%% 22 Approximation av bestämd integral - del 2
%% 22.1 Simpsons formel
% Du har tidigare bekantat dig med mittpunkts- och trapetsmetoderna för att approximera
% \int_a^b\!f(x)\, dx.
% Båda utgår från att man fixerar ett tal n  och delar in intervallet [a,\, b]  i n lika långa delintervall  av längd  \Delta x = (b-a)/n och med med ändpunkter
% a=x_0,\, x_1,\,\ldots ,\, x_{n-1},\, x_n=b.
%
% För mittpunktsmetoden väljer man sen mittpunkten t_i i varje delintervall [x_{i-1},\, x_i] som tagg och bildar Riemansumman
% M_n = \Delta x \Big( f(t_1) + f(t_2) + \cdots + f(t_{n-1})+f(t_n)\Big).
% Trapetsmetoden är annorlunda för man ersätter grafen till f över varje delintervall med en rät linjen mellan  (x_{i-1},\, f(x_{i-1}) ) och  (x_{i},\, f(x_{i}) ).
%
% Sen sumerar man integralerna av dessa nya  funktioner över varje delintervall. Grafen över varje delintervall är en trapets, så varje sån integral blir \Delta x (f(x_{i-1})+f(x_i))/2. Funktionens värde i varje delningspunkt kommer med två gånger i summan, utom värdet i x_0=a och x_n=b. Man får
% T_n = \frac{\Delta x}{2}\Big(f(x_0)+2f(x_1) + 2f(x_2)+\cdots + 2f(x_{n-1})+f(x_n)\Big)
% som approxitmation till integralen.
% Simpsons metod (formel) spinner vidare på samma idé som i trapetsmetoden: ersätt funktionen över delintervall med en annan som man kan beräkna integralen av lätt.
% Till skillnad från de två andra delar man nu alltid in intervallet [a,\, b] i ett jämnt antal delintervall. Så nu förutsätts att n är jämnt.
% För att förbättra trapetsmetoden ersätter man nu funktionen f med en andragradare över var och ett av  intervallen [x_{2i-2},\, x_{2i}] och tänker på x_{2i-1} som mittpunkten i detta. Det betyder att intervallet är symetriskt runt x_{2i-1} och ar bredd 2\Delta x.
%
% Andragradaren ska ha samma värde som f i det tre punkterna x_{2i-2},\, x_{2i-1} och x_{2i}. Det gäller nu att inse att det finns en sån andragradare och sen (exakt) beräkna integralen av den.
% För att underätta flyttar vi hela siutationen så att x_{2i-1} hamnar i origo och  sätter h=\Delta x. Det betyder att x_{2i-2} hamnar i -h och x_{2i} i h. Vi sätter också y_0=f(x_{2i-2}),\, f(x_{2i-1})=y_1 och  y_2=f(x_{2i}).
%
% Vi ansätter andragradaren till p(x) = Ax^2+Bx+C och ska då ha
% \left\{\begin{array}{rcl} A(-h)^2-Bh+C &=& y_0\\ C &=& y_1\\A(h^2)+Bh+C &=&y_2\end{array}\right.
% Andra ekvationen ger vad C ska vara, summan av första och tredje ger sen A och  skillnaden mellan samma ekvationer ger B. Det betyder att det finns en andragradare med rätt värden.
% Nu återstår att beräkna intgralen av p(x) = Ax^2 + Bx + C över det symmetriska intervallet [-h,\, h]. Eftersom Bx är udda kan vi nu strunta i den. Eftersom Ax^2+C är jämn kan vi i stället dubblera integralen över [0,\,h]. Detta ger
% \int_{-h}^{h}p(x)\, dx = 2\int_0^h(Ax^2+C)\, dx = \frac{h}{3}\Big(2Ah^2+6C\Big).
% Summan av första och tredje ekvationerna i ekvationssystemet ovan tillsamman med andra ekvationen multiplicerad med fyra ger
% 2Ah^2+6C=y_0+4y_1+y_2 = f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i}).
% Summering ger nu att
% S_n= \frac{\Delta x}{3}\Big(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2) + \cdots +2f(x_{n-2})+ 4f(x_{n-1})+f(x_n)\Big)
% som är Simpsons formel för att approximera \int_a^b\!f(x)\, dx.
% Punkter med udda index är mittpunkter i intervallen [x_{2i-2},\, x_{2i}]  och varje ändpunkt förekommer i två intervall, utom x_0 och x_n.
% Skriver vi nu n  som 2k (kom ihåg att n är ett jämnt tal i Simpsons formel) och delar in [a, \, b] i k lika långa delintervall blir delningspunkterna x_0,\, x_2,\, x_4,\, \ldots,\,x_{2k}  och mittpunkterna är punkterna med udda index. Det gör att (\Delta x är fortfarande (b-a)/(2k))
% M_k = 2\Delta x\Big(f(x_1)+f(x_3)+\cdots+f(x_{2k-1})\Big)
% medan
% T_k = \frac{2\Delta x}{2}\Big( f(x_0) + 2f(x_2)+2f(x_4) + \cdots + f(x_{2k-1})+f(x_{2k}\Big).
% Detta ger att
% S_{2k} = \frac{1}{3}T_k+\frac{2}{3}M_k.
% Simpsons formel när n=2k  är alltså en viktad summa ( vikterna 1/3 och 2/3) av trapets- och mittpunktsmetoderna för k. Högre vikt läggs alltså i Simpsons formel vid mittpunktmetoden än vid trapetsmetoden.
% Uppgift 22.1  Beräkna approximationer till
% \int_{-2}^5\!\frac{1-\cos x}{x^2}\, dx
% genom att använda trapets- och mittpunktsmetoderna samt Simpsons formel med  n=1000.
% Lösning



