%% 43   Egenvärdesmetoder
% Innehåll
% 43.1   Linjära diskreta dynamiska system
% 43.2   System av första ordningens differentialekvationer
%
%% 43.1   Linjära diskreta dynamiska system
%
% Så du vill lösa rekursionsekvationen som kallas ett linjär diskret dynamiskt system
% \begin{array}{rcl}
% \mathbf x_{k+1} &=& A\mathbf x_k\quad  \mbox{ när }\quad k>0\,,\\
% \mathbf x_0 &=& \mathbf v\,,
% \end{array}\,
% där A\, är en känd kvadratisk matris och \mathbf v är en känd vektor. Att lösa ekvationen betyder att hitta en formel för vektorn \mathbf x_k\,.
% Du har
% \mathbf x_1= A\mathbf v,\, \\
% \mathbf x_2 = A\mathbf x_1 = A^2\,\mathbf v
% \\
% \mathbf x_3 = A\mathbf x_2 = A^3\,\mathbf v\\
% \vdots\\
% \mathbf x_k = A^k\,\mathbf v \,,
% så det är ju bara att räkna ut A^k\,. Men ... det är inte så "bara" om A\, har många rader och k\, är stort.
% Säg att du lyckas skriva \mathbf v\, som en linjärkombination av egenvektorer \mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\, \mathbf v_p\, till A\, som hör till egenvärden \lambda_1,\, \lambda_2\,\ldots ,\, \lambda_p\, så att
% \mathbf v = c_1\,\mathbf v_1+c_2\,\mathbf v_2 +\cdots +c_p\mathbf v_p\,
% för några skalärer c_1,\, c_2,\, \ldots ,\, c_p\,. Eftersom A\mathbf v_i=\lambda_i\,\mathbf v_i\, har du då A^k\,\mathbf v_i=(\lambda_i)^k\,\mathbf v_i\, och
% \begin{array}{rcl}
% \mathbf x_k
% &=&
%  A^k\,\mathbf v = A^k( c_1\,\mathbf v_1+c_2\,\mathbf v_2 +\cdots +c_p\mathbf v_p\,) = \\
% &=& c_1\,(\lambda_1)^k\,\mathbf v_1+c_2\,(\lambda_2)^k\,\mathbf v_2 +\cdots +c_p\,(\lambda_p)^k\,\mathbf v_p\,.
% \end{array}
% Men ... hur vet du då om du alltid lyckas skriva den givna vektorn \mathbf v\, på det sättet då? Du kan förstås ha tur och lyckas för ett visst speciellt \mathbf v\,, men i allmänhet? I så fall måste \mathbb R^n\, ha en bas av egenvektorer till A (vilket inträffar precis när A\, är diagonaliserbar) så att varje \mathbf v\in \mathbb R^n är en linjärkombination av sådana.
% Sats   Om \mathbb R^n har en bas \mathcal B:\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\, \mathbf v_n bestående av egenvektorer till n\times n-matrisen A\, med tillhörande egenvärden \lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\, \lambda_n\, så ges lösningen till det linjära diskreta dynamiska systemet
% \begin{array}{rcl}
% \mathbf x_{k+1} &=& A\mathbf x_k\quad  \mbox{ när }\quad k>0\\
% \mathbf x_0 &=& \mathbf v
% \end{array}
% av
%
% \mathbf x_k
% = c_1\,(\lambda_1)^k\,\mathbf v_1+c_2\,(\lambda_2)^k\,\mathbf v_2 +\cdots +c_n\,(\lambda_n)^k\,\mathbf v_n\,,
% \end{array}
% där
% \left(\begin{array}{r} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{array}\right) = [\mathbf v]_\mathcal B\,.
% Uppgift 43.1   Lös det linjära diskreta systemet
% \begin{array}{rcl}
% \mathbf x_{k+1} &=& A\mathbf x_k\quad  \mbox{ när }\quad k>0\\
% \mathbf x_0 &=& \mathbf v
% \end{array}
% när
% A=  \left(\begin{array}{rrrr} \frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{12} & -\frac{13}{6}\\ \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{5}{4} & 0\\ -1 & 0 & -\frac{1}{3} & 2\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{array}\right)
% \,,\quad
% \mathbf v= \left(\begin{array}{r} 4\\ -5\\ -9 \\ 7
% \end{array}\right)\,.
% Lösning   För att den metod du känner till ska lyckas måste A\, vara diagonaliserbar. Du kollar om karaktäristiska polynom bara har reella nollställen och bestämer dimensionen av egenrummen till egenvärdena ( nollställena till karaktärsitiska polynomen).



%
%% 43.2   System av första ordningens differentialekvationer
%
% Okej, du vet nu hur du ska lösa linjära diskreta system och är sugen på att klara system av första ordningens differentialekvationer. Ett sånt är av formen
%  \left\{\begin{array}{rclrcrcrcr}
%   x_1'(t) &=& a_{11}x_1(t) &\!+\!& a_{12}x_2(t) &+& \cdots & \!+\! &
%                                                                       a_{1n}
%                                                                       x_n(t)
%            \\
%   x_2'(t) &=& a_{21}x_1(t) &\!+\!& a_{22}x_2(t) &+& \cdots & \!+\! &
%                                                                       a_{2n}
%                                                                       x_n(t)
%            \\
%    \vdots &=&  \vdots & & & & & &\vdots \\
%     x_n'(t) &=& a_{n1}x_1(t) &\!+\!& a_{n2}x_2(t) &+& \cdots & \!+\! &
%                                                                       a_{nn}
%                                                                       x_n(t)
%   \end{array}\right.\,.
