%% Egenvärdesmetoden för \mathbf x'(t)=A\mathbf x(t).
% Om \{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_n\} är en bas för \mathbb R^n som består av egenvektorer till nxn-matrisen A, med tillhörande egenvärden \lambda_1, \, \lambda_2,\, \ldots,\, \lambda_n, ges alla lösningar till
% \mathbf x'(t) = A\, \mathbf x(t)
% av
% \mathbf x(t) = c_1\mathbf v_1\, e^{\lambda_1t} + c_2\mathbf v_2\, e^{\lambda_2t} + \cdots + c_n\mathbf v_n\, e^{\lambda_nt} \quad (*)
% där c_1,\, c_2,\, \ldots ,\, c_n är godtyckliga konstanter. Man skriver här exponentialfunktionerna till höger om vektor fast de (för fixt t) är skalärer, för man vill uppfatta koordinaterna i vektorerna som coefficienter för funktionerna.
% Takeaways
% Lösningsformeln ovan (som gäller när  A är diagonaliserbar).
% Kommandot [ V D ] = eig( A ) sätter   V  till en matris vars kolonner är egenvektorer till  A  och  D  till en diagonal matris med tillhörande egenvärden längs diagonalen.
% För att lösa ekvationen med begynnelseväret  \mathbf x(0)= \mathbf u  sätter man t = 0  i (*) och löser man ut  \mathbf c  i  \mathbf u = \left(\begin{array}{rrr}
% \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_n \end{array}\right)\,\mathbf c = V\mathbf c och har att $\mathbf c = \left(\begin{array}{rrrr}
% c_1 & c_2 & \ldots & c_n
% \end{array}\right)^\top . Det kan man göra med "vänsterdivision" med V i Matlab: V \,\backslash\, \mathbf u = \mathbf c.
%
%% 1. (2 x 2)-matris med två reella egenvärden av olika tecken
% Uppgift: a) Illiustera det linjära vektorfält som ges av A=\left(\begin{array}{rr}
% 2 & 3 \\
% 4 & 3\end{array}\right).
%                b) Lös systemtet av linjära differentialekvationer som ges av \mathbf x' = A\,\mathbf x, \quad \mathbf x(0) = \left(\begin{array}{rr}1 & -2\end{array}\right)^\top.
%



%
%% 2. (2 x 2)- matris utan reella egenvärden
% Om A är en n\times n-matris sån att alla nollställen till \mathrm{det}(A -\lambda I_n) inte är reella är det inte möjligt att diagonalisera A om man bara räknar med reella tal. Terorin i linjär algebra gäller emellertid även om man använder komplexa tal som skalärer och koordinater i kolonnvektorer med n rader. Rummet av såna vektorer betecknas \mathbb C^n. Lösningsformeln ovan fortsätter då att gälla:
%  Om \{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_n\} är en bas för \mathbb C^n som består av egenvektorer (med komplexa koefficienter) till matrisen A, med tillhörande (komplexa) egenvärden \lambda_1, \, \lambda_2,\, \ldots,\, \lambda_n, ges alla komplexvärda lösningar till
% \mathbf x'(t) = A\, \mathbf x(t)
% av
% \mathbf x(t) = c_1\mathbf v_1\, e^{\lambda_1t} + c_2\mathbf v_2\, e^{\lambda_2t} + \cdots + c_n\mathbf v_n\, e^{\lambda_nt} \quad (*)
% där c_1,\, c_2,\, \ldots ,\, c_n är godtyckliga konstanter. Om \lambda = \alpha + i\beta betyder nu e^{\lambda t} funktionen e^{\alpha t}e^{i\beta t}=e^{\alpha t}(\cos \beta t+i \sin \beta t), vars värden är komplex tal. Vi är bara intresserade av reella lösningar, men givet att \mathbf x(0)=\mathbf u \in \mathbb R^n är en vektor med reella koefficienter kommer \mathbf c  sånt att  \mathbf u = \left(\begin{array}{rrr}
% \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_n \end{array}\right)\,\mathbf c = V\mathbf c att ge komplexa coefficienter såna att högerledet i (*) blir reellt. Komandona i Matlab  blir därför samma som i det reella fallet.
% Uppgift: a) Illiustera det linjära vektorfält som ges av A=\left(\begin{array}{rr}
% -1 & -6 \\
%  3 & 5 \end{array}\right).
%                b) Lös systemtet av linjära differentialekvationer som ges av \mathbf x' = A\,\mathbf x, \quad \mathbf x(0) = \left(\begin{array}{rr} 4 & -6 \end{array}\right)^\top.
%



%
%% 3. (2 x 2)-matris med rent imaginära egenvärden
% Uppgift: a) Illiustera det linjära vektorfält som ges av A=\left(\begin{array}{rr}
% 1 & 1 \\
%  -2 & -1 \end{array}\right).
%                b) Lös systemtet av linjära differentialekvationer som ges av \mathbf x' = A\,\mathbf x, \quad \mathbf x(0) = \left(\begin{array}{rr} 4 & -6\end{array}\right)^\top.

