%% 40   Linjära avbildningar
% Innehåll
% 40.1   Definitioner
% 40.2   Koordinatavbildningen med avseende på en bas
% 40.3   Matris för linjär avbildning med avseende på baser
%% 40.1   Definitioner
%
% Definition   En linjär avbildning (eng. linear map, linear transformation) T:V\to W\, från vektorrummet V\, till vektorrummet W\, är en regel som till varje vektor \mathbf v\in V ordnar én vektor T(\mathbf v)\in W\, så att
%     (1)    T(\mathbf u + \mathbf v) = T(\mathbf u) + T(\mathbf v), för alla vektorer \mathbf u,\,\mathbf v i V\,,
%     (2)   T(c\,\mathbf v)=c\,T(\mathbf v), för alla vektorer \mathbf v\in V och skalärer c\,.
% Definitionen imiterar definitionen av linjär avbildning T:\mathbb R^n\to \mathbb R^m som du har koll på sen tidigare och du vet att varje så avbildning ges av multiplikation med en matris som kallas standardmatrisen för T\,. Om A = \left(\begin{array}{rrrr} T(\mathbf e_1) & T(\mathbf e_2) & \ldots & T(\mathbf e_n) \end{array}\right) där \mathbf e_1,\,\mathbf e_2,\,\ldots,\,\mathbf e_n är standardbasen för \mathbb R^\, gäller att
% T(\mathbf v) = A\mathbf v.
% Exempel   Definiera D:\mathbb P_5\to\mathbb P_4 genom att sätta D(p(t)) till derivatan av p(t)\in \mathbb P_5\,. D\, är linjär eftersom
%     (1)    D(p(t) + q(t))= D(p(t)) + D(q(t))\, för alla p(t),\,q(t)\in \mathbb P_5
%     (2)    D(c\,p(t))= c\,D(p(t))\, för alla p(t)\in \mathbb P_5 och skalärer c\,.
% Exempel   Definiera Q:C([0,1])\to \mathbb R genom att sätta
% Q(f(x))= \int_0^1\!f(x)\, dx\,.
% Q\, är linjär eftersom
%    (1)   Q(f(x)+g(x))=\int_0^1\,(f(x)+g(x))\,dx= \int_0^1\!f(x)\,dx+\int_0^1\! g(x)\, dx =Q(f(x))+Q(g(x))
%    (2)    Q(c\,f(x))=\int_0^1\!c\,f(x)\,dx=c\,\int_0^1\!f(x)\,dx = c\,Q(f(x))\,.
%
% Definition   En linjär avbildning T:V\to W är
%     (1)   injektiv (eng. one-to-one ) om T(\mathbf v)=T(\mathbf u) bara om \mathbf v=\mathbf u\,. Alternativt att ekvationen T(\mathbf x)=\mathbf w har högst en lösning \mathbf x\in V\, för varje vektor \mathbf w \in W.
%     (2)   surjektiv (eng. onto )  om T(\mathbf x)=\mathbf w\, har en lösning \mathbf x för varje \mathbf w \in W\,.
%     (3)   en isomorfi(sm) (eng. isomorphism) om den är både injektiv och surjektiv.
% Två vektor rum är isomorfa (grek. isos=samma, morfe=form)  om det finns en isomorfi T:V\to W\,. Om V\, har dimension n\, visar koordinatavbildningen med avseende på nån bas för V\, att V är isomorft med \mathbb R^n\,. Två vektorrum av ändlig dimension är därför isomorfa precis när de har samma dimension.
% När T(\mathbf v)=T(\mathbf u) gäller att \mathbf 0 = T(\mathbf u)-T(\mathbf v)=T(\mathbf u-\mathbf v), så
% Sats   Den linjära avbildningen T:V\to W\, är injektiv precis när enda lösningen till T(\mathbf x)=\mathbf 0 är \mathbf x=\mathbf 0\,.
% I allmänhet är en linjär avbildning T:V\to W\, varken injektiv eller surjektiv.
% Definiton   Om T:V\to W är en linjär avbildning kallas
%    (1)    lösningsmängden till T(\mathbf x)=\mathbf 0\, för T: s kärna (eng. kernel). Den betecknas \mbox{Ker}\,T och är ett delrum till V\,.
%     (2)   mängden av alla \mathbf w\in W\, för vilka T(\mathbf x)= \mathbf w\, har en lösning för T:s bild (eng. image). Bilden av T\, betecknas \mbox{Im}\,T\, och är ett delrum till W\,.
% Det betyder att T är injektiv precis när \mbox{Ker}\,T=\{\mathbf 0\} och surjektiv precis när \mbox{Im}\,T= W\,.
