%% 27   Svängningsrörelse
% En tyngd med massa m är upphängd i en fjäder och hänger still (är i jämvikt). Den påverkas av två krafter: dels gravitationen, dels motkraften från fjädern. Vi bestämmer oss för att mäta storleken på krafter som är riktade nedåt positivt.
%
% Enligt Newton andra rörelselag är kraften från gravitationen
% F_\mbox{grav} = m\,g \,\,(\mathrm N)
% där  g\approx 9.81\,\,(\mathrm {m/s^2}) är tyngdaccelerationen. Motkraften från fjädern beror på hur långt fjädern dragits ut, h\,\,(\mathrm m),  och ges enligt Hooks lag av
% F_\mbox{Hook} = -k\,h,
% där  k>0  är den så kallade fjäderkonstanten (som är olika för olika fjädrar).
% Vi drar ut massan till  x(0)  från fjädern och släpper sen och vill veta var massan befinner sig vid tiden t i förhållande till fjäderns nederkant i opåverkat läge.  Låt  x(t)  vara tyngdens avstånd till denna vid tiden  t . Vi borster från att den friktionskraft som uppkommer av att fjädern deformeras under resan.
% Då är  x'(t)  tyngdens fart vid tiden  t  räknad med tecken som är positivt  vid fart nedåt och  x''(t)  accelerationen. Enligt Newtons andra rörelselag gäller att kraften tyngden utsättsför vid tiden  t  är mx''(t). Detta ger sambandet
% m\,x''(t) = F_\mbox{grav}+ F_\mbox{Hook} = m\,g - k\,x(t)\, ,
% eller
% x''(t) +\frac{k}mx(t) = g\,.
% Om  d  är avståndet vid jämvikt är  x\equiv d  en partkulärlösning till ekvationen. Varje annan lösning ges då av  x=x_h+d\,,  där  x_h  är lösningarnar till den honomgena ekvationen
% x''+\frac{k}{m}x =0\,.
% Vi sätter därför en mätskala lodrätt vid sidan av fjädern med 0 i jämviktsläget och mäter tyngdens läge i förhållande till denna punkt ( i stället för till fjäderns nederkant i opåverkat läge) och låter x(t) vara tyngdens läge vid tiden t i förhållande til denna nollpunkt. Om vi drar ut  (eller trycker ihop fjädern) så att tyngden befinner sig i x_0 i förhållande till mätskalan ska vi, för att finna x(t) lösa det homogena begynnelsevärdesproblemet
%  \left\{\begin{array}{rcl}
% x'' +\frac{k}{m}\,x &=& 0\\
% x(0) &=& x_0\,.
% \end{array}\right.
% Det är ingen svårighet att lösa detta analytiskt, men vi vill nu göra det numeriskt.
% 27.1 Uppgift   En tyngd med massan  2 kg  är upphängd i en fjäder med fjäderkonstant  k = 14.9 . Vikten dras nedåt  0.6 m  från jämviktsläget och släpps sen. Bestäm viktens läge i förhållande till jämviktsläget vid tiden  t . Bortse från friktionskraft som uppstår när fjädern deformeras. Plotta tyngdens läge och fart som funktion av tiden.

         

%
% Vi sänker nu ner tyngd och fjäder i en vätska. Då uppstår en bromsande kraft från vätskan vars storlek beror på vätskans viskositet (hur trögflytande vätskan är, mäts  i kg/ms) och den fart tyngden har. Vi utgår från att den är propotionell mot tyngdens hastighet:
% F_\mbox{visc} = -c\,x'\,,
% där  c>0. När tyngden är på väg uppåt  x'<0  är kraften riktad nedåt, när den är påväg uppåt är den riktad uppåt.
% Det ger oss enligt Newtons andra rörelselag
% m\, x'' = F_\mbox{grav}+F_\mbox{visc}+F_\mbox{Hook}=m\,g -cx'-kx\,.
% Vi får nu ekvationen
% x''+\frac{c}{m}\,x'+\frac{k}{m}\,x=m\,g.
% Sätter vi en mätskala lodrät vid sidan av tyngen med 0 i jämvikt och mäter, som ovan, x(t) i förhållande till 0  blir ekvationen
% x''+\frac{c}{m}\,x'+\frac{k}{m}\,x=0.
%
% 27.2 Uppgift   En tyngd med massan  2.0 kg  är upphängd i en fjäder med fjäderkonstant  k = 14.9 . Allt är nedsäkt i en vätska med viskositet  c = 0.5.  Vikten dras nedåt  0.6 m  från jämviktsläget och släpps sen. Bestäm viktens läge i förhållande till jämviktsläget vid tiden  t . Bortse från friktionskraft som uppstår när fjädern deformeras. Plotta tyngdens läge och fart som funktion av tiden.
% Lösning



%
% Det var ju bara så coolt att man vill se en animering av detta!

