%% 42   Egenvärden och egenvektorer
% Innehåll
% 42.1   Definitioner
% 41.2   Karaktäristiska polynomet till en kvadratisk matris
% 41.3   Diagonalisering
% 41.4   Matlabs inbyggda eig
%% 42.1   Definitioner
%
% I linjär algebra kan du ibland lösa problem genom att välja en lämplig bas för ett vektorrum. Ett exempel på detta som du sett är partialbråksuppdelning: omskrivning av ett polynom i \mathbb P_n som en linjärkombination av polynom i en lämplig bas hjälper dig att integrera.
% Anta att du har en  n\times n- matris och vill förstå vad A\mathbf x blir för olika \mathbf x\in \mathbb R^n\,. Har du tur kanske du hittar en \mathbf v_1\in \mathbb R^n, \mathbf v_1\not=\mathbf 0\,, sån att
% A\mathbf v_1=\lambda_1 \mathbf v_1
% för nån skalär \lambda_1 \in \mathbb R\,. (Den grekiska bokstaven \lambda utläses "lambda".) Det betyder att du lätt kan fatta vilken "effekt" multiplikation med A\, har på den vektorn. Resultatet blir helt enkelt multiplikation med en skalär och A\mathbf v_1 är därför parallell med \mathbf v_1\,.
% Har du riktig tur kanske du hittar en hel bas \mathcal B:\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_n\, för \mathbb R^n\, av såna vektorer så att
% A\mathbf v_1=\lambda_1 \mathbf v_1\,,\quad
% A\mathbf v_2=\lambda_2 \mathbf v_2\,,\quad \ldots\,,\quad A\mathbf v_n=\lambda_n \mathbf v_n\,
% för några skalärer \lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\,\lambda_n\,. Varför skulle det vara bra? Jo, du har då att varje \mathbf v\in \mathbb R^n\, (entydigt) kan skriva som en lijärkombination av vektorerna i basen \mathcal B:
% \mathbf v = c_1\,\mathbf v_1+ c_2\,\mathbf v_2 + \cdots + c_n\,\mathbf v_n
% där c_1,\,c_2,\,\ldots,\, c_n är \mathbf v:s koordinater i basen. Det gör att du kan bestämma A:s effekt på vilken vektor \mathbf v\in \mathbb R^n som helst enligt
% \begin{array}{rcl}
% A\mathbf v &=& A(c_1\,\mathbf v_1+ c_2\,\mathbf v_2 + \cdots + c_n\,\mathbf v_n )=\\
% &=&
% c_1\,A\mathbf v_1+ c_2\,A\mathbf v_2 + \cdots + c_n\,A\mathbf v_n =\\
% &=&
% c_1\lambda_1\,\mathbf v_1+ c_2\lambda_2\,\mathbf v_2 + \cdots + c_n\lambda_n\,\mathbf v_n  \,\end{array}
% och det är riktigt coolt, för du kan då beräkna A\mathbf v\, utan matrisen för A\,.
% Detta förtjänar en
% Definition   En vektor \mathbf v\in \mathbb R^n är en egenvektor (eng. eigen vector) till n\times n-matrisen A\, om
%    (1)   \mathbf v \not= \mathbf 0,\,
%    (2)   A\mathbf v=\lambda \mathbf v\, för nån skalär \lambda\in \mathbb R\,.
% Skalären \lambda\, kallas då egenvärdet (eng. eigen value) som hör till egenvektorn \mathbf v\,.Alternativt kan du säga att  \mathbf v är en egenvektor som hör till egenvärdet \lambda\, och att \lambda\, är ett egenvärde till A\,.