% Det är ingen strörre svårighet att kontrollera att
% \mbox{Ker}\,T är ett delrum till V\,.
% \mbox{Im} T är ett delrum till W\,.
% Uppgift 40.1    Avbildningen  T:\mathbb P_3\to \mathbb R^2\, som definieras av
% T(p(t)) = \left(\begin{array}{r} p(1) \\ p(2) \end{array}\right)
% är linjär. Bestäm en bas för \mbox{Ker}\,T respektive \mbox{Im}\,T\,. Är T surjektiv respektive injektiv?
% Lösning   (Ingen Matlab här)
% Polynomet p(t) ligger i \mbox{Ker}\,T precis när p(1)=p(2)= 0. Faktorsatsen ger att p(t)\, då måste vara av formen
% p(t)=(t-1)((t-2)(at+b)=at(t-1)(t-2)+b(t-1)(t-2)
% där a,\,b är godtyckliga skalärer. Detta visar att de polynom som är i kärnan till T\, är alla linjärkombinationer av polynomen t(t-1)(t-2)=t^3-3t^2+2t  och (t-1)(t-2)=t^2-3t+2\,. De är linjärt oberoende eftersom de har olika grad. Detta ger
% \mbox{Ker}\,T = \mbox{Span}\{t^3-3t^2+2t,\, t^2-3t+2\}\,
% och att de två polynomen är en bas för \mbox{Ker}\,T\,.
% Säg att du tar en vektor i \mathbb R^2\, med koordinater a\, respektive b\,. När ligger den i bilden av T\,? Då ska du se om det finns p(t)\in\mathbb P_3\, så att p(1)=a\, och p(2)=b\,. Räta linjen genom punkterna (1,a) och (2,\,b)\, ger dig ett sånt:
% p(t) = (b-a)t + (2a-b).
% Det betyder att varje vektor i \mathbb R^2 ligger i bilden av T\, så \mbox{Im}\,T=\mathbb R^2 och varje bas för \mathbb R^2 är därför en bas för \mbox{Im}\,T\,, t.ex. kan du ta standardbasen \mathcal S:\mathbf e_1,\,\mathbf e_2 för \mathbb R^2.
% Eftersom \mbox{Ker}\,T\not=\{0\} är T\, inte injektiv. Eftersom \mbox{Im}\,T=\mathbb R^2 är T\, surjektiv.
%
%% 40.2   Koordinatavbildningen med avseende på en bas
%
% Säg att  att \mathcal B:\mathbf b_1,\, \mathbf b_2,\,\ldots , \mathbf b_n\, är en bas för V\, så att varje vektor \mathbf v\in V\, kan skrivas som en linjärkombination av vektorerna i basen på precis ett sätt
% \mathbf v = c_1\mathbf b_1+c_2\mathbf b_2 +\cdots + c_n\mathbf b_n\,
% där \mathbf v:s koordinatvektor med avseende på basen är
% [\mathbf v]_\mathcal B = \left (\begin{array}{r} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{array}\right)\in \mathbb R^n
% Avbildningen T:V\to\mathbb R^n som definieras av T(\mathbf v )= [\mathbf v ]_\mathcal B är då linjär:
% Om
% \mathbf v = c_1\mathbf b_1+c_2\mathbf b_2 +\cdots + c_n\mathbf b_n\\
% \mathbf u = d_1\mathbf b_1+d_2\mathbf b_2 +\cdots + d_n\mathbf b_n\,
%  gäller att
%     (1)
% \begin{array}{rcl}
% T(\mathbf v+ \mathbf u)
% &=&
%  [\mathbf v+\mathbf u]_\mathcal B = \left(\begin{array}{r} c_1+ d_1 \\ c_2+d_2 \\ \vdots \\ c_n+d_n\end{array}\right) =  \left(\begin{array}{r} c_1 \\ c_2\\ \vdots \\ c_n\end{array}\right)
% +
% \left(\begin{array}{r} d_1 \\ d_2\\ \vdots \\ d_n\end{array}\right) =\\
% &=&[\mathbf v]_\mathcal B+[\mathbf u]_\mathcal B = T(\mathbf v)+T(\mathbf u)
% \end{array}
%      (2)
% T(c\mathbf v)= [c\mathbf v]_\mathcal B=
% \left(\begin{array}{r}
% c\, c_1\\c\,c_2\\ \vdots \\ c\,c_n
% \end{array}\right) =
% c\left(\begin{array}{r}
% c_1\\ c_2\\ \vdots \\ c_n
% \end{array}\right) = c[\mathbf v]_\mathcal B = c\,T(\mathbf v)\,.$
% Definition   När \mathcal B:\mathbf b_1,\, \mathbf b_2,\, \ldots,\, \mathbf b_n\, är en bas för vektorrummet V\, kallas den linjära avbildningen T:V\to \mathbb R^n som ges av T(\mathbf v)=[\mathbf v]_\mathcal B\, för koordinatavbildningen med avseende på basen \mathcal B\, (eng. coordinate map with respect to the basis \mathcal B).
