%% 31   Linjära avbildningar \mathbb R^n\to \mathbb R^m\,
% Innehåll
% 31.1   Definitioner
% 31.2   Linjära abildningar och matriser
%% 31.1   Definitioner
%
% Defintion: En linjär avbildning (eng. linear transformation) T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m är en regel som till varje vektor \mathbf v\in\mathbb R^n ordnar precis en vektor T(\mathbf v)\in\mathbb R^m så att
%     (a)   T(\mathbf v +\mathbf w) = T(\mathbf v) + T(\mathbf w) och
%     (b)   T(c\,\mathbf v)=c\,T(\mathbf v)
% för alla vektorer \mathbf v,\,\mathbf w \in\mathbb R^n och skalärer c\,. Vektorn T(\mathbf v) kallas bilden (eng. image) av \mathbf v  under avbildningen T\,.
% Definitionsmängden till en linjär avbildning  är alltså alltid hela \mathbb R^n.\,
% Eftersom T(\mathbf 0) = T(0\,\mathbf 0) = 0\,T(\mathbf 0) = \mathbf 0 när T är linjär har du:
% Sats:   För en linjär avbildning gäller att T(\mathbf 0) = \mathbf 0\,.
% Observera att de båda  nollvektorerna här kan ha olika många koordinater. För en av dem gäller att den ligger i \mathbb R^n för den andra att den ligger i \mathbb R^m\,.
% Exempel 31.1   En lunchrestaurang har en daglig meny som består av fyra rätter A,\,B,\,C och D\,. För varje serverad portion har kostnader i kronor uppskattats enligt tabellen
%
% Säg att restaurangen en dag serverar x_1 portioner A,\, x_2 portioner B,\, x_3 portioner C och x_4 portioner D\,. Tänk på \mathbf x = (x_1,\,x_2,\, x_3,\,x_4)^\top som en vektor i \mathbb R^4\, och sätt T(\mathbf x) till dagskonstnaden av de olika kostnadsslagen, som du tänker på som en kolonnvektor i \mathbb R^4\,. Är T då en linjär avbildning T:\mathbb R^4\to \mathbb R^4\,?
% Strängt taget är väl svaret nej, eftersom T bara är definierad när x_1,\,x_2,\,x_3 och x_4  alla är \geq 0,\, men bortsett från det?
% Hur beräknar du T(\mathbf x)\,? Lägg märke till att T(\mathbf x) är en linjärkombination av kolonnerna i tabellen, där du använder x_1,\, x_2,\,x_3\, och x_4 som vikter. Det gäller att
% \begin{array}{rcl}
% T(\mathbf x) & = &
% x_1\left(
%   \begin{array}{r}
%     10 \\ 4 \\ 22 \\ 12
%   \end{array}\right) +
% x_2\left(
%   \begin{array}{r}
%     15 \\ 2 \\ 11 \\ 2
%   \end{array}\right) +
% x_3\left(
%   \begin{array}{r}
%     20 \\ 3 \\ 20 \\ 3
%   \end{array}\right) +
% x_4\left(
%   \begin{array}{r}
%     17 \\ 1 \\ 15 \\ 1
%   \end{array}\right)
% = \\
%  & = &\left(
%   \begin{array}{rrrr}
%     10 & 15 & 20 & 17 \\
%      4 &  2 &  3 &  1 \\
%     22 & 11 & 20 & 15 \\
%     12 &  2 &  3 &  1
%   \end{array}\right)
%   \left(
%     \begin{array}{r}
%       x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
%     \end{array}\right) = A\mathbf x
% \end{array}
% där A är matrisen med samma kolonner som tabellens kolumner. Att beräkna T(\mathbf x)är alltså det samma som att multiplicera \mathbf x med A (från vänster).
% Räkneregler för multiplikation mellan matris och vektor ger nu
%     (a)   T(\mathbf v+\mathbf w) = A(\mathbf v +\mathbf w ) = A\mathbf v + A\mathbf w = T(\mathbf v) + T(\mathbf w)
%     (b)   T(c\,\mathbf v) = A(c\,\mathbf v)=c\, A\mathbf v = c\,T(\mathbf v),\,
% så T är verkligen en linjär avbildning. Av kalkylen ser du också att multiplikation med en fix m\times n matris A är en linjär avbildning \mathbb R^n\to \mathbb R^m.\,
% Definition:   En linjär avbildning T är injektiv (eng. one-to-one) om
% T(\mathbf v) \not= T(\mathbf w) \mbox{ närhelst } \mathbf v \not=\mathbf w\,,
% dvs om olika vektorer har olika bilder under T\,.
% När T är injektiv kan ekvationen T(\mathbf x)=\mathbf b för givet \mathbf b högst ha én lösning.
% När T är linjär har ekvationen T(\mathbf x) =\mathbf 0\, alltid den triviala lösningen \mathbf x = \mathbf 0\,. Om T är injektiv är detta alltså den enda lösningen. Om, å andra sidan ekvationen T(\mathbf x)=\mathbf 0 bara har den triviala lösningen och \mathbf v\not=\mathbf w så att \mathbf v-\mathbf w\not=\mathbf 0\,, så gäller at
% \mathbf 0\not= T(\mathbf v-\mathbf w)=T(\mathbf v)-T(\mathbf w) och T(\mathbf v) \not= T(\mathbf w)\,.
% Du har alltså
% Sats:   En linjär avbildning är injektiv precis när ekvationen
% T(\mathbf x) = \mathbf 0
% bara har den triviala lösningen \mathbf x = \mathbf 0.
% Testa nu om avbildningen i exempel 31.1 är injektiv.



