%% 32   Matrisalgebra
% Innehåll
% 32.1   Addition av matriser och multiplikation med skalär
% 31.2   Multiplikation av matriser
% 31.3   Inverterbara matriser och deras inverser
%% 32.1   Addition av matriser och multiplikation med skalär
%
% Anta att T,\, S\,:\mathbb R^n \to \mathbb R^n är linjära avbildningar. Deras summa T+S:\mathbb R^n\to \mathbb R^m\,, definieras då av
% (T+S)(\mathbf v ) = T(\mathbf v) + S(\mathbf v)\, för varje \mathbf v\in \mathbb R^n\,.
% Avbildningen T+S är då också linjär. T.ex gäller
% \begin{array}{rcl}
% (T+S)(\mathbf v+\mathbf w) &=& T(\mathbf v+\mathbf w) + S(\mathbf v+\mathbf w)= T(\mathbf v)+ T(\mathbf w)+ S(\mathbf v)+ S(\mathbf w) =\\
% &=& T(\mathbf v) + S(\mathbf v) + T(\mathbf w) + S(\mathbf w) =\\
% &=& (T+S)(\mathbf v) + (T+S)(\mathbf w)
% \end{array}}\,.
% När T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m är en linjär avbildning och c en skalär definieras c\,T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m av
% (c\,T)(\mathbf v) = c\,T(\mathbf v)\,.
% Avbildningen c\, T är då också linjär.
% Varje linjär avbildning ges av multplikation med avbildningens standard matris. Om A och B är standardmatriserna för T och S hur får man då standardmatrisen för T+S och c\,T\,?
% Det gäller att
% A =\left(\begin{array}{rrrr}
% T(\mathbf e_1) & T(\mathbf e_2) & \ldots T(\mathbf e_n)
% \end{array}\right)\,\qquad B  =\left(\begin{array}{rrrr}
% S(\mathbf e_1) & S(\mathbf e_2) & \ldots S(\mathbf e_n)
% \end{array}\right)\qquad
% och att standard matrisen för T+S ges av
% \left(\begin{array}{rrrr}
%  (T+S)(\mathbf e_1) &  (T+S)(\mathbf e_2) &  \ldots &(T+S)(\mathbf e_n)
%  \end{array} \right) = \\
% =\left(\begin{array}{rrrr} T(\mathbf e_1)+S(\mathbf e_1) &  T(\mathbf e_2)+S(\mathbf e_2) & \ldots &T(\mathbf e_n)+S(\mathbf e_n)
% \end{array}\right)
% Det betyder att matrisen för T+S ges av elementvis addition av matriserna A och B:
% Definiton:   Om A=(a_{ij})  och B=(b_{ij})  är två m\times n-matriser definieras deras summa A+B  som den m\times n-matris som på position (i,j) har elementet  a_{ij}+b_{ij}. Skillnaden A-B har på position (i,j)\, elemetet a_{ij}-b_{ij}\,.
% Observera att summan av  och skillnaden mellan två matriser bara är definierad om de har samma form.
% Matrisen av form m\times n som bara har nollor som ellement betecknas 0_{mn}  eller enbart 0\,.  Matlabkod för den är
% zeros( m, n )
% Uppenbarligen gäller att A+0=A-0=A\,.
%  På linknade sätt är standardmatrisen för cT\,
% \left(\begin{array}{rrrr}
% (c\,T)(\mathbf e_1) &
% (c\,T)(\mathbf e_2) &
% \ldots &
% (c\,T)(\mathbf e_n)
% \end{array}\right) =
%  \left(\begin{array}{rrrr}
% c\,T(\mathbf e_1) &
% c\,T(\mathbf e_2) &
% \ldots &
% c\,T(\mathbf e_n)
% \end{array}\right)\,.
% Det betyder att om A är standradmatrisen för T\, så fås standardmattisen för cT genom att multiplicera varje element i A\, med c\,.
% Definition:   Om A=(a_{ij})\, är en m\times n-matris och c\, en skalär definieras produkten c\,A\, som den m\times n-matris som på position (i,j)\, har elementet c\,a_{ij}\,.
% De vanliga räkneregler du känner igen från addition, subtraktion och multiplikation av reella tal gäller också för summa av matriser och multiplikation med en skalär, med undantaget att summan av två matriser inte alltid är definierad; de måste ha samma form för att det ska fungera.
% Uppgift 32.1   Tre personer P_1,\, P_2\, och P_3\, ska proviantera på ett kondis. De ska köpa smörbullar, muffins och brownies enlig tabellen
%
% Låt \mathbf p\, vara prisvektorn vars koordinater p_1,\,p_2\, och p_3\, är priset på smörbullar, muffins respektive brownies. Sätt T(\mathbf p) till den vektor vars koordinater är vad P_1,\,P_2\, respektive P_3\, ska punga ut med vid given prisvektor \mathbf p\,.
% (a)   Visa att T:\mathbb R^3 \to \mathbb R^3 är linjär.
% (b)   Skriv T som en summa av tre linjära avbildningar på två sätt: dels där det framgår vad var och en betalar, dels där det famgår vad de tre personerna var för sig betalar för de olika produkterna.
% (c)   Antag att \mathbf p har koordinaterna 17,\, 20\, respektive 23\, kr.  Bestäm värdet av de sex olika linjära avbildningarna i (b) och värdet av T\,.
% (d)   De tre personerna känner sig osäkra på om kvantiterna i inköpslistan ovan ska räcka och de beslutar sig därför att lägga på 20 % och avrunda uppåt. Vad ska då var och en betala?



