%% 25 Solows tillväxtmodell
%
%% 25.1   Cobb - Douglas produktionsfunktion
% Takeaway
% Cobb - Douglas funktion är en modell för hur BNP utvecklas i avsaknad av import/export och offentlig konsumtion.
% Funktionen beror på kapitalet K och arbetskraftens storlek N i ekonomin (landet).
% I en sån ekonomi utgörs BNP av enbart (privat)konsumtion och investeringar.
% Situationen förenklas matematiskt om man räknar per kapita.
% Antag att vi har en isolerad ekonomi (ett land) utan offentliga utgifter. Allt mervärde som skapas beror enbart på kapital K(t) (i huvudsak fysiskt, t.ex. maskiner) och arbetskraft N(t)  vid tiden t , som vi  mäter tiden i år. Storhet på K och N är mindre viktiga i sammanhanget, men skuller kunna vara monetär enhet respektive antal  (numerär, eller mantimmar).
% I denna isolerade ekonomi (ingen import/export) utan offentliga utgifter är BNP enligt utgiftsräkning ( Y för "yield")
% Y(t)=C(t)+I(t).
% En andel s,\,\,0\leq s\leq 1, av BNP Y sparas i och återförs till produktionen i form av investeringar, I = sY. Resten används till konsumtion C=(1-s)Y.
% Y=C+I=(1-s)Y+sY.
% Vi är intersserade av att veta hur Y=Y(t), \, K=K(t),\, C=C(t), utvecklas över tid.
% En modell för att beräkna Y från K och N är enligt Cobb - Douglas
% Y(t)=AK(t)^aN(t)^{1-a},
% där A är en konstant (som t.ex beror på politiskstabilitet och effektivitet i organiseringen av ekonomin och arbete, men framförallt på den tekonologiska nivån). Talet a, som ska uppfylla 0< a< 1, är en konstant, som är olika för olika ekonomier och , liksom A , skulle kan bestämmas empiriskt från statistik.
% Uttrycket  K^aN^{1-a}  kallas ett viktat geometrisk medelvärde av K och N. Geometriska medelvärden förekommer ofta när man vill ha nån typ av medelvärde av saker som inte är direkt jämförbara. Viktningen gör att man kan ge olika tyngd åt K i förhållande till N.
% Antag att man kör två identiska ekonomier vid sidan av varandra. Då bör deras sammalagda BNP ( Y) vara det dubbla, likaså för K och N. Detta återspeglas i att
% A(2K)^a(2N)^{1-a} = AK^aN^{a-1}2= 2Y.
% Samma resultat får vi om vi använder en annan skalfaktor än just 2. I ekonomiska termer kallas detta konstant skalavkastning.
% Om vi tänker på N(t) som befolkningens storlek vid tiden t kan vi uppfatta y=Y/N , k= K/N, c =C/N och i=I/N som BNP, kapital, konsumtion och inversteringar per kapita (som alltså alls beror av t fast vi inte skriver ut det).
% Solows (Nobellpris i ekonomi 1987) modell går ut på att försöka får stå vad som händer med k(t) när t växer. Är det möjligt att k (med modellens förutsättningar) kan växa obegränsat, eller finns det ett tak?
% Med per kapita-begrepp är ekvationerna ovan
% y(t)= c(t) + i(t)\quad \mbox{och}\quad y(t)=Ak(t)^a.
%
% Uppgift 25.1   Plotta i samma figur hur y och i beror av k när A=2, s=0.2  och a =1/3,\, 1/2, respektive 2/3.
% Lösning