% Det är lättast att först bestämma A:s egenvärden och därefter egenvektorer som hör till dessa. Anledningen är att ekvationen
% A\mathbf v =\lambda\,\mathbf v
% genom överflyttning kan skrivas ( I\,är identitetsmatrisen av formen n\times n\,)
% \mathbf 0= A\mathbf v-\lambda\,\mathbf v= A\mathbf v -\lambda\,I\mathbf v = (A-\lambda\,I)\mathbf v
% så att \lambda\,är ett egenvärde till A\, precis när ekvationen
% (A-\lambda I)\mathbf v =\mathbf 0
% har en icke-trivial lösning \mathbf v\, (dvs \mathbf v\not=\mathbf 0\,). Detta ger dig att
% \lambda\, är ett egenvärde precis när \mbox{Null}\,(A-\lambda\, I)\not=\{\mathbf 0\}\,
% Delrummet \mbox{Null}\,(A-\lambda\,I)\, kallas då egenrummet (eng. eigen space) som hör till egenvärdet \lambda\,. Det består av alla egenvektorer som hör till \lambda\, samt nollvektorn \mathbf 0\,.
%
%% 41.2   Karaktäristiska polynomet till en kvadratisk matris
%
% Du har flera andra  sätt att uttrycka villkoret \mbox{Null}\,(A-\lambda\, I)\not=\{\mathbf 0\}\,
% \mbox{dim}\Big( \mbox{Null}\,(A-\lambda\, I)\Big)\geq 1\,,
% A-\lambda\,I har en kolonn som inte är pivotkolonn,
% rangen av A-\lambda\,I\, är inte full (\mbox{rank}\,(A-\lambda\,I)<n\,),
% A-\lambda\,I\, är inte inverterbar,
% \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)=0\,.
% Den sista varianten är särskilt lämpad för (teoretisk) bestämning av egenvärden till matrisen A\, och förtjänar:
% Definition   Polynomet \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)  kallas matrisen A:s karaktäristiska polynom (eng. characteristic polynomial). Ekvationen \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)=0\, kallas A:s katakteristiska ekvation (eng. characteristic equation). Reella lösningar till den är A:s (reella) egenvärden.
% Uttrycket \mbox{det}\,(A-\lambda\,I) har variabeln \lambda och när du utvecklar determinanten kommer du att se att \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)verkligen är ett polynom och att graden alltid kommer att bli n\, när A\, är en n\times n-matris. Det betyder att det karaktäristiska polynomet har högst n reella nollställen.
% I den här kursen är alla egenvärden reella. Icke-reella lösningar till den karakträristiska ekvationen räknar vi inte som egenvärden till A\,.
% Metod   (för att bestämma egenvärden till A\,)
% Beräkna karaktäristiska polynomet \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)\,,
% Bestäm de reella nollställen till detta polynom.
% Metod   (för att bestämma egenvektorer som hör till ett egenvärde \lambda\, till A\,)
% Överför A-\lambda\,I till U\, på (R)TF med radoperationer. Ekvationen U\mathbf v=\mathbf 0 har samma lösningar som (A-\lambda\,I)\mathbf v=\mathbf 0\,.
% Lös U\mathbf v=\mathbf 0 och uttryck lösningen som en linjärkombination av vissa vektorer där fria variabler agerar vikter.
% Vektorerna i linjärkombinationen utgör en bas för egenrummet till \lambda\,.
% I Matalb kan du sätta p till  A:s karaktäristiska polynom med komandot
% p = charpoly( A )
% som ger dig koefficienterna för p i standardbas (en radvektor med p:s koeffficienter). Egenvärdena är sen de nollställen till p som är reella. Samtliga (även icke-reella) nollställen får du med
% r = roots( p )
% som sätter  r  till en radvektor med nollställena.
% OBS!   När Matlab bestämmer egenvärden till en matris A\, görs det utan användning av det karaktäristiska polynomet. Anledningen är att det är praktiskt orealistisk att beräkna determinanter av större matriser på rimlig tid. Därför bestäms först approximationer av egnvärden med andra metoder och sedan det polynom som har dessa som nollställe för att konstruera  charpoly( A ) . Det beytder att koefficienterna i polynomet ofta bara är approximationer av de riktiga.
%
% Uppgift 41.1
% (a)   Bestäm egenvärden till matrisen
% A=\left(\begin{array}{rrrr} 5 & -4 & 3 & 0\\ 3 & 0 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & -1\\ 15 & -12 & 5 & -3 \end{array}\right)\,.