% Anta att dagskostnanden av de olika konstnadsslagen en dag var
% \mathbf b= \left(\begin{array}{c} 8011\\ 1470\\ 8911\\ 3006 \end{array}\right)
% Testa nu om du då kan beräkna hur många portioner som serverats av rätterna A,\, B,\,C respektive D\,.



%
% Definition:   En linjär avbildning T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\, är surjektiv (eng. onto) om ekvationen T(\mathbf x)=\mathbf b  har minst en lösning för varje \mathbf b \in \mathbb R^m.
% Varje \mathbf b\in \mathbb R^m är då alltså bild av nån vektor under T\,. Mängden av alla bilder under T är en delmängd till \mathbb R^m som kallas T: s värdemängde eller T:s bild (eng. range/image). T är surjektiv precis när T:s bild är hela \mathbb R^m\,.
% Testa nu om den linjära avbildningen i exempel 31.1 är surjektiv.



%
%% 31.2   Linjära abildningar och matriser
%
% Kolonnerna i identitetsmatirsen I_n\, (av typ n\times n) betecknas i tur och ordning \mathbf e_1,\,\mathbf e_2,\, \ldots ,\,\mathbf e_n så att
% I_n =
% \left(\begin{array}{rrrr}
% 1 & 0 & \ldots & 0\\
% 0 & 1 & \ldots & 0\\
% \vdots & & & \vdots\\
% 0 & 0 & \ldots & 1
% \end{array}\right) =
% \left( \begin{array}{rrrr}
% \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \ldots & \mathbf e_n
% \end{array}\right)\,.
% Det betyder att alla koordinater i \mathbf e_i  är 0\, utom den som står på rad i\,.Den är istället 1\,.
% Eftersom \mathbf v = I_n\mathbf v\, när \mathbf v\in\mathbb R^n\, gäller att
% \mathbf v = v_1\,\mathbf e_1+v_2\,\mathbf e_2+\cdots +v_n \,\mathbf e_n \qquad (1)
% där v_1,\, v_2,\,\ldots,\,  v_n\, är \mathbf v:s koordinater.
% När T:\mathbb R^n\to \mathbb R^m är linjär gäller att
% \begin{array}{rcl}
% T(\mathbf v_1+\mathbf v_2 + \cdots +\mathbf v_k )& = &
% T(\mathbf v_1+(\mathbf v_2 + \cdots +\mathbf v_k) ) = \\
%   &=& T(\mathbf v_1) + T(\mathbf v_2 + \cdots +\mathbf v_k) = \\
%   &\ldots& \\
%   &=& T(\mathbf v_1) + T(\mathbf v_2) + \cdots + T(\mathbf v_k).
% \end{array} \qquad (2)
% Bilden av en linjär avbildning kan alltså beräknas termvis inte bara för en summa av två vektorer.
% Uppgift 31.1   Vektorn \mathbf v\, är en linjär kombination av vektorerna \mathbf v_1,\, \mathbf v_2 och \mathbf v_3 när
%  \mathbf v_1=\left(\begin{array}{r}
% -1 \\ 2 \\ 2 \\ 3
% \end{array}\right)\,,\quad
%  \mathbf v_2=\left(\begin{array}{r}
%  -2 \\ 2 \\ 2 \\ -4
% \end{array}\right)\,,\quad
%  \mathbf v_3=\left(\begin{array}{r}
% -4 \\ 0 \\ 5 \\ -2
% \end{array}\right)
%  och \mathbf v = \left(\begin{array}{c} -23\\ 10\\ 30\\ -7 \end{array}\right)\,.
% Man vet att
%  T(\mathbf v_1) = \left(\begin{array}{rrr}
%  -1 \\ -20 \\ -29
% \end{array}\right)\,,\quad
%  T(\mathbf v_2) = \left(\begin{array}{rrr}
% 15 \\ 8 \\ -2
% \end{array}\right)\,,\quad
% T(\mathbf v_3) = \left(\begin{array}{rrr}
% 18 \\ -22 \\ -15 \end{array}\right)\,.
% Beräkna T(\mathbf v)\,.



