%% Lösningskurvor till vektorfält (ODE45)
% En lösningskurva till vektorfältet \mathbf F(\mathbf x)  (tänk luftström)  i planet beskrivet en partikels (tänk pingisbolls) framfart i planet i takt med tiden , så att vid varje tidpunkt har partikeln en hastighetsvektor som stämmer överens med vektorfältets vektor där den då befinner sig. Partikelns läge vid olika tidpunkter  t  anges av  \mathbf x(t) = (x_1(t), \, x_2(t)), där x_1(t) och x_2(t) är funktioner som beror av  t . Med dessa beteckningar blir villkoret att
% \mathbf x'(t) = (x_1'(t),\, x_2'(t)) = \mathbf F(x_1(t),\,  x_2(t)) = \mathbf F(\mathbf x(t)),  för alla t.
% Här är vektorfältet \mathbf F(\mathbf x) känt, och man vill bestämma x_1(t) och x_2(t), så att man vet hur partikeln rör sig.
% Under rimliga omständigheter kan man visa, att om man känner till partikelns läge (x_1(t_0)\, x_2(t_0)) vid en (1) tidpunkt t_0, så finns det entydiga funktioner x_1(t) och x_2(t) som löser \mathbf x'(t) = \mathbf F(\mathbf x(t)).  Läget (x_1(t_0)\, x_2(t_0)) kallas begynnelsevärdet och ofta är t_0 =0.
% Takaways:
%  En lösning till  \mathbf x'(t) = \mathbf F(\mathbf x(t)) med begynnelsevärdet  \mathbf x(t_0)=(x_1(t_0)\, x_2(t_0)) kan i Matlab fås med kommandot
%          [ tv Xv ] = ode45( F, [ a b ], x(0) )
%        där  tv  är en lista på tidpunkter mellan a och b , och Xv är en matris med två rader där varje kolonn innehåller koordinater där partikeln befinner sig vid motsvarande tid i tv.
%
% Uppgift: a) Illustrera vektorfältet  \mathbf F (x_1, x_2 ) =
% (\sin(x_1), \cos(x_1x_2))  över rektangeln  0 \leq x_1 \leq 2\pi, 0 \leq x_2 \leq \pi.
%                b) Plotta lösningskurvan med begynnelsevärdet  (2, 2).
%                c) Plotta i samma figur lösningskurvan när begynnelsevärdet är (6, 1).



%
% Uppgift: a) Plotta vektorfältet  \mathbf F(\mathbf x) = A\mathbf x, där A = \left(\begin{array}{rr}
% 2 & -1 \\
% 1 &  2
% \end{array}\right) över rektangeln -4 \leq x_1\leq 4, -3 \leq x_2 \leq 3.
%                b) Illistrera lösningen till \mathbf x'(t) = A\mathbf x(t),\quad \mathbf x(0) =(0.3,\, -0.2).
%