% (b)  Bestäm baser för egenrummen till A\,.
% Lösning



% När matrisen A är uppåt eller nedåt triangulär är det jättelätt at bestämma A:s egenvärden. Det är helt enkelt elementen längs huvuddiagonalen i A\,. När A\, är uppåt triangulär ser du det genom att konsekvent utveckla determinanten av A-\lambda\,I längs första kolonnen. ( Är den nedåt triangulär kan du konsekvent utveckla längs första raden (eller transponera matrisen).) Här har du en illustration till detta fenomen. Säg att
% A = \left(\begin{array}{rrrr}
% 5 & -4 & -3 & -3\\
%  0 & 1 & -4 & 1\\
% 0 & 0 & -1 & 5\\
% 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)\,.
% Då är
% \begin{array}{rcl}
% \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)
% &=&
%  \left|\begin{array}{rrrr}
% 5 -\lambda & -4 & -3 & -3\\
%  0 & 1-\lambda & -4 & 1\\
% 0 & 0 & -1-\lambda & 5\\
% 0 & 0 & 0 & -1-\lambda
%  \end{array}\right|\, = \\
% &=&
% (5 -\lambda ) \left|\begin{array}{rrrr}
%  1-\lambda & -4 & 1\\
%  0 & -1-\lambda & 5\\
%  0 & 0 & -1-\lambda
%  \end{array}\right|\, = \\
% &=&
% (5 -\lambda )( 1-\lambda)
%  \left|\begin{array}{rr}
%   -1-\lambda & 5\\
%   0 & -1-\lambda
%  \end{array}\right|\,=\\
% &=&
% (5-\lambda)(1-\lambda)(-1-\lambda)(-1-\lambda)\,
%
% \end{array}
% vars nollställen är precis 5,\, 1,\, -1\, och -1\,(som är ett dubbelt nollställe).
%
%% 41.3   Diagonalisering
%
% Det är inte alla matriser som har egenvärden. Det karaktärisktiska polynomet till
% A= \left(\begin{array}{rr} 1& -2 \\ 3 & 2\end{array}\right)
% är t.ex
% \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)=\left| \begin{array}{rr}1-\lambda & -2 \\ 3 & 2-\lambda \end{array}\right| = \lambda^2-3\lambda +8\,
% som saknar reella nollställen. Du vill ha kriterium för när egenvärden till en n\times n-matris finns och när du i så fall kan hitta en bas för \mathbb R^n  som består av egenvektorer till A\,. Vägen dit gör en omväg till så kallade diagonaliserabara matriser.
% Definition   En n\times n-matris A\, är diagonaliserbar (eng. diagonalizable) om det finns en diagonal matis D\, och en inverterbar matris P\, så att
% A=PDP^{-1}\,
% eller (efter multiplikation av båda sidor med P\, från höger) AP=PD\,.
% Det är inte direkt uppenbart att detta har nåt med egenvärden och egenvektorer till A\, att göra men om du låter kolonnerna i P\, betecknas av \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_n och
% D=\left(\begin{array}{rrrr}
% \lambda_1 & 0 & \ldots & 0 \\
% 0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \\
% \vdots & \vdots & & \vdots\\
% 0 & 0 & \ldots & \lambda_n
% \end{array}\right)\,
%
% har du från AP=PD\, att
% A\left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_n
% \end{array}\right)=
% \left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_n
% \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrrr}
% \lambda_1 & 0 & \ldots & 0 \\
% 0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \\
% \vdots & \vdots & & \vdots\\
% 0 & 0 & \ldots & \lambda_n
% \end{array}\right)\, \\
% \left(\begin{array}{rrrr}
% A\mathbf v_1 & A\mathbf v_2 & \ldots &A \mathbf v_n
% \end{array}\right)=
% \left(\begin{array}{rrrr}
% \lambda_1\,\mathbf v_1 & \lambda_2\,\mathbf v_2 & \ldots & \lambda_n\mathbf v_n
% \end{array}\right)\,.
