%% 2 Linjära ekvationssystem i Matlab
%% 2.1  Matriser i Matlab
% Takeaways
% Hur man matar in en matris i Matlab.
% Hur man plockar ut elementet på position  ( i , j ) i matrisen A med kommandot   A( i, j ) .
% Hur man ändrar ett element i en matris.
% Hur man bestämmer antalet lösningar till ett ekvationssystem med kommandot rref .
% Matlab har effektiva rutiner (algoritmer) för att hantera beräkningar som rör matriser. Namnet Matlab är förkortning av Matrix Laboratory.
% Kommandot för att sätta  A  till  n x m - matrisen
% \left(\begin{array}{rrrr}
% a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m}\\
% a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m}\\
% \vdots & \vdots &               & \vdots\\
% a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm}
% \end{array}\right)
% är
% A = [ a_11 , a_11 , ... , a_1m ;
%       a_21 , a_22 , ... , a_2m ;
%       .... , .... ,     , .... ;
%        a_n1 , a_n2 , ... , a_nm  ]
% Man använder alltså semikolon vid "radbrytning". Liksom vid radvektorer behöver kommatecknen inte skrivas ut. Det räcker med ett mellanslag. Martisen kan också skrivas på en rad. Rabrytningarna ovan är till för att göra det mer överskådligt.
% Exempel  Kommandot för att sätta  B  till matrisen
% \left(\begin{array}{rrr}
% 2 & -3 & 4 \\
% -4 & 3 & 5 \\
% -3 & 0 & 1\\
% 0 & 7 & -2
% \end{array}\right)
% är
%             B = [  2  -3   4 ;
%                   -4   3   5 ;
%                   -3   0   1 ;
%                    0   7  -2 ; ]
% eller
% B = [ 2 -3  4 ; -4  3  5 ; -3  0  1 ; 0  7 -2 ]
% Slut exempel.
% Vill man sätta  a  till elementet i matrisen  A  som står på rad  i  och i kolonn  j gör man det med
% a = A( i , j )
% Om man t.ex sätter  a = B( 4 , 2 )  i exemplet ovan, så får  a  värdet  7 .
% Man kan ändra ementet på position ( i , j )  i matrisen A  till  c  genom kommandot
% A( i, j ) = c
% Lägg märke till att  tecknet  " = "  används på ett annat sätt i Matlab än i matematik. I Matlab betyder  a = c  att  a  tilldelas det värde som  c  har för tillfället. Om  a  i vänstra ledet har ett annat värde innan kommandot  a = c  ersätts det av det värde  c  har, så att  a  har samma värde som  c  efter kommandot.
% Uppgift 2.1
% a)  Sätt  A  till matrisen
%  \left(\begin{array}{rrrrr}
%  -3   &  7 &   15 &   25 &    5\\
%     -6   &  2  &   1  &   2  &  -2\\
%     -5   &  1 &   -2 &   25  &   1
% \end{array}\right)
% b)  Sätt  B  till  A .
% c)  Ändra  B  så att elementen på positionerna ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 )  och  ( 3 , 4 )  minskas med  1. (Anledningen till  b) är att  A  nu finns kvar i sin ursprungliga form.)
% d) Jämför  A  och  B .



%
%%  2.2  Reducerade trappstegsform av matris
% Takeaway
% Kommandot  rref( A )  ger resultatet av att överföra A till reducerad trappstegsform med radoperationer. RowReducedEchelonForm.
% Varje maris  A  kan med radoperationer överföras till precis en matris på reducerad trappstegsform. Med kommandot
% E = rref( A )
% sätter man E till den matris man får från  A  vid överföring till reducerad trappstegform. rref står för "RowReduced Echelon Form".
% Pröva detta med  A  och  B  som i uppgift 2.1 :



