%% 38   Basbyte
%
% Integraler av typen \int\cos^{2n+1}x\,dx klarar du lätt med omskrivningen
%  \cos^{2n+1}\!\,x=(1-\sin^2\!\,x)^n\cos x\,
% och sen göra variabelbytet u=\sin x,\, så att du får \int (1-u^2)^n\,du\,. Sen utvecklar du (1-u^2)^n\, och integrerar.
% Det är värre med \int\!\cos^{2n}\!\,x\,dx\,. Här är det en mer omfattande omskrivning som krävs för att skriva t.ex. \cos^2x\, som (1/2)\cos 2x +1/2\, och så vidare.
% Du vill få system i detta och misstänker att
% \mbox{Span}\{\cos^4\!\,x,\, \cos^2\!\, x,\,1\} och \mbox{Span}\{\cos 4x,\, \cos 2x,\, 1\}
% är sammma delrum till C(\mathbb R)\,. Vilken dimension har \mbox{Span}\{\cos 4x,\, \cos 2x,\,1\}? Är \cos4x,\, \cos 2x,\,1\, linjärt oberoende? Du kollar genom att lösa
% c_1\,\cos 4 x+c_2\, \cos 2 x+c_3\cdot 1=0
% och kommer ihåg att likheten betyder att funktionen i vänstra ledet ska vara konstant 0\,. Sätter du x=0\, får du c_1+c_2+c_3=0\, och x=\pi/2 ger c_1-c_2+c_3=0, så c_2=0\,. Sätter du nu x=\pi/8 får du c_3=0 och då är även c_1=0\,. Du har fått att \cos4x,\, \cos 2x,\,1\,är linjärt oberoende och att  \mbox{Span}\{\cos 4x,\, \cos 2x,\, 1\}därför har dimension 3\,.
% Du minns formeln för dubbla vinkeln som ger
% \cos 2x = \cos^2\!\,x-\sin^2\!\,x = 2\cos^2\!\,x-1\\
% \cos 4x = 2\cos^22x -1 = 2(2\cos^2\!\,x-1)^2-1= 8\cos^4\!\,x-8\cos^2\!\,x+1\,.
% Du ser därför att funktionerna \cos4x,\, \cos 2x,\,1 alla ligger i \mbox{Span}\{\cos^4\!\, x,\, \cos ^2\!\,x,\,1\}\, som har dimension högst 3\,. Slutsaten blir att
% \mbox{Span}\{\cos 4x,\, \cos 2x,\, 1\}=
% \mbox{Span}\{\cos^4\!\, x,\, \cos ^2\!\,x,\,1\}\,
% och att du har två olika baser \mathcal B:\cos 4x,\, \cos 2x,\,1\,respektive \mathcal C:\cos^4\!\, x,\, \cos ^2\!\,x,\,1\,för detta delrum till C(\mathbb R)\,som du för enkelhets skull kallar H\,.
% Finns det nån fördel med den ena basen framför den andra? Svaret är att det beror på vad du vill göra. Om du t.ex vill lösa ekvationen f(x)=0 för f\in H är det bättre att uttrycka f med basen \mathcal C\, så att
% f(x) = c_1\cos^4\!\,x+c_2\cos^2\!\, x+ c_3\cdot1=0\qquad (1)
% för några skalärer c_1,\,c_2,\,c_3\. för då kan du sätta t= \cos^2\!\,x\, och först lösa
% c_1\,t^2+c_2\,t+c_1=0
% och sen \cos^2\!\,x=t\,. Det blir väsentligt svårare om du uttrycker f med den andra basen \mathcal B:
% f(x)=b_1\cos 4x + b_2 \cos 2x + b_3\cdot 1 = 0\qquad (2)
% för några skalärer b_1,\,b_2,\,b_3\,.
% Men vill du hitta en primitiv funktion är (2)\, definitivt att föredra:
% \int\!f(x)\, dx =\frac{b_1}{4}\sin 4x +\frac{b_2}{2}\sin 2x + b_3x\,.
% Detta övertygar dig om att båda baserna har sina förtjänster. OK, du har att f har olika koordinatvektorer med avseende på de två baserna:
% [f]_\mathcal C=
% \left(\begin{array}{r}
% c_1\\c_2\\c_3
% \end{array}\right)\,,\qquad
% [f]_\mathcal B=
% \left(\begin{array}{r}
% b_1\\b_2\\b_3
% \end{array}\right)\,.
% och vill veta hur du ska ta dig från en koordinatvektor till en annan.
%  Anta att \mathcal B:\mathbf b_1,\,\mathbf b_2,\,\ldots,\,\mathbf b_n\, och \mathcal C:\mathbf c_1,\, \mathbf c_2,\,\ldots,\,\mathbf c_n\, är två baser för vektorrummet V\, och att
% [\mathbf v]_\mathcal B =\left(\begin{array}{r}
% b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n