% För att A ska vara diagonaliserbar ska kolonnerna i P\, vara egenvektorer till A\, och skalärerna längs diagonalen i D\, vara egenvärden som hör till dessa. För att P\, ska vara inveterbar måste dessutom kolonnerna i P vara linjärt oberoende och alltså utgöra en bas för \mathbb R^n\,. Detta ger dig
% Sats   En n\times n-matris är A\, diagonaliserbar precis när \mathbb R^n har en bas som består av egenvektorer till A\,.
% Det blev ju egentligen bara en omskrivning av det du vill ha: en bas för \mathbb R^n bestående av egenvektorer till A\, men det blir kortar att säga att A\, är diagonaliserbar.
% Du vill ha nåt mer handfast. Här kommer en bit på vägen:
% Sats   Egenvektorer till A\, som hör till olika egenvärden är linjärt oberoende.
% Säg nämligen att du har fått fatt i egenvektorerna \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_r som hör till olika egenvärden \lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots,\,\lambda_r\, och att de ändå är linjärt berodende. Eftersom \mathbf v_1\not=\mathbf 0\, är uppsättningen som bara består av \mathbf v_1 linjärt oberoende. Fortsätt att lägga till vektorer från dina egenvektorer i tur och ordning och du kommer till sist till ett index j < r\, så att
%    (a)    \mathbf v_1,\,\ldots,\,\mathbf v_j är linjärt oberoende,
%    (b)    \mathbf v_1,\,\ldots,\,\mathbf v_j,\,\mathbf v_{j+1}\,är linjärt beroende.
% Så måste det vara eftersom du antagit att \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_r\, är linjärt beroende.
% Punkt (a) ger dig då att det finns skalärer c_1,\,c_2,\,\ldots,\, c_j,\,c_{j+1}\, som inte alla är 0 så att
% c_1\,\mathbf v_1+c_2\,\mathbf v_2+\cdots
% +c_j\,\mathbf v_j+c_{j+1}\,\mathbf v_{j+1}=\mathbf 0\,\qquad (1)
% I (1) kan c_{j+1} inte vara 0\, eftersom vektorerna \mathbf v_1,\,\ldots,\,\mathbf v_j är linjärt oberoende. Multiplicerar du nu båda sidor i (1) med \lambda_{j+1} och med A\, från vänster får du
% c_1\,\lambda_{j+1}\,\mathbf v_1+c_2\,\lambda_{j+1}\,\mathbf v_2+\cdots
% +c_j\,\lambda_{j+1}\,\mathbf v_j+c_{j+1}\,\lambda_{j+1}\,\mathbf v_{j+1}=\mathbf 0\,\qquad (2)
% respektive
% c_1\,\lambda_1\,\mathbf v_1+c_2\,\lambda_2\,\mathbf v_2+\cdots
% +c_j\,\lambda_j\,\mathbf v_j+c_{j+1}\,\lambda_{j+1}\mathbf v_{j+1}=\mathbf 0\,\qquad (3)
% eftersom vektorerna är egenvektoer till A\,. Ta nu skillnaden mellan (2) och (3) du får
% c_1\,(\lambda_{j+1}-\lambda_1)\,\mathbf v_1+c_2\,(\lambda_{j+1}-\lambda_2)\,\mathbf v_2+\cdots
% +c_j\,(\lambda_{j+1}-\lambda_j)\,\mathbf v_j =\mathbf 0\,\qquad (4)
% Men \mathbf v_1,\,\ldots,\,\mathbf v_j är linjärt oberoende, så alla vikter här måste vara 0\,. Inget av egenvärden \lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\lambda_j\,är samma som \lambda_{j+1}\, så därför måste c_1,\,c_2,\,\ldots,\,c_j\, alla vara 0\,. Sätter du in detta i (1) har du
% c_{j+1}\,\mathbf v_{j+1}=\mathbf 0\,.
