoter och i så fall kunna beräkna dessa. För att klara detta bör du bland annat lära dig:

  • Vad en asymptot är • Beräkna (höger- och vänster-) gränsvärden • Att vertikala asymptoter kan finnas där funktionen är odefinierad • Att eventuella horisontella och sneda asymptoter kan hittas genom att undersöka funktionens beteende då \(x\rightarrow \pm\infty\)

  Avsnitt i kurslitteraturen: S 2.2, S 2.6, S 4.5 Tentamensuppgifter: 130828 3, 130119 4, 121027 4, 120829 4, 120114 4, 111022 4. Förekommer mest i samband med grafritning. Dugga: –
• Att rita en graf betyder mer än att rita en kurva i ett koordinatsystem. Det är en populär tentamensuppgift, eftersom det prövar många olika kunskaper som ingår i kursen. När du ritar en graf ska du (oftast) bestämma ◊ funktionens definitionsmängd ◊ eventuella nollställen till funktionen ◊ eventuella lodräta, sneda och vågräta asymptoter ◊ för lodräta asymptoter ska du utreda (oegentliga) höger- och vänstergräsnvärden av funktionen ◊ för sneda och vågräta ska du utreda gränsvärde av funktionen när \(x\rightarrow\pm\infty\) ◊ var funktionen är växande respektive avtagande och lokala extrempunkter ◊ eventuelllt var funktionen är konkav (konkav nedåt) eller konvex (konkav uppåt) ◊ funktionens värdemängd För att klara detta behöver du bland annat kunna • beräkna gränsvärden • lösa ekvationer • derivera • avgöra derivatans tecken på olika delar av tallinjen. Här behöver du kunna lösa olikheter. • evetuellt avgöra andraderivatans tecken på olika delar av tallinjen. • avgöra om en funktion har ett lokalt max eller min i en kritisk punkt • avgöra om en funktion har ett största eller ett minsta värde • tolka det du kommer fram till genom att illustrera med en skiss

  Avsnitt i kurslitteraturen: S 4.5. Tentamensuppgifter: 130828 3, 130119 4, 121027 4, 120829 4, 120114 4, 111022 4. Dugga: – (delar av detta ingår i flera duggor).

© 2013 Matematiska vetenskaper | Chalmers | Göteborgs universitet