%% 21 Integraler och intäktsströmmar
%
%% 21.1   Intäkt av intäktsström
% Takaways
% Begreppet intäktsström.
% Ackumulerad intäkt är en primitiv funktion till intäktsströmmen,
% Antag att en verksamhet ständigt genererar intäkter. Det är inte helt realistiskt, men tänk att veksamheten är stor och världsomspänande, som t.ex. Amazon. Då är det inte helt off att tänka sig att verksamheten vid varje tidpunkt  t genererar en intäkt i takten f(t)  mätt i enhetern mu (monetary units) per år. Det är viktigt att förstå att  f(t)  inte är den intäkt som momentant flyter in vid tiden t utan takten med vilket intäkten flyter in mätt på årssbasis.
% Funktionen  f(t)  kallas då en intäktsström (income stream) och är ett exempel på en matematisk modell. Vi gör antaganden om verkligheten som kanske inte stämmer helt, men gör att vi kan anlysera situationen matematiskt. Hur valid modellen är, dvs hur väl den speglar verkligheten, kan man uppskatta t.ex. genom att stämma av resultat man kommer fram till analytiskt med resultat från verkligheten.
% Tänk nu att vi startar intäktsstörmmen vid tiden  0  och låter den löpa på till tiden  t  och sätt   F(t) till den ackumulerade (sammanlagda) intäkten vid tiden  t. Den momentana förändringen av  F  vid tiden t  är  F'(t), men också  f(t). Det betyder att  F(t)  är en primitiv funktion till  f(t)  och att
% F(t)=\int_0^t\!f(\tau)\,d\tau,
% eftersom båda sidor är primitiva funktioner till  f och har samma värde när  t=0. ( Den grekiska bokstaven  \tau  uttalas "tau".)
%
% Uppgift 21.1   Ett företag lanserar en ny produkt och har, efter att ha gjort en marknadsanalys och marknadsföringsplan, kommit fram till att produkten bör generera intäktsströmmen
% f(t) =  \frac{\mbox{e}^{3t}+10(t+1)\sin(t^3)}{(t+1)\mbox{e}^{3t}}
% mätt i mu/år . Beräkna ackumulerade intäkten under de första 52 månanderna.
% Lösning



%
%% 21.2   Kontinuerlig kapitalisering
% Takeaways
% Begreppet kontinuerlig kapitalisering (compounded continuously).
% Begreppet kontinuerlig ränta (continuous interest rate).
% Om kapitalet K placeras med r\% årlig ränta (årlig kapitalisering)  är behållningen efter  t  år
% b(t) = K\Big(1+\frac{r}{100}\Big)^t.
% För att underlätta skriver vi nu räntesatsen på decimaform som r ( så att t.ex. 0.05 motsvarar 5\,\%).
% b(t) = K(1+r)^t.
% Antag nu att ränta i stället tillförs behållningen  n  gånger per år i stället för en gång årligen. För att det ska bli rimligt delar vi räntesatsen med n så att den blir r/n, men nu tillförd n gånger per år. Då blir behållningen efter  t år
% b(t) = K\Big(1+\frac{r}{n}\Big)^{nt} = K\Big(\Big(1+\frac{r}{n}\Big)^{n/r}\Big)^{rt}
% Sätter vi h=r/n gäller att h\to 0^+, när n\to \infty och
% \Big(1+\frac{r}{n}\Big)^{n/r}= (1+h)^{1/h}=\mbox{e}^{ln(1+h)/h}\to \mbox{e}^1,$
% när  n\to\infty, eftersom l'Hospitals regel ger att  \ln(1+h)/h\to 1, när  h\to 0^+. Vid kontinurelig kapitalisering ( "n=\infty") med räntesatsen  r  är alltså behållningen vid tiden  t
% b(t)=K\mbox{e}^{rt}.
% De tre funktionerna b(t) ovan är inte samma funktion. Kontinuerlig kapitalisering ger en något högre behållning än årlig kapitalisering (efter 1 år), men skillanden är inte så stor när r är litet. Vid kontinuerlig kapitalisering talar man om kontinuerlig ränta i stället för årlig.
% En fördel att räkna med kontinuerlig kaptitalisering är att räntan tillförs behållningen kontinuerlig och man slipper hantera språngvisa tillskott.
%
% Uppgift 21.2   Kapitalet  7 mu  placeras på ett konto med den kontinuerliga räntan 6 %. När är behållningen på kontot  9 mu ?  Räkna numeriskt!



%
%% 21.3   Nuvärde och framtida värde av intäktsström
% Takeaways
% Bergreppen nuvärde (present value) och framtida värde (future value) av en intäktsström som kontinuerligt placeras med kontinuerlig ränta.
% Sambandet mellan nuvärde och framtida värde.
% Antag intäkterna från intäktsströmmen f(t) genast placeras på ett konto med kontinuerlig ränta r (i decimalform). Vi vill beräkna behållningen på kontot vid tiden  T, aka strömmens framtida värde (future value) FV(T) vid tiden T.
% Vi delara in intervallet  [0,\, T] i n lika stora delintervall av längd \Delta t=T/n  och delningspunkter t_i, \,\,i=0,2,\ldots n,  i intervallen. Talet  \Delta t \,f(t_i)   är då  ungefär intäkten under det i:te tidsintervallet. Vid tiden T kommer behållningen av den att vara
% \Delta t\, f(t_i)\mbox{e}^{r(T-t_i)},
% eftersom den kommer att finnas på kontot (ungefär) under tiden T-t_i.
%
% Summerar vi får vi
% \displaystyle{\Delta t\,\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\mbox{e}^{r(T-t_i)}},
% som är en Riemannsumma för
% FV(T) = \int_0^T\!f(t)\mbox{e}^{r(T-t)}\,dt = \mbox{e}^{rT}\int_0^T\!f(t)\mbox{e}^{-rt}\, dt.
% Nuvärdet (present value)  NV(T) av en intäktsstöm f, som (momentant) placeras på konto med kontinuerlig ränta r under tiden 0 till T, är det kapital man skulle behöva placera vid tiden 0 (i "klump") för att vid tiden T ha behållningen  FV(T):
% NV(T)\mbox{e}^{rT} = FV(T),
% dvs
% NV(T) = \int_0^T\!f(t)\mbox{e}^{-rt}\,dt
%
% Uppgift 21.3   Beräkna den ackumulerade intäkten, nuvärde  och framtida värde av intäktsströmmen
% f(t) =  \frac{\mbox{e}^{3t}+10(t+1)\sin(t^3)}{(t+1)\mbox{e}^{3t}}
% (där tiden mäts i år,) efter 50 månader om intäkterna momentant placeras på ett konto med räntan 5\,\%.
% b) Plotta den accumulerade intäkten och strömmens framtida värde när T\in[0,10];
% Lösning



%
%