% Olika val av bas för V\, ger olika koordinatavbildningar.
% Kooordinatavbildningar har två särskilda egenskaper:
%    (1)   Om  T(\mathbf v ) = T(\mathbf u), så är \mathbf v=\mathbf u\, eftersom alla vikter för \mathbf v och \mathbf u\, relativt basen då är lika. Det betyder att T\, är injektiv.
%    (2)  Om \mathbf x\in \mathbb R^n\, så finns det en vektor \mathbf v så att T(\mathbf v)=\mathbf x eftersom vektorn med vikter enligt \mathbf x\, med aveende på basen är en sån vektor \mathbf v\,.  Det betyder att T\, är surjektiv.
% Du har alltså
% Sats   Koorodinatavbildningen med avseende på en bas för V\, är en isomorfi.
% Eftersom koordinatavbildningen T:V\to \mathbb R^n\, med avseende på nån bas \mathcal B\, för V är en isomorfi kan du använda den för att av göra frågor om vektorer i V\, genom att svara på dem i \mathbb R^n.
% Sats   Om \mathcal B\, är en bas för V\,som har dimension n  gäller att \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\,
%     (1)   spänner ut V\, precis när [\mathbf v_1]_\mathcal B\,,\,[\mathbf v_2]_\mathcal B\,,\,\ldots,\,[\mathbf v_p]_\mathcal B\, spänner ut \mathbb R^n\, dvs precis när matrisen
% \left(\begin{array}{rrrr}[\mathbf v_1]_\mathcal B & [\mathbf v_2]_\mathcal B &\ldots & [\mathbf v_p]_\mathcal B\end{array}\right) har rang n\,.
%     (2)   är linjärt oberoende precis när  [\mathbf v_1]_\mathcal B\,,\,[\mathbf v_2]_\mathcal B\,,\,\ldots,\,[\mathbf v_p]_\mathcal B\, är linjärt oberoende dvs precis när alla kolonner i  matrisen \left(\begin{array}{rrrr}[\mathbf v_1]_\mathcal B & [\mathbf v_2]_\mathcal B &\ldots & [\mathbf v_p]_\mathcal B\end{array}\right) är pivotkolonner ( har rang p ).
%
% Uppgift 40.2
% (a)   Använd koordinatavbildningen som standardbasen för \mathbb P_2 ger för att avgöra att polynomen p_1(t) = t(t-1)/2 och p_2(t) = 1-t^2 är linjärt oberoende.
% (b)   Använd också avbildningen för att avgöra om p_1(t),\, p_2(t),\, p_3(t)=t(t+1)/2\, är en bas för \mathbb P_3\,.



%
% Uppgift 40.3   Funktionerna \mathcal B : 1,\, \cos x ,\, \cos 2x,\, \cos 3x,\, \cos 4x,\, \cos 5x\, är linjärt oberoende och bildar därför en bas för sitt linjära hölje V= \mbox{Span}\{ 1,\, \cos x ,\, \cos 2x,\, \cos 3x,\, \cos 4x,\, \cos 5x\}\,.
% (a)    Kolla att funktionerna
% \cos 4x\cos x,\, \cos 3x \cos 2x,\, \cos 2x\cos x,\, \cos\!^2\, 2x,\, \cos\!^2\,x,
% alla ligger i V\,.
% (b)   Använd koordinatavbildningen med avseende på \mathcal B\, för att avgöra om de är linjärt
% är linjärt oberoende.
% Lösning   Här kan du göra lite handräkning först och använda produktformeln för cosinus
% \cos a\cos b = \frac12\Big( \cos(a+b)+\cos(a-b)\Big)
% Den ger
% f_1(x)= \cos 4x\cos x = \frac12\cdot\cos 5x + \frac12\cdot\cos 3x \\
% f_2(x)=\cos 3x\cos 2x = \frac12\cdot\cos 5x +\frac12\cos x \\
% f_3(x)=\cos 2x \cos x = \frac12\cdot \cos 3x +\frac12\cdot\cos x \\
% f_4(x)=\cos 2x\cos 2x = \frac12\cdot \cos 4x +\frac12\\
% f_5(x)\cos x \cos x = \frac12\cdot \cos 2x + \frac12\,.
