%% 15 Linearisering
% Takeaways
% Begreppet linearisering av f i en punkt a.
% Att tangenten till grafen i (a,\, f(a)) är grafen till f:s linearisering  L i a.
% Att L(x)\approx f(x) när x ligger nära a.
% Om f är deriverbar i a kallas linjen med ekvation
% y=f'(a)(x-a)+f(a)\quad ( = f'(a)x+f(a)-f'(a)a\, )
% för tangenten till grafen i punkten (a,\, f(a)). Tangenten går genom (a,\, f(a)) och har  riktningskoefficient f'(a).
% Tangenten är graf till f:s linearisering i punkten a som ges av
% L(x) = f'(a)(x-a) + f(a).
%
%
% När x ligger nära a gäller f(x)\approx L(x), där L(x) ofta är väsentligen enklare att beräkna än vad f(x) är.
% I stället för att beräkna f'(x) analystiskt (med formler) och sedan sätta x=a för att bestämma f'(a), är det i numerik (med dator) vanligt att använda den symetriska differenskvoten
% Q_{sym}(a,\, h)=\frac{f(a+h) -f(a-h)}{2h}
% med lämpligt litet värde på h, som approximation till f'(a). Ett sånt val av h som ofta fungerar är h=10^{-7}.
%
% Uppgift 15.1
% a)  Plotta grafen till f(x) = 10x/(1+x^2) och illustrera tagenten i den punkt på grafen där x=2. Beräkna lineariseringen dels analytiskt, dels numeriskt och jämför reslutaten.
% b)  Plotta grafen till
% f(x)= \frac{3+\sin x}{1+\mbox{e}^{0.03x^2}
% och illustrera tangenterna till grafen i de punkter där x= -1.5,\,-0.7 och 0.1.
% Lösning



%



%
% Uppgift 15.2
% Bestäm lineariseringen till f(x) =\cos x  i  \pi/3  analytiskt (handräkning) och använd den för att hitta en approximation till  \cos 1  med Matlab. Jämför med det värde Matlab ger \cos 1.
% Lösning
% Vi har f'(x) = -\sin x och f(\pi/3) = 1/2, samt f'(\pi/3) =-\sqrt{3}/2 vilket ger
% L(x) = -(\sqrt{3}/2)(x-\pi/3)+1/2.
% För x nära \pi/3 gäller att f(x) \approx L(x). Vi har \pi/3\approx 3.14/3\approx 1.04, så 1 ligger relativt nära \pi/3.