%
%% 31.2   Multiplikation av matriser
%
% Uppgift 31.2   De tre fikasugna personerna i uppgift 31.1 kan välja att köpa bakverken på ett av två kondis: Jungans eller Evas. De två fikens pris på de olika bakverken framgår av tabellen:
%
% Var ska de olika personerna göra sina inköp om de vill betala minimalt?



%
% Definition:   Om A\, är en m\times n-matris och B = \left(\begin{array}{rrrr}\mathbf b_1 & \mathbf b_2 & \ldots & \mathbf b_p\end{array}\right) en n\times p-matris definieras deras (matirs)produkt AB av
% AB = \left(\begin{array}{rrrr} A\mathbf b_1 & A\mathbf b_2 & \ldots & A\mathbf b_p\end{array}\right)\,.
% Observera att matriserna måsta ha kompatibel form för att produkten ska vara definierad: antalet kolonner i A\, måste vara samma som antalet rader i B\,.
% Elementet på position (i,j)\, i AB\, är koordinaten på rad i i A\mathbf b_j\, där \mathbf b_j är kolonn nummer j i  B\,. Det är
% a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots a_{1n}b_{nj} = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\,.
% Anta att T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m och S:\mathbb R^p\to \mathbb R^n är linjära avbildningar. Deras sammansättning T\circ S:\mathbb R^p\to\mathbb R^m definieras då av
% (T\circ S)(\mathbf v) = T(S(\mathbf v))\,
% och är också en linjär avbildning. Om standardmatrisen för T\, är A\, och den för S\, är B\,, vilken är då matrisen för T\circ S\,? Det gäller att
% \begin{array}{rcl}
% \left(\begin{array}{rrrr}
% (T\circ S)(\mathbf e_1) &(T\circ S)(\mathbf e_2) &\ldots &(T\circ S)(\mathbf e_p) \end{array}\right)
%   &=&
% \left(\begin{array}{rrrr}
% T( S(\mathbf e_1)) & T( S(\mathbf e_2)) & \ldots & T(S(\mathbf e_p)) \end{array}\right)=\\
%  &=&
%  \left(\begin{array}{rrrr}
% A\mathbf b_1 & A\mathbf b_2 & \ldots & A\mathbf b_p \end{array}\right)=AB
% \end{array}
% Det betyder att AB\, då är standardmatrisen för T\circ S\,.
% När I_m\, är identitetsmatrisen av form m\times m\, och A\, en m\times n-matis gäller
% I_mA=A=AI_n\,.
% Matlab kod för I_n är
% eye( n )
% ( "eye" imiterar uttalet av bokstaven I på engelska och har inget med "öga" att göra).
% Vanlig räkneregler som gäller för multiplikation mellan reella tal gäller även för matrismultiplikation med ett avgörande och viktigt undantag:
% AB är normalt inte samma som BA även om båda är defninerade och av samma form.
% Det kan dessutom inträffa att AB=0 utan att nån av A och B är 0\,!
% En matis är kvadratisk om den har formen n\times n dvs har lika många rader som kolonner. För en sådan matris A\, kan man definierad dess positiva heltals potenser enligt
% A^1 = A,\, \\A^2 = AA,\,\\ A^3 = AA^2 = A^2A,\,\\ \vdots\,\\ A^k = AA^{k-1}=A^{k-1}A,\, \\ \vdots \,
% Om A\not=0\, sätter man också A^0=I_n\,.
%
% Uppgift 31.3    Bestäm en 6\times 4-matris B\, sån att AB=0\, men BA\not=0\, när
% A = \left(\begin{array}{rrrrrr}
% 7 & 4 & 3 & 7 & 40 & 45\\
% -3 & 3 & 5 & 4 & 22 & 16\\
% 7 & 4 & -3 & -1 & 0 & 37\\
% -1 & 0 & -3 & 1 & -12 & -1
% \end{array}\right)\,.
%



%
% Uppgift 31.4   Bestäm
% (a)   två olika 4\times 4-matriser A\not=0\, och B\not=0\, så att AB=BA\,,
% (b)   två 4\times 4-matriser A\, och B\, så att AB\not=BA\,.