% där talen a_{ij} är kända skalärer.
% Att lösa systemet betyder att bestämma alla funktioner x_1(t), x_2(t),\, \ldots,\, x_n(t) så att båda sidor blir samma funktion i ekvationerna.
% Sätter du
% \mathbf x(t) =\left(\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{array}\right)\,,
% \mathbf x'(t) =\left(\begin{array}{c} x_1'(t) \\ x_2'(t) \\ \vdots \\ x_n'(t) \end{array}\right)\,\quad\mbox{ och } \quad
% A = \left(\begin{array}{cccc}
% a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
%  a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
% \vdots & & & \vdots \\
% a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
% \end{array}\right)\,
% kan systemet skrivas
% \mathbf x'(t) = A\,\mathbf x(t)\,.
% Anta nu att \mathbb R^n\, har en bas \mathcal B: \mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\,\ldots\,, \mathbf v_n som består av egenvektorer till A\, som hör till egenvärdena \lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\, \lambda_n\,. Då kan \mathbf x(t) skrivas som
% \mathbf x(t) = y_1(t)\, \mathbf v_1 + y_2 (t)\,\mathbf v_2 + \cdots + y_n(t)\,\mathbf v_n\,,
% för några obekanta funktioner y_1(t),\,y_2(t),\,\ldots,\,y_n(t). Det betyder att
% \mathbf x'(t)= y_1'(t)\, \mathbf v_1 + y_2 '(t)\,\mathbf v_2 + \cdots + y_n'(t)\,\mathbf v_n\,
% och att
% A\mathbf x(t ) =\lambda_1\,y_1(t)\, \mathbf v_1 + \lambda_2y_2 (t)\,\mathbf v_2+ \cdots + \lambda_n y_n(t)\,\mathbf v_n\,.
% Ekvationen \mathbf x'(t)=A\,\mathbf x(t)\, blir därför
%  y_1'(t)\, \mathbf v_1 + y_2 '(t)\,\mathbf v_2 + \cdots + y_n'(t)\,\mathbf v_n =
% \lambda_1\,y_1(t)\, \mathbf v_1 + \lambda_2y_2 (t)\,\mathbf v_2 + \cdots + \lambda_n y_n(t)\,\mathbf v_n\,.
% Eftersom \mathbf v_1,\,\mathbf v_1,\,\ldots,\,\mathbf v_n är linjärt oberoende ger det att
% \begin{array}{rrl}
% y_1'(t) &=& \lambda_1\,y_1(t) \\
% y_2'(t) &=& \lambda_2\,y_2(t) \\
%   &\vdots &  \\
% y_n'(t) &=& \lambda_n\,y_n(t) \,.
% \end{array}
% Lösningarna  till y'=\lambda y är y = c\,e^{\lambda\,t}\,, där c\, är en godtycklig konstant (skalär). Därför gäller att
% \begin{array}{rcl}
% y_1(t) &=& c_1\,e^{\lambda_1\,t}\\
% y_2(t) &=& c_2\,e^{\lambda_2\,t} \\
%   &\vdots &  \\
% y_n(t) &=& c_n\,e^{\lambda_n\,t} \,.
% \end{array}
% där c_1,\,c_2,\,\ldots,\, c_n\, är godtyckliga konstanter. Detta ger att
% \mathbf x(t) =c_1\,e^{\lambda_1\,t}\, \mathbf v_1 + c_2\,e^{\lambda_2\,t}\,\mathbf v_2 + \cdots + c_n\,e^{\lambda_n\,t}\,\mathbf v_n\,.
% Sats   Om \mathbb R^n\, har en bas \mathcal B:\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_n\, bestående av egenvektorer till n\times n-matrisen A\, med till hörande egenvärden \lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\, \lambda_n\, så är lösningarna till
% \mathbf x'(t) = A\,\mathbf x(t)
% alla
% \mathbf x(t) =c_1\,e^{\lambda_1\,t}\, \mathbf v_1 + c_2\,e^{\lambda_2\,t}\,\mathbf v_2 + \cdots + c_n\,e^{\lambda_n\,t}\,\mathbf v_n\,,
% där c_1,\, c_2,\, \ldots c_n\, är godtyckliga konstanter.
%
% Uppgift 43.2   Lös systemet
% \mathbf x'(t) = A\mathbf x(t)
% när
% A=  \left(\begin{array}{rrr} 1 & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4}\\ -\frac{1}{3} & -\frac{17}{6} & 3\\ -\frac{1}{3} & -\frac{31}{12} & \frac{11}{4} \end{array}\right),\ \qquad
% \mathbf x(0) =\left(\begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ 0\\ -1
% \end{array}\right)\,.
% Plotta funktionerna som löser systemet.
% Lösning