% Men här är c_{j+1}\not=0 vilket skulle ge \mathbf v_{j+1}=\mathbf 0\,. Det blir ju tokigt eftersom en egenvektor aldrig är \mathbf 0\,. Du har nått en motsägelse, så antagande att \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_r\, är linjärt beroende är fel och därför är de linjärt oberoende.
% \diamond
% Nu har du fått fatt på nåt! Säg att alla nollställen till det karaktäristiska polynomet \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)\,är reella och olika. Eftersom det polynomet har grad n\, har du då att A\, har n olika egenvärden. Väljer du en egenvektor \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_n\, till vart och ett av dem, så är de linjärt oberoende och utgör därmed en bas för \mathbb R^n\,.
% Sats   Om n\times n-matrisen A har n olika egenvärden så är den diagonaliserbar.
% OBS! En matris kan vara diagonaliserbar även om alla egenvärden inte är olika.
%
% Uppgift 41.2    Visa att
% A=  \left(\begin{array}{rrrr} -2 & 1 & 2 & -3\\ 2 & -3 & -5 & -3\\ 0 & 0 & 3 & 0\\ -2 & 8 & 7 & 8 \end{array}\right)\,.
% är diagonaliserbar och bestäm P\, och D\, så att A=PDP^{-1} där D\, är diagonal.
% Lösning   Matrisen P\, ska ha kolonner som är egenvektorer till A\, och elementen längs diagonalen i D\, ska vara tillhörande egenvärden.



%
% Men ... vad gäller när alla egenvärden inte är olika då? Kan A ändå vara diagonaliserbar?
% Testa nu om
% A=\left(\begin{array}{rr} 1 & 1\\  -1 & 3\end{array}\right)\,
% är diagonaliserbar.



% Testa nu om
% A=\left(\begin{array}{rrr} 0 & -2 & 1\\ 2 & 4 & -1\\ -2 & -2 & 3 \end{array}\right)
% är diagonaliserbar.



% Väljer du nu en bas \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\, till egenrummet för 2 och en bas \mathbf v_3\,för egenrummet till 3, så blir \mathbf v_1\,\mathbf v_2,\,\mathbf v_3\, linjärt oberoende: har du
% c_1\,\mathbf v_1 + c_2\,\mathbf v_2+c_3\,\mathbf v_3=\mathbf 0\,
% så är c_1\,\mathbf v_1+c_2\,\mathbf v_2 en vektor i egenrummet till 2 och därför är c_1\,\mathbf v_1+c_2\,\mathbf v_2 och \mathbf v_3\, linjärt oberoende eftersom de tillhör olika egenvärden. Det ger c_3=0 men \mathbf v_1 och \mathbf v_2\, är också linjärt oberoende så även c_1=c_2=0\,.
%
% Av förra uppgiften anar du kanske att svaret på frågan om A går att diagonalisera eller ej, beror på dimensionen av egenrummen till multipla nollställen till As karaktäristiska polynom. Om den är mindre än nollställets multiplicitet verkar det inte gå. Och det stämmer generellt!
% Man kan visa att för varje egenvärde \lambda_0\, till A\, gäller att
% \mbox{dim}\, \mbox{Null}\,(A-\lambda_0\,I) \leq \lambda_0: s multiplicitet som nollställe till \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)\,.
% När \lambda_0 är ett enkelt nollställe är därför \mbox{dim}\, \mbox{Null}\,(A-\lambda_0\,I) =1\,som är samma som \lambda_0:s multiplicitet. Men när \lambda_0 är multipelt kan det inträffa att \mbox{dim}\, \mbox{Null}\,(A-\lambda_0\,I) < \lambda_0:s multipliciet.
% Man kan visa
% Sats   En n\times n-matris A\, är diagonaliserbar precis när
%    (a)   Alla nollställen till A:s karaktäristiska polynom är reella och
%    (b)   För varje  nollställe \lambda_0 gäller att
%     \mbox{dim}\, \mbox{Null}\,(A-\lambda_0\,I) = \lambda_0: s multiplicitet som nollställe till \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)\,.
