%% 14 Derivata och numerisk derivata
% Takeaways
% Vid numerisk räkning (med dator) approximerar man ofta f'(a) med differenskvoten Q(a,\, h), där h är ett litet tal, eller ännu bättre med den symmetriska differenskvoten Q_{\mbox{sym}}(a,\, h).
% Ett stort värde på h kan ge dålig approximation, ett för litet kan ge problem med precisionen i de numeriska beräkningarna.
% En tumregel kan vara att välja h=10^{-7}.
% En funktion f är deriverbar i en punkt a om f:s differenskvot i a
% Q=\frac{f(a+h) -f(a)}{h}
% har ett gränsvärde när h\to 0. Detta gränsvärde kallas då f:s derivata i a och betecknas f'(a):
% f'(a) = \lim_{h\to 0}\, \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
% Om man i Matlab definierat f som t.ex. en anonym funktion går det inte att med programmet beräkna en formel för f'(x), med mindre man går över till att räkna symboliskt. Det är möjligt, men inte vad Matlab i första hand är tänkt för.
% För att approximativt beräkna  f'(a) kan man istället använda differenskvoten,
% Q(a,\, h)=\frac{f(a+h) -f(a)}{h},
% med lämpligt litet värde på h. Vid val av h finns det två saker att ta hänsyn till:
% datorn räknar med ändlig precision ( cirka 16 siffror i Matlab),
% differenskvoten är bara en approximation till f'(a).
% Den första punkten gör att approximationen mister precision om h väljs för litet, den andra att den mister precision om h väljs för stort. Man behöver hitta en balans som ger så bra approximation som möjligt.
% En tumregel, som ofta, men inte alltid, ger bra resultat är att välja h till  h = 1e-7 dvs h=10^{-7}.
% Byter man h mot -h i Q får man
% Q(a,-h)=\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}=\frac{f(a)-f(a-h)}{h}
% som har samma gränsvärde som Q(a,h), när h\to 0, dvs f'(a). Det betyder att f'(a) också är gränsvärdet av
% Q_{\mbox{sym}}=\frac{1}{2}(Q(a,h) +Q(a,-h))=\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}
% när h\to 0. Den sista kvoten kallas f:s symertriska differenskvot i a. Det visar sig att man i allmänhet får en bättre approximation av f'(a) om man använder den i stället för differenskvoten Q(a,h).
%
% Uppgift 14.1
% a) Beräkna f'(2) numeriskt och analytiskt med Matlab när f(x) = \tan x. Undersök olika val av h och differenskvot.
% b) Gör samma sak med f'(1/3) när f(x) =\arctan x.