%
%% 22.2 Feluppskattningar
% Takeaways
% Det finns formler som ger begränsningar för felet vid använding av trapets- och mittpunktsmetoderna samt Simpsons formel.
% För trapets- och mittpunktsformerna involvera de största värdet av |f''| på intervallet över vilket f integreras. Antalet delintervall n påverkar också begränsningen och förekommer som n^2 i nämnaren.
% För Simpsons formel är det istället |f^{(4)}|  och  n^4 i nämnaren.
% När man beräknar bestämda integraler numeriskt är det förstås av intresse att veta hur nära man kommer det exakta resultatet. Det går (i allmänhet) inte att bestämma felet exakt, eftersom det skulle betyda att man lyckas beräkna integralen exakt,
% Det som återstår är att komma fram till en begränsning på avvikelsen, dvs att uppskatta  felet. Det finns formler för detta vad gäller mittpunkts- och trappetsmetoderna och Simpsons formel, som ger exakta begränsningar på avvikelsen, men kräver analytiskt räknande. I praktiken får man nöja sig med att hitta en approximation till dessa exakta begränsningar.
% Formlerna för begräsningarna bygger på att man har kontroll över hur mycket andra- respektive fjärdederivatorna av integranden f(x) som mest avviker från 0 på intervallet.
% Sätt
% K_2 = största värdet av |f''(x)|
% och
% K_4 = största värdet av |f^{(4)}(x)|
% på intervallet [a,\,b]. Normalt kan man inte beräkna dessa värden exakt och formler för andraderivatan f''(x) och fjärdederivatan f^{(4)} blir i samanhanget därför mindre intressanta.
% Vi har tidigare sett hur man kan använda symmetrisk differentskvot för att derivera numeriskt. Det finns liknande kontruktioner för att numeriskt ta fram approximationer till f''(x) och f^{(4)}(x), men här nöjer vi oss med en enklare metod, som ofta fungerar ganska bra för att approximera K_2 och K_4.
% Utgångspunkten är att vi inte har nån formel för f(x), utan bara funktionsvärden fv  i vissa x-värden  xv . Vi önskar approximera funktionsvärden för f'(x).
%
% Uppgift 22.2     Approximera  K_2  och  K_4  när
% f= \frac{\mbox{exp}(0.1x^2)}{5+\cos|x^{2.3}|}+\frac{20}{27+x^3}
% över intervallet [-2,\,5].



% Med utgångspunkt i  listan  xv  och listan på funktionsvärden    fv  ska vi nu bestämma en approximation till funktionsvärden för  f' . Tänk på talen i  xv  som ändpunkter i delintervall till [a, \,b]. Vi approximerar derivatan genom att till beräkna lutningen mellan två på varandra följande punkter på grafen till f och tänker på den lutningen som en approximation till f' i mittpunkten mellan respektive x-koordinater.
% Vi behöver inte bara approximera f' utan även f' och f^{(4)} och skriver därför en funktion i en m-fil som till en lista av x-värden  xv  och en lista  gv  på funktionsvärden till en funktion  g  i dessa leverar mittpunkterna i  xv  och approximationen till funktionsvärden av  g'  i dessa.
% function [mitt_xv , Dgv ] = app_D( xv , gv )
%    % Beräknar ändpunkter :
%    a = xv( 1 ) ; b = xv( end );
%    % Beräknar avståndet mellan punkter i xv
%    n = length( xv  ) -1 ;
%    h = ( b - a ) / n ; % Kallar delta för h.
%    % Succesiva lutningar:
%    Dgv = ( gv( 2:end )-gv( 1: end-1 ) ) / h;
%    % Mittpunkter:
%    mitt_xv = a + h/2 : h : b - h/2 ;



%
% Man kan visa att följande uppskattningar av felen gäller
%  \Big|\,T_n-\int_a^b\!f(x)\, dx \,\Big| \leq  \frac{K_2(b-a)^3}{12n^2}=\frac{n}{12}\cdot K_2 (\Delta x)^3
%  \Big|\,M_n-\int_a^b\!f(x)\, dx \,\Big| \leq\frac{K_2(b-a)^3}{24n^2}= \frac{n}{24}\cdot K_2 (\Delta x)^3
%  \Big|\,S_{2n}-\int_a^b\!f(x)\, dx \,\Big| \leq\frac{K_4(b-a)^{5}}{180(2n)^4}= \frac{2n}{180}\cdot K_4 (\Delta x)^5
% I de två första formlerna står \Delta x för (b-a)/n medan det i den sista är (b-a)/(2n) dvs hälften av värdet i de två första, eftersom antalet delningspunket är n i de två första, men 2n i den sista.
% Uppgift 22.3    Bestäm approximativa uppskattningar till de fel som görs när trapets- , mittpunktsmetoderna och Simpsons fomel används för att apporximera integralen av funktionen
% f= \frac{\mbox{exp}(0.1x^2)}{5+\cos|x^{2.3}|}+\frac{20}{27+x^3}
% över intervallen
% a) [-2,\, 6]
% b) [-2, 2]
% när intervallet delas upp i 1000 respektive 500  delar.



%