% För enkla (reella) nollställen gäller alltid (b), så om alla nollställena till \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)\, är reella och olika, så är A\,diagonaliserbar. Det är innehållet i en tidigare sats.
% Metod  (för att avgöra om n\times n-matrisen A\, är diagonaliserbar)
% Kolla att alla nollställen till A:s karaktäristiska polynom \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)\,är reella. Om inte, så är A\, inte diagonaliserbar.
% Kolla för varje nollställe \lambda_0$\, till \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)\, om
%     \mbox{dim}\, \mbox{Null}\,(A-\lambda_0\,I) = \lambda_0: s multiplicitet som nollställe till \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)\,.
%              Om inte, så är A\, inte diagonaliserbar.
% Metod   (för att bestämma P\, och diagonal D\, så att A= PDP^{-1}\,)
% Kolla först att A\,är diagonaliserbar.
% Bestäm sen en bas för \mbox{Null}\,(A-\lambda_0\,I)  för varje nollställe \lambda_0$\, till \mbox{det}\,(A-\lambda\,I)\,.
% Samla baserna som kolonner i en matris P\, och tillhörande egenvärden längs diagaonalen i en diagonal matris D\,.
% Då är P\, inverterbar och A= PDP^{-1}\,.
% Uppgift 41.3   Avgör om A\, är diagonaliserbar när
% (a)    A = \left(\begin{array}{rrrr} -11 & 33 & 25 & 5\\ -21 & 55 & 47 & 15\\ 28 & -71 & -58 & -17\\ -28 & 71 & 60 & 19 \end{array}\right)\,.
% (b)   A =  \left(\begin{array}{rrrr} -7 & 4 & 2 & 0\\ 0 & 5 & 2 & -2\\ -56 & 20 & 11 & 4\\ -46 & 16 & 6 & 7 \end{array}\right)\,.
%



%
%% 41.4   Matlabs inbyggda eig
%
% Som antytts har Matalb ett annat sätt att beräkna karktäristiska polynomet till en matris och därmed egenvärden och egenvektorer, eftersom det inte är realistiskt att beräkna determinanter av större matrisen ens med dator.
% Det finns flera metoder att numeriskt bestämma approximationer till egenvärden direkt från matrisen utan omvägen via determinanten. Matlab använder såna för att först bestämma egenvärden, sen baser för egenrummen till dessa och det kartaktäristiska polynomet till matrisen.
% Kommandot
% eig( A )
% ger dig Matlabs approximationer till A:s egenvärden
% Testa nu att bestämma egenvärdena till
% A= \left(\begin{array}{rrrr} 5 & 0 & -2 & -2\\ 4 & 9 & 4 & 6\\ 12 & 12 & 7 & 8\\ -12 & -12 & -4 & -5 \end{array}\right)\,.



% Kommandot  eig  kan också leverera P\, och D\, åt dig om du sätter
% [ P , D ] = eig( A )
% Testa nu att bestämma P\, och D\, så att A=PDP^{-1}\,. Testa resultatet!



% Matrisen P\,innehåller kolonner som är linjärt oberoende egenvektorer till A\, men de ser ganska annorlunde ut mot de du bestämmer med "handräkningsmetoden". Matlab väljer dem så att de har en annan bra egenskap som vi ska återkomma till senare.
% Vad händer om du använder detta på en matris som inte är diagonaliserbar? Testa med
% A =\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\,
% som bara har egenvärdet 1 (med multiplicitet 3) med egenrum av dimension 1.



% Matlab hittar ändå P\, med tre kolonner fast det inte stämmer. Du ser trots det att A\, (sannolikt) inte är diagonalserbar eftersom A\not= B\,.
%
% Uppgift 41.4    Avgör om matrisen A\,är diagonaliserbar med  eig  när
% (a)    A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)\,,
% (b)    A= \left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1\\ -2 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right)\,.



%
%
%
%
%