%
% För \mathbf v\in \mathbb R^n ger (1) och (2) att
% \begin{array}{rcl}
% T(\mathbf v) &=& v_1T(\mathbf e_1)+v_2T(\mathbf e_1)+\cdots +v_nT(\mathbf e_n)=\\
% &=& \left( \begin{array}{rrrr}
% T(\mathbf e_1) & T(\mathbf e_2) & \cdots & T(\mathbf e_n) \end{array}\right)\mathbf v
% \end{array}
% Du har alltså
% Sats:  Varje linjär avbildning T:\mathbb R^n\to \mathbb R^m\, ges av multiplikation med en m\times n-matris. Närmare bestämt av matrisen
% \left( \begin{array}{rrrr}
% T(\mathbf e_1) & T(\mathbf e_2) & \cdots & T(\mathbf e_n) \end{array}\right)\
% som kallas T:s standardmatris. Den linjära avbildning som ges av multiplikation med matrisen A har A som standardmatis.
% Av detta följer
% Sats:  Om T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\,har standmatrisen A så gäller
%     (a)   T är injektiv precis när  kolonnerna i A är linjärt oberoende ( ekvationen A\mathbf x = \mathbf 0 har bara den triviala lösningen)
%     (b)   T är surjektiv precis när kolonnerna i A spänner \mathbb R^m\, (varje rad i A har en pivotposition, A\mathbf x=\mathbf b konsistent för varje \mathbf b\in \mathbb R^m\,).
% Uppgfit 31.2    Avbildningen T:\mathbb R^5 \to \mathbb R^5 är linjär med standardmatrisen
% \left(\begin{array}{rrrrr}
% 3 & -7 & 6 & -5 & -3\\
% -20 & 0 & 1 & -11 & 0\\
% -9 & -7 & -2 & -17 & -3\\
% -16 & 7 & 5 & 1 & 7\\
% 17 & -7 & 1 & 0 & -3
% \end{array}\right)\,.
% Är T injektiv? Är T surjektiv?



%
% Uppgift 31.3   Den linjära avbildningen T:\mathbb R^4 \to \mathbb R^5\, har standardmatrisen
%  \left(\begin{array}{rrrr}
% 1 & 0 & 2 & 7\\
% 5 & 1 & 8 & 6\\
% 5 & -1 & 1 & 1\\
% 2 & -2 & 6 & -1\\
% -4 & 7 & 1 & 7
%  \end{array}\right)\,.
% Avgör om
% \mathbf v = \left(\begin{array}{r}
% 9\\ 0\\ 5\\ 2\\ 7
% \end{array}\right)\quad
% eller  \mathbf w = \left(\begin{array}{r}
%  29\\ 51\\ 17\\ 21\\ 9
% \end{array}\right)
% ligger i bilden av T\,. Bestäm i så fall en vektor \mathbf u så att T(\mathbf u) är \mathbf v respektive \mathbf w\,.
%