% Här ser du att f_1,\, f_2,\, f_3,\, f_4 och f_5\, alla ligger i V\, och att
% \left(\begin{array}{rrrrr}
% [f_1]_\mathcal B & [f_2]_\mathcal B & [f_3]_\mathcal B & [f_4]_\mathcal B & [f_5]_\mathcal B
%  \end{array}\right)=
% \left(\begin{array}{rrrrr}
% 0  & 0   & 0    & 1/2 & 1/2 \\
% 0  & 1/2 & 1/2 & 0  & 0 \\
% 0  &  0  & 0  &  0 & 1/2 \\
% 1/2& 0  & 1/2 & 0 & 0 \\
% 0  &  0 & 0  & 1/2 & 0 \\
% 1/2&1/2 & 0  & 0  & 0
%  \end{array}\right)\,.
% För att avgöra om f_1,\, f_2,\, f_3,\, f_4 och f_5\, är linjärt oberoende räcker det att kolla att kolonnerna i matrisen är linjärt oberoende.



%
%
%% 40.3   Matris för linjär avbildning med avseende på baser
%
% Det där med linjär avbildning T:V\to W\, känns kanske en smula abstrakt, men genom att välja en bas för V och en för W\,kan du få det mer konkret och t.ex. bestämma en bas för \mbox{Ker}\,T och \mbox{Im}\,T\, med hjälp av kolonnrum och nollrum till en matris.
% Så säg att \mathcal B:\mathbf b_1,\,\mathbf b_2,\,\ldots,\, \mathbf b_n är en bas för V\, och \mathcal C:\mathbf c_1,\,\mathbf c_2,\,\ldots,\, \mathbf c_m en för W samt att T:V\to W\, är en linjär avbildning. Anta att du känner till [\mathbf v]_\mathcal B och vill bestämma [T(\mathbf v)]_\mathcal C\,. Hur gör du då?
% Om
% [\mathbf v]_\mathcal B=\left(\begin{array}{r} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r_n\end{array}\right)\,   så att   \mathbf v = r_1\mathbf b_1+r_2\mathbf b_2 +\cdots + r_n\mathbf b_n\,
% gäller att
% T(\mathbf v) = T( r_1\,\mathbf b_1+r_2\,\mathbf b_2 +\cdots + r_n\,\mathbf b_n)=r_1T(\mathbf b_1)+r_2T(\mathbf b_2) +\cdots + r_nT(\mathbf b_n)\,.
% Eftersom koordinatavbildningen med avseende på basen \mathcal C\, för W\, är linjär har du
% \begin{array}{rcl}
% [ T(\mathbf v)]_\mathcal C  & = &
% r_1[T(\mathbf b_1)]_\mathcal C+r_2[T(\mathbf b_2)]_\mathcal C +\cdots + r_n[T(\mathbf b_n)]_\mathcal C =\\
% &=&
%  \left(\begin{array}{rrrr} [T(\mathbf b_1)]_\mathcal C & [T(\mathbf b_2)]_\mathcal C  & \cdots  & [T(\mathbf b_n)]_\mathcal C\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} r_1 \\ r_2\\ \vdots \\ r_n\end{array}\right)=\\
% &=&
%  \left(\begin{array}{rrrr} [T(\mathbf b_1)]_\mathcal C & [T(\mathbf b_2)]_\mathcal C  & \cdots  & [T(\mathbf b_n)]_\mathcal C\end{array}\right) [\mathbf v]_\mathcal B\,,
% \end{array}
% Eller
% [T(\mathbf v)]_\mathcal C=
% [T]_{\mathcal C\mathcal B} [\mathbf v]_\mathcal B
% där M_T\, är matrisen
% [T]_{\mathcal C\mathcal B}=\left(\begin{array}{rrrr} [T(\mathbf b_1)]_\mathcal C & [T(\mathbf b_2)]_\mathcal C  & \cdots  & [T(\mathbf b_n)]_\mathcal C\end{array}\right)\,
% Det är strålande, för efter du har bestämt den matrisen kan du lätt t.ex.  hitta en bas för \mbox{Ker}\,T och för \mbox{Im}\,T\, eftersom du vet hur du ska bestämma en bas för nollrummet \mbox{Null}\,[T]_{\mathcal C\mathcal B}\, och kolonnrummet \mbox{Col}\,[T]_{\mathcal C\mathcal B}\, till [T]_{\mathcal C\mathcal B}\,. Du kan också lösa ekvationen T(\mathbf x)=\mathbf w genom att lösa [T]_{\mathcal C\mathcal B}[\mathbf x]_\mathcal B = [\mathbf w]_\mathcal C\,.