% \end{array}\right)  så att \mathbf v = b_1\,\mathbf b_1+b_2\,\mathbf b_2 + \cdots + b_n\,\mathbf b_n\,.\qquad(3)
% Eftersom \mathcal C\, är en bas kan varje vektor i \mathcal B\, skrivas
% \begin{array}{rcl}
% \mathbf b_1 &= & a_{11}\, \mathbf c_1 + a_{21}\,\mathbf c_2 + \cdots +a_{i1}\,\mathbf c_i+\cdots+ a_{n1}\,\mathbf c_n\\
% \mathbf b_2 &= & a_{12}\, \mathbf c_1 + a_{22}\,\mathbf c_2 + \cdots +a_{i2}\,\mathbf c_i+\cdots + a_{n2}\,\mathbf c_n\\
% \vdots &  & \vdots \\
% \mathbf b_n &= & a_{1n}\, \mathbf c_1 + a_{2n}\,\mathbf c_2+\cdots +a_{in}\,\mathbf c_i + \cdots + a_{nn}\,\mathbf c_n \,
% \end{array}
% för entydigt bestämda skalärer a_{ij}\,. Från (3) får du då
% \mathbf v = d_1\,\mathbf c_1+d_2\,\mathbf c_2 + \cdots + d_n\,\mathbf c_n
% där d_i = a_{i1}\,b_1 + a_{i2}\,b_2 + \cdots + a_{in}\,b_n\,. Det betyder att
% \begin{array}{rcl}
% [\mathbf v]_\mathcal C
% &=&
% \left(\begin{array}{cccc}
% a_{11}& a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
% a_{21}& a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
% \vdots & \vdots & & \vdots \\
% a_{n1}& a_{n2} & \ldots & a_{nn}
% \end{array}\right)
% \left(\begin{array}{c}
% b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n
% \end{array}\right) =  \\
%  & & \\
% &=&
% \left(\begin{array}{rrrr}
% [\mathbf b_1]_\mathcal C &
% [\mathbf b_2]_\mathcal C &
% \ldots &
% [\mathbf b_n]_\mathcal C
% \end{array}\right)[\mathbf v]_\mathcal B\,.
% \end{array}
% Sats   Anta att \mathcal B:\mathbf b_1,\,\mathbf b_2,\,\ldots,\,\mathbf b_n\, och \mathcal C:\mathbf c_1,\, \mathbf c_2,\,\ldots,\,\mathbf c_n\, är två baser för vektorrummet V\,. Om då P_{\mathcal C\gets\mathcal B} betecknar matrisen
% P_{\mathcal C\gets\mathcal B}=
% \left(\begin{array}{rrrr}
% [\mathbf b_1]_\mathcal C &
% [\mathbf b_2]_\mathcal C &
% \ldots &
% [\mathbf b_n]_\mathcal C
% \end{array}\right)\,
% så gäller att för varje \mathbf v\in V att
% [\mathbf v]_\mathcal C = P_{\mathcal C\gets\mathcal B}[\mathbf v]_\mathcal B\,.\qquad(4)
% Det betyder att du kan få koordinatvektorn med avseende på basen \mathcal C från koordinatvektorn med avseende på basen \mathcal B genom att multiplicera med matrisen vars kolonner utgörs av koordinatvektorerna för vektorerna i \mathcal B med avseende på basen \mathcal C\,. Tungt att säga men innebörden är enkel.
% Matrisen P_{\mathcal C\gets\mathcal B} kallas basbytesmatrisen fårn basen \mathcal B\, till basen \mathcal C\, (eng. change-of-coordinates matrix from \mathcal B to \mathcal C\,).
% Genom att multiplicera båda sidor i (3)\, med inversen till matrisen får du
% (P_{\mathcal C\gets\mathcal B})^{-1}[\mathbf v]_\mathcal C=[\mathbf v]_\mathcal B\,
% så
% P_{\mathcal B\gets\mathcal C}=(P_{\mathcal C\gets\mathcal B})^{-1}\,.
% Strålande! Har du en av basbytesmatriserna får du den andra genom invertering.
% Okej, men om du nu har två baser \mathcal F:f_1,\,f_2,\,\ldots,\,f_n och \mathcal G:g_1,\,g_2,\,\ldots,\,g_n för ett och samma delrum V\,till C(I)\, så att dina "vektorer" är funktioner. Hur gör du då smidigast för att hitta P_{\mathcal F\gets\mathcal G}\,?
% Metod
% Välj n punkter x_1,\,x_2,\,\ldots,\, x_n\,i intervallet I\,.
% Om du inte har otur är matriserna