% Uppgift 2.2
% Vilka kolonner i matrisen  A  är pivotkolonner när
% a)       A = \left(\begin{array}{rrrrrrr}
% 3  &   4     &15    &  2  &   -6   & -10  &    3\\
%  -6     &-3   & -15    &  6    &  0    &  6    & -6\\
% 4   &   9   &  31  &   10  &   -1  &    8  &   -7\\
%  -9   &  -9   & -36  &    0   &   3  &    6  &    0
% \end{array}\right)
% b)       A = \left(\begin{array}{rrrrrr}
%   8 &   16 &   1 &   11  &  -6  & -26\\
%     -4 &   -8  &   5  &  11 &   6  & 30\\
%      5   & 10  &  8  &  29   & -4  &  -2\\
%      5  &  10   & -7 &  -16 &    1 &  -22
% \end{array}\right)
% Lösning



%
%% 2.3  Antal lösningar till ett ekvationssystem
% Takeaway
% Hur man med  rref  tar reda på antalet lösningar till ett ekvationssystem.
% Ekvationssystemet
% \left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}
%          a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & \cdots & + & a_{1m}x_m &=& b_1\\
%          a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & \cdots & + & a_{2m}x_m &=& b_2\\
%          \vdots    &   & \vdots &   &        &   & \vdots & & \vdots\\
%          a_{n1}x_1 & + & a_{n2}x_2 & + & \cdots & + & a_{nm}x_m &=& b_m
%        \end{array}\right.
% har koefficientmatris och högerled som ges av
%  A =\left(\begin{array}{rrrr}
%          a_{11} & a_{12} & \cdots &  a_{1m}\\
%          a_{21} & a_{22}& \cdots &  a_{2m}\\
%          \vdots & \vdots &       & \vdots \\
%          a_{n1} & a_{n2} & \cdots &  a_{nm}
%         \end{array}\right)    respektive    \mathbf b = \left(\begin{array}{rrrr}
%          b_1 \\
%          b_2 \\
%          \vdots \\
%          b_n
%         \end{array}\right).
% Systemets utökade koefficientmatris fås genom att man hänger på  b  som en extra sista kolonn på  A . Kommandot för detta i Matlab är
% U = [ A b ]
% där man alltså kallat den utökade koefficientmatrisen för  U .
% Det gäller att
% 1)  Systemet saknar lösning om sista kolonnen i  U  är pivotkolonn.
% Annars:
% 2) Det finns precis en lösning om varje kolonn i  A  är pivotkolonn.
% 3) Annars finns det oändligt många lösningar. Antalet fria variabler i lösningen  är då antalet kolonner i  A  som inte är pivotkolonner.
% Uppgift 2.3
% Bestäm antalet lösningar till följande ekvationssystem. Ange antalet fria variabler i lösningen i förekommande fall.
% a)     \left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
%        x_1 & + &  2x_2 & + & 3x_3 & + & 10x_4  & + & 4x_5 &=& 12\\
%      -8x_1 & - & 16x_2 & + & 4x_3 & + &  4x_4  & - & 6x_5 &=& 12\\
%     -5 x_1 & - & 10x_2 & + & 3x_3 & + &  4x_4  & - & 2x_5 &=& 12\\
%      -3x_1 & - &  6x_2 & - &  x_3 & - &  6x_4  & + & 2x_5 &=&  8
%     \end{array}\right.
% b)      \left\{
%     \begin{array}{rcrcrcrcr}
%           &   &       &   &  -9x_3 & - & 8x_4 &=&     -7\\
%     -5x_1 & - & 10x_2 & + &   7x_3 & - & 5x_4  &=&   4\\
%           &   &       &   &   8x_3 & - & 3x_4 &=&   -7\\
%      2x_1 & + &  4x_2 & + &   6x_3 & + & 3x_4 &=&    3
%     \end{array}\right.
% c)      \left\{
%     \begin{array}{rcrcrcrcr}
%      5x_1 & - & 7x_2 & - &  x_3 & + & 3x_4 & = & -4\\
%      -x_1 & - & 4x_2 & + & 7x_3 & + & 9x_4 & = &  3\\
%     -8x_1 & - &  x_2 &   &      & - & 5x_4 & = &  4\\
%     -4x_1 & + &  x_2 & + & 8x_3 & + & 3x_4 & = & -8
%     \end{array}\right.
% Lösning