%
%% 25.2    Solows tillväxtekvation
% Takeaways
% Solows tillväxtekvation anger hur kapital/kapita ändras över tid.
% Ekvationen är en första ordningens separabel differentialekvation.
% Modellen förutsätter konstant nativitet dvs att  N'(t)/N(t) är en konstant n.
% I Solows modell görs följande antagande om kapitalets förändringstakt i tiden:
% K'(t) = I(t)-dK(t) = sY(t) - dK(t),
% eller per kapita
% K´(t)/N(t) = i(t)-dk(t) = sy(t) -dk(t),
% där 0<d<1 är en konstant som mäter nedskrivning (deprecieringen) av produktionskapitalet. Förändringen av kapitalet är alltså skillnaden mellan gjorda investeringar och nedskrivningar.
% Om vi använder att y(t)=Ak(t)^a kan den senaste ekvationen ovan skrivas
% K'/N=sAk^a-dk.
% Frågan är om vi kan uttrycka vänstra ledet med nåt mer bekant. Vi har enligt kvotregeln att
% k'=D\Big(\frac{K}{N}\Big) =\frac{K'N-KN'}{N^2}=\frac{K'}{N}-k\cdot\frac{N'}{N}.
% Solows modell gör antagandet att befolkningens tillväxt per kapita är en konstant n, landets navititet. Med den förutsättningen får vi
% k'(t)= K'(t)/N(t) - nk(t)= \{\mbox{enligt ovan}\}=sAk(t)^a-(n+d)k(t).
% som är Solows tillväxtekvation för ekonomin. Sammanfattningsvis har vi enligt modellen
% \begin{array}{rcl}
% y(t) &=& Ak(t)^a \\
% c(t) &= & (1-s)y(t) = (1-s)Ak(t)^a\\
% i(t) &=& sy(t) = sAk(t)^a\\
% k'(t) &= & sAk(t)^a-(n+d)k(t)
% \end{array}
% där A är en konstant som beror på  (bland annat) tekonologin i ekonomin, 0<d<1 beror på nedskrivningstakten på kapitalet ( förslitning) och , 0<a<1 beror på kapitalets betydelse för BNP i förhållande till arbestkraften, n är befolkningens nativitet.
% Det intressanta är att om vi kan lösa differentialekvationen
% k'(t)=sAk(t)^a-(n+d)k(t)
%  kan vi bestämma alla övriga funktioner. För att förstå hur t.ex BNP eller konsumtion utvecklas med tiden räcker det att ha koll på kapitalets utveckling.
%
% Uppgift 25.2   I en ekonomi gäller att A=3.21\,, a= 0.67\,, s=0.51\,, d=0.23 och nativiteten n=0.014.
% a)  Vid tiden t=0 är kapital per kapita 5. Plotta kapital per kapita som funktion av tiden tillsammans med tillväxtekvationens lutningsfält . Plotta i samma figur BNP och konsumtion per kapita som funktioner av tiden.
% b) Samma uppgift som i a) om kapital per kapita är 170 vid tiden 0.



%
%% 25.3   Jämviktslösning till tillväxtekvationen
% Takaways
% Jämviktslösningarna till Solows tillväxtekvation är lösningarna till i(k)=(n+d)k.
% Det finns två jämviktslösningar. Den ena är k\equiv 0 den andra betecknas k^*.
% Solows tillväxtekvationen har två jämviktslösningar, dvs lösningar som är konstanta (samma värde för varje t ), som vi bestämmer genom att lösa ekvationen
% 0 = sAk^a-(n+d)k = (sAk^{a-1}-(n+d))k.
% Lösningarna är
%   k\equiv 0
% och  k^{1-a}\equiv \frac{sA}{n+d}  eller
% k^*\equiv\Big( \frac{sA}{n+d}\Big)^{1/(1-a)}.
% Lösningen k\equiv 0 är inte särskilt intressant eftersom den innebär att kapitalet hela tiden är 0 i ekonomin. Den andra jämviktslösningen är intressantare, så vi inför beteckningen k^* för den. Om kapital per kapita har det värdet vid nån tidpunkt kommer det att ha samma värde för evigt  (givet att teknologi ( A ), investerings- ( s ), och nedskrivningstakt (d) samt nativitet ( n ) för blir oförändrade).
% Eftersom i=sAk^a = (n+d)k när k=k^* är  k^* är det kapital per kapita där grafen till inversteringarna, i , som funktion av k, skär linjen genom origo med lutning n+d.
%
% Uppgift 25.2    I en ekonomi gäller att A=3.21\,, a= 0.67\,, s=0.51\,, d=0.23 ocn nativiteten n=0.014. Plotta graferna till y och i som funktioner av k och bestäm ekonomins jämviktskapital per kapita k^* grafiskt och numeriskt.



%
% Uppgfit 25.3   I en ekonomi (utan export/import eller offentliga utgifter) har A\,, a\,,d\, och n bestämts till 2.4\,, 0.63\,,0.23 respektive 0.011. Hur varierar k^* med 0<s<1?
% Lösning