% F=\left(\begin{array}{rrrr}
% f_1(x_1) & f_2(x_1) & \ldots & f_n(x_1) \\
% f_1(x_2) & f_2(x_2) & \ldots & f_n(x_2) \\
% \vdots & & &\vdots\\
% f_1(x_n) & f_2(x_n) & \ldots & f_n(x_n)
%  \end{array}\right)\,,\quad
% G=\left(\begin{array}{rrrr}
% g_1(x_1) & g_2(x_1) & \ldots & g_n(x_1) \\
% g_1(x_2) & g_2(x_2) & \ldots & g_n(x_2) \\
% \vdots & & &\vdots\\
% g_1(x_n) & g_2(x_n) & \ldots & g_n(x_n)
%  \end{array}\right)
% inverterbara (eftersom \mathcal F och \mathcal G\, är en baser). Kolla med rangen om du ska välja nya punkter.
%  Säg nu att g=c_1\,f_1+c_2\,f_2+\cdots+c_n\,f_n för några skalärer c_1,\, c_2,\,\ldots,\, c_n\, så att
% [g]_\mathcal F =\left(\begin{array}{r} c_1\\c_2\\ \vdots \\ c_n\end{array}\right)\,
% Då gäller att
% F\, [g]_\mathcal F=
% \left(\begin{array}{rrrr}
% f_1(x_1) & f_2(x_1) & \ldots & f_n(x_1) \\
% f_1(x_2) & f_2(x_2) & \ldots & f_n(x_2) \\
% \vdots & & &\vdots\\
% f_1(x_n) & f_2(x_n) & \ldots & f_n(x_n)
%  \end{array}\right)
% \left(\begin{array}{r} c_1\\c_2\\ \vdots \\ c_n\end{array}\right)=
% \left(\begin{array}{r} g(x_1)\\ g(x_2)\\ \vdots \\ g(x_n)\end{array}\right)\,
% Detta ger dig att
% F\left(\begin{array}{rrrr}[g_1]_\mathcal F & [g_2]_\mathcal F & \ldots & [g_n]_\mathcal F\end{array}\right)=
% \left(\begin{array}{rrrr}F[g_1]_\mathcal F & F[g_2]_\mathcal F & \ldots &F [g_n]_\mathcal F\end{array}\right)=
%  G\,
% så
%
% F P_{\mathcal F\gets\mathcal G}= G\,\quad \mbox {och } \quad P_{\mathcal F\gets\mathcal G}= F^{-1}G\,.
% I Matlab är det inte lämpligt att här lösa ut P_{\mathcal F\gets\mathcal G med invertering. Kör istället "vänsterdivision"
% P_F_leftarrow_G = F\G
% Uppgift 38.1
% (a)    Bestäm basbytesmarirsen från basen \mathcal B:\cos 4x,\, \cos 2x,\,1\,till basen  \mathcal C:\cos^4\!\, x,\, \cos ^2\!\,x,\,1\,för  vektorrummet
% V= \mbox{Span}\{\cos 4x,\, \cos 2x,\, 1\}=
% \mbox{Span}\{\cos^4\!\, x,\, \cos ^2\!\,x,\,1\}\,.
% (b)   Lös ekvationen
% 3\cos 4x  + 2\cos 2x -2=0
% (c)   Beräkna
% \int( 3\cos^4\!\,x- 5 \cos^2\!\, x )\,dx\,.
% Lösning
% (a)   Du vet redan hur du med formler för dubbla vinkeln kan uttrycka \cos 4x och \cos 2x med vektorerna i \mathcal C och därmed bestämma [\cos 4x]_\mathcal C och [\cos 2x]_\mathcal C:
% \cos 4x =  8\cos^4\!\,x-8\cos^2\!\,x+1\\
% \cos 2x =2\cos^2\!\,x-1
% ger dig
% [\cos 4x]_\mathcal C=
% \left(\begin{array}{r}
% 8 \\ -8\\ 1
% \end{array}\right)\,,\quad
%  [\cos 2x]_\mathcal C=
%  \left(\begin{array}{r}
% 0\\ 2\\-1
% \end{array}\right)\,,\quad
% [1]_\mathcal C =
% \left(\begin{array}{r}
% 0 \\ 0 \\ 1
% \end{array}\right)\,
% så
% P_{\mathcal C\gets\mathcal B}=
% \left(\begin{array}{rrr}
% 8 & 0 & 0 \\
% -8 & 2 & 0 \\
% 1 & -1 & 1
% \end{array}\right)\,.
% Det är ju elegant, men hur klarar du mer komplicerade situtationer (med Matlab)?

 

% (b)
% Du plottar först
% f(x)=3\cos 4x  + 2\cos 2x -2
% för att kolla läget



% Du skriver om f i basen \mathcal C för bättre koll



% Du sätter t= \cos^2x och får p(t)=24\,t^2-20\,t-1=0\,. Du plottar polynomet och kollar dess nollställen



% (c)   Du ska beräkna \int (3\cos^4\!\,x- 5 \cos^2\!\, x) \,dx\, och sätter f(x) = 3\cos^4\!\,x-5\,\cos^2\!\,x och vill skriva den i basen \mathcal B\,
% för enkel integrering.



%
%