% Uppgift 40.4   (Samma som 40.1). Bestäm en bas för \mbox{Ker}\,T\,och \mbox{Im}\,T\,när T:\mathbb P_3\to \mathbb R^2 definieras av
% T(p(t)) = \left(\begin{array}{r} p(1) \\ p(2)\end{array}\right).
% Lösning   Med avseende på standard baserna för \mathbb P_3\, och \mathbb R^2 ges T\, av multiplikation med matrisen
% \left(\begin{array}{rrrr}[T(t^3)]_\mathcal S & [T(t^2)]_\mathcal S & [T(t)]_\mathcal S & [T(1)]_\mathcal S \end{array}\right)
% =
% \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\
% 8 & 4 & 2 & 1\end{array}\right)\,.
% \mbox{Ker}\,T svarar då mot matrisens nollrum och \mbox{Im}\,T mot dess kolonnrum.



% Uppgift 40.5   Avbildningen T:\mathbb P_ 2\to\mathbb P_3\,som definieras av
% T(p(t)) = t^3p''(t) -2t\,p(t+1)
% är linjär.
% (a)   Bestäm en bas för avbildningnens kärna och bild.
% (b)   Bestäm alla p\in \mathbb P_2 såna att T(p(t)) = t \,.
% Lösning   Du väljer standardbasen \mathcal S för vektorrummen. För att skilja på dem kallar du basen för \mathbb P_2\,för \mathcal B:t^2,\,t,\, 1 och basen för \mathbb P_3 för \mathcal C\,. Du vill nu bestämma matrisen [T]_{\mathcal C\mathcal B} och sedan nollrum och kolonnrum till den.  Du har
% T(at^2+bt+c) = t^3(at^2+bt+c)'' -2t( a(t+1)^2+b(t+1)^2+c)\,
% så
% \begin{array}{rcl}
% T(t^2) &=& t^3\cdot 2 -2t(t+1)^2=-4t^2 -2t \\
% T(t) &=& t^3\cdot 0 -2t(t+1)= -2t^2-2t \\
% T(1) &=& t^2\cdot 0 + 2t\cdot1 = 2t
% \end{array}
% Matrisen för T\, blir därför
% [T]_{\mathcal C\mathcal B}=
% \left(\begin{array}{rrr}
% [t^2]_\mathcal C & [t]_\mathcal C & [1]_\mathcal C
% \end{array}\right)=
% \left(\begin{array}{rrr}
% 0 & 0 & 0 \\
% -4 & -2 & 0 \\
% -2 & -2 & -2 \\
% 0 & 0 & 0
% \end{array}\right)\,.
% (a)



% De två första kolonnerna i T_{\mathcal C\mathcal B} är pivotkolonner och  därför en bas för \mbox{Col} \,T_{\mathcal C\mathcal B}\,. De polynom i \mathbb P_3\, som har dem som koordinatvektorer med avseende på \mathcal C\,  är -4t^2-2t\, och -2t^2-2t\,. En bas för \mbox{Im}\, T\,  är därför  t(2t+1),\, t(t+1)\, och \mbox{Im}\, T = \mbox{Span}\{ t(2t+1),\, t(t+1) \}.\,
% En bas för nollrummet till T_{\mathcal C\mathcal B}\, (som har dimension 1) är \left(\begin{array}{r}-1 & 2 & -1 \end{array}\right)^\top\,. Det polynom i \mathbb P_2\, som har den som koordinatvektor är -t^2+2t-1\,.En bas för \mbox{Ker}\, T\, är därför (t-1)^2\, och \mbox{Ker} \, T = \mbox{Span}\{ (t-1)^2 \}\,.
% (b)
% Det räcker att hitta én (partikulär)lösning q(t)\, till T(p(t))=t\,. Samtliga lösningar ges sen av
% p(t) = q(t) + a(t-1)^2
% eftersom lösningarna till T(p(t))=0 är a(t-1)^2,\, där a\in\mathbb R är godtycklig (du har redan bestämt att \mbox{Ker}\,T består av alla multipler av (t-1)^2.



% Én lösning är \left(\begin{array}{rrr} 1/2 & -1 & 0 \end{array}\right)^\top\,som är koordinatvektorn för q(t)=t^2/2-t så svaret blir
% p(t) = t^2/2-t+a(t-1)^2 = (a+1/2)t^2-(2a+1)t+a,\,
% där a\in\mathbb R är godtyckligt.
%
%%