%
%% 25.4    Alltid mot jämvikten k^*
% Takeaways
% Genom att lösa Solows tillväxtekvation analytiskt ser man att k(t)\to k^* när t\to\infty för varje lösning med k(0)>0.
% Det ger att k^* är en stabil jämviktslösning, medan k\equiv 0 är instabil.
% I en ekonomi utan teknologisk utveckling är ständig tillväxt i ekonomin inte möjlig.
% Solows tillväxtekvation
% k'=sAk^a - (n+d) k
% är separabel och om vi sätter B=(n+d)/(sA) kan den skrivas
% \frac{k'}{k^a-Bk} =sA
% För att klara integralen av  vänstra ledet förlänger vi med k^{-a} och får
% \int\!\frac{k^{-a}}{1-Bk^{1-a}}\, dk= \frac{-1}{B(1-a)}\cdot\int\!\frac{-B(1-a)k^{-a}}{1-Bk^{1-a}}\,dk
% där det i integrandens täljare står derivatan till nämnaren. Därför är \ln|1-Bk^{1-a}| en primitiv funktion till.  Via exponentiering leder det till att
% 1-Bk(t)^{1-a} = \mbox{konstant}\cdot \mbox{exp}(-(1-a)(n+d)\,t).
% Här är (1-a)(n+d>0, så exponentialfunktionen är strängt avtagande och högra ledet går mot 0 när t\to\infty. Det ger att (under förutsättning att k(0)>0 )
% k(t)\to \Big(\frac{1}{B}\Big)^{1/(1-a)}= \Big(\frac{sA}{n+d}\Big)^{1/(1-a)}=k^*\quad\mbox{när}\quad t\to\infty.
% Vid oförändrad tekonologi ( A ), investerings- och nedskrivningstakt ( s resptektive d) samt nativitet (n ) närmar sig varje ekonomi jämviktsläget, så obegränsad ekonomiskt tillväxt är inte möjlig utan städiga tekonologiska framsteg. Känn trycket blivande civilingenjörer!
%
% Uppgift 25.4    I en ekonomi (utan export/import eller offentliga utgifter) A\,, a\,,s\,,d\, och n bestämts till 3.4\,, 0.55\,,0.43\,,0.27 respektive 0.015. Hur många år tar det innan k(t) når 95\,\% av jämviktsvärdet  k^*, om k(0)=5?
% Lösning



%
%% 25.5    Vilken investeringstakt s leder till högst välstånd?
% Takeaways
% Ökad investeringstakt leder (förstås) till ökat kapital per kapita vid jämvikt.
% Den investeringstakt som leder till högst välstånd vid jämvikt är a=s.
% Om s\not =a är ekonomin dynamiskt ineffektiv.
% Vi vet nu att i varje ekonomi ( som uppfyller förutsättningarna i Solows modell : isolerad utan offentliga utgifter) strävar k  (kapital per kapita) över tid mot jämviktsläget
% k^* = \Big(\frac{sA}{n+d}\Big)^{1/(1-a)}.
% Säg att vi tar konsumtion per kapita,  c , som ett mått på välståndet i ekonomin. Konstanterna A, a , n och d är i stort sett givna, men inversteringstakten s kan påverkas.
% Vilket värde på s leder till högst välstånd?
% När k=k^* är konsumtion per kapita
% c^* = (1-s)y^*=(1-s)A(k^*)^a=
% (1-s)A \Big(\frac{sA}{n+d}\Big)^{a/(1-a)}
% Uppgfit 25.5
% a)  I en ekonomi (utan export/import eller offentliga utgifter) A\,, a\,,d\, och n bestämts till 2.4\,, 0.63\,,0.23 respektive 0.011. Hur varierar c^* med 0<s<1? Vilketn investeringstakt ger högst välstånd?
% b) Variera  a  och försök se ett samband mellan s   och  a .
% Lösning



%
% Om vi uppfattar s som en variabel ( 0<s<1 )  och övriga parameterar som fixa i
%  c^* =
% (1-s)A \Big(\frac{sA}{n+d}\Big)^{a/(1-a)}
% kan vi, för lämpligt val av konstant B,  skriva det som
% c^*(s) = B(1-s)s^{a/(1-a)}.
% Vi förenklar ytterligare genom att sätta  b=a/(1-a) och får
% c^*(s)=B(s^b-s^{b+1}).
% Vi söker 0<s<1 som maximerar c^* och deriverar
% (c^*)'(s) = B( bs^{b-1} - (b+1)s^b)=Bs^{b-1}(b - (b+1)s).
% Det ger att c^* är växande på (0,\, b/(b+1)] och avtagande på [b/(b+1),\, 1).
% c^*(s) har alltså ett största värde i s=b/(b+1)=a. och det är
% c^*_{\mbox{max}} = (1-a)A\Big(\frac{aA}{n+d}\Big) ^{a/(1-a)}.
% Den gyllene investeringstakten är alltså s=a ! Det är den investeringstakt som, enligt modellen, leder till högst välstånd vid oförändrad tekonologi, relativ betydelse av kapital i förhållande till arbetskraft, nedskrivningstakt och nativitet.
% En ekonomi som över- eller underinvesterar ( s\not=a )  är dynamiskt inneffektiv eftersom den skulle kunna ge ett långsiktigt  högre välstånd med lägre investeringstakt.
%