%% 20 Area mellan grafer
%
%% 20.1 Area mellan grafer
% Takeaways
% Användningen av  abs  vid numerisk beräkning area mellan grafer
% Kommandot  fzero( f , a )  beräknar numeriskt ett nollställe till den anonyma funktionen  f  i närheten av  a .
% Antag att vi vill beräkna arean av de område som innesluts mellan två grafer över ett intervall som i figuren nedan.
%
% Arean ges av
% \int_a^b\!|f(x)-g(x)|\,dx=\int_a^b\!|g(x)-f(x)|\,dx.
% Vid anlytiskt räknande behöver man hålla ordning på hur man kan ta bort absolutbeloppen, för att kunna hitta en primitiv funktion. I figuren är  f(x)\leq g(x)  på intervallet  [a,\, c]  och  g(x)\leq f(x)  på  [c,\,b]. För att bestämma  c  löser man ekvationen f(x)=g(x)  på intervallet, dvs hittar nollstället till f(x)-g(x) i  [a,\, b]. Arean ges då av
% \int_a^c\!(g(x)-f(x))\,dx + \int_c^b(f(x)-g(x))\,dx.
% När man använder Matlab för att beräkna en sån area finns det ingen anledning att försöka få bort absolutbeloppet, eftersom beräkningen inte utförs analytiskt utan numeriskt (och approximativt).
%
% Uppgift 20.1   Beräkna arean mellan graferna till
% f(x) = 2\cos (2\sqrt{x}) \quad \mbox{och}\quad g(x)=\frac12+\sin x,\quad 1\leq x\leq14.
% Lösning



%
% Uppgift  20.2   Beräkna arean av det begänsade område som avgränsas av funktionerna
% f(x) = \displaystyle{\frac{1}{1+x}}\quad\mbox{och}\quad g(x)=2+\frac{1}{x-4}.
% Lösning



%
%% 20.2 Utbud och efterfrågan på en marknad
% Takeaways
% Utbuds- och efterfrågefunktioner på en marknad
% Jämviktspris på marknaden.
% Priset av en vara på en marknad bestäms (i teorin) av två funktioner som beror på kvaniteten  q  av varan på marknaden. Den en funktionen kallas efterfrågan (demand) D(q) och är det pris varan ska ha för att (hela) kvanitenten  q  kan avyttras (säljas): det (styck)pris konsumenter är villiga att betala för att  kvatitenten  q  ska säljas. Den andra kallas utbud (supply) och är det pris  S(q)  varan ska ha för att producenter är villiga att förse marknaden med kvatieten  q.
% Alla, utom ekonomer, tänker normalt tvärt om: priset bestämmer efterfrågan och utbudet, men vi håller oss till det gänse sättt att se det i ekonomi.
% Funktionen  D(q)  anses strängt avtagande: för att avyttra en större kvatitiet krävs ett lägre pris. Funktionen  S(q) anses strängt växande: för att leverera en större kvatitet till marknaden vill producenter ha ett högre pris.
%
% I teorin bestäms varans pris av ekvationen
% D(q)=S(q),
% som har precis en lösning q_0. Priset  p_0=D(q_0)=S(q_0)  kallas marknadens jämviktspris. Vid det priset  möter  utbudet  efterfrågan.
% Uppgift 20.3    Jepparna på planerings- och marknadsavdelningen på skoföretaget Sneaky Glenn har kommit fram till följande efterfråge- och utbudsfunktioner för marknaden för en speciell typ av sneakers
% S(q) = 100 + 10q + q^{1.7}  och   D(q) = 200\mbox{e}^{-0.01q^3}
% där D och S  har enheten mu och q är antalet 10.000  sålda/köpta par av sneaker-typen.
% a) Vilket är jämviktspriset?
% b) Planering och marknad räknar med att företaget har 20% av marknaden och att man producera sneakerserna till styckpriset 110 mu. Hur stor vinst/förlust gör företaget på produktionen?



%
%% 20.3 Konsument- och producentmervärde
% Takeaways
% Konsument- , producent- och ekonomiskt mervärde
% Ekonomiskt mervärde är störst vid jämviktspris
% För kvantiteten  q_1  är konsumenter som grupp bereddda att betala mer än q_1D(q_1), eftersom vissa kan tänka sig att köpta till ett högre pris än D(q_1). Det konsumenter (som grupp)  är villiga att betala för kvantiteten q_1 ges av
% \int_0^{q_1}\!D(q)\,dq.
% Skillanden mellan vad konsumener är villiga att betala och  faktiskt betalar för kvantieten q_1  kallas  konsumentmervärdet (conumer surplus) vid kvantiten  q_1  och ges av
% \int_0^{q_1}\!D(q)\, dq - q_1D(q_1).
%
% På samma sätt är producenter (som grupp) villiga att leverar kvantitent q_1 till  en lägre intäkt än q_1S(q_1), eftersom vissa är beredda att leverera till ett lägre pris än S(q_1). Den intäkt producenter (som grupp) är villiga att leverera kvantiteten q_1 för ges av
% \int_0^{q_1}S(q)\, dq.
% Skillnaden mellan faktiska intäkter och vad producentr är villiga att leverera kvantiteten q_1  för kallas producentmervärdet (producer surplus) vid kvantiteten  q_1  och ges av
%  q_1S(q_1)-\int_0^{q_1}\!S(q)\, dq .
%
% Marknadens ekonomiska mervärde (economic surplus eller social surplus) är skillnaden mellan vad konsumenter är viliga att betala för kvantiteten  q_1 och vad producenter är villiga att producera den för. Det ges alltså vid kvantiteten  q_1  av
% \int_0^{q_1}\!D(q)\, dq - \int_0^{q_1}\!S(q)\, dq = \int_0^{q_1}\!(D(q)-S(q))\,dq.
%
% Det ekonomiska mervärdet är därför störst när  D(q_1)=S(q_1), dvs när  q_1=q_0  och priset är jämviktspriset  p_0  och är då samma som summan av konsument- och producentmervärdena.
%
% Uppgift 20.4
% a) Plotta konsument-, producent- och ekonomiskt mervärde för kvantiteter mellan 0 och 100 000 för marknaden i uppgift 20.3
% b) Vad är konsument-, producent- och ekonomiska mervärdena vid jämviktspris?



%
%
%
%
%
%
%
%