%
% Uppgift 31.5   Sätt
% A= \left(\begin{array}{rr} 3/4 & 1/3 \\ 1/4 & 2/3 \end{array}\right)\,.
% Se om du kan gissa vad A^n\, blir när n\to  \infty\,.



%
%% 31.3   Inverterbara matriser och deras inverser
%
% Definition:   En matris A\, är inverterbar om det finns en matris B\, sån att
%  AB = I\, och BA= I\,,
% där I är identitetsmatrisen (av rätt format).
% Om A är av typ m\times n måste B\, vara av typ n\times m för att både AB\, och BA\, ska vara definierade.  Det visar sig dessutom att enda möjligheten är att n=m\,, så bara kvadratiska matriser kan vara inverterbara.
% Anta att A är inveterbar och att BA=I=AB men också att CA=I=AC\,. Då gäller att
% C = CI=C(AB)=(CA)B=IB=B,
% så om A\, är inverterbar är den bara en matris som kan agera som B\,, dvs B\, är entydigt bestämd av A\,. Matrisen B\, betecknas då A^{-1}\, och kallas inversen till A\,.
% Anta att  A\, är inverterbar. Mutliplikation med A^{-1}\, från vänster på ekvationen  A\mathbf x =\mathbf 0\, ger då
% \begin{array}{rcl}
% A\mathbf x  &=& \mathbf 0\\
% A^{-1}A\mathbf x & = & A^{-1}\mathbf 0\\
% I\mathbf x &=& \mathbf 0 \\
% \mathbf x &=& \mathbf 0
% \end{array}
% dvs ekvationen A\mathbf x=\mathbf 0 har bara den triviala lösningen, så varje kolonn är pivotkolonn. Det betyder i sin tur att  A är radekvivalent (på RTF) med I, eftersom den är kvadratisk.
% Anta å andra sidan att A\, är radekvivalent med I_n\,. För varje kolonn \mathbf e_i\, i I_n\, är då ekvationen A\mathbf x= \mathbf e_i (entydigt) lösbar (om \left(\begin{array}{rr} A & \mathbf e_i\end{array}\right) överförs till TF är alla kolonner utom sista pivotkolonner). Låt \mathbf b_i$ vara lösningen\,. vara lösningen till A\mathbf x= \mathbf e_i\,. Då gäller
% \begin{array}{rcl}
% A\left(\begin{array}{rrrr} \mathbf b_1 & \mathbf b_2 & \ldots & \mathbf b_n
% \end{array}\right) &=&
% \left(\begin{array}{rrrr}
% A\mathbf b_1 & A\mathbf b_2 & \ldots & A\mathbf b_n
% \end{array}\right) =\\
% &=&
% \left(\begin{array}{rrrr} \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \ldots & \mathbf e_n
% \end{array}\right)= I_n \,.
% \end{array}
% Sätter du B= \left(\begin{array}{rrrr} \mathbf b_1 & \mathbf b_2 & \ldots & \mathbf b_n\end{array}\right)\, gäller altså att AB=I_n\,. Nu har ekvationen B\mathbf x=\mathbf 0 bara den tiriviala lösningen eftersom multiplikation med A\, från vänster ger \mathbf x=A\mathbf 0=\mathbf 0\,. Det betyder att B\, också är radekvivalent med I_n\, och enligt vad du nyss visat finns därför en matris C\, så att BC=I_n\,.
% Nu gäller
% A = A\,I_n=A(BC)=(AB)C=I_n\,C=C och därmed AB=I_n=BA\,.
% Du har alltså
% Sats   En kvadratisk matris är inverterbar precis när den är radekvivalent med identitetsmatrisen.
% Du såg också hur man då bestämmer inversen B=A^{-1}\,. Kolonn nummer i i B\, är lösningen \mathbf b_i till ekvationen A\mathbf x = \mathbf e_i\,. Det är én ekvation för varje kolonn, men du kan vara smart och lösa dessa samtidigt genom att skriva upp alla högerled i en (jätte)utökad koefficientmatris.
% Metod:  (för att bestämma A^{-1}\, när A\, är en inverterbar n\times n-matris)
% Sätt  U=\left(\begin{array}{rcr} A & | & I_n \end{array}\right)\,.
% Överför U till reducerad trappstegsform \left(\begin{array}{rcl}I_n & | & B\end{array}\right)\,.
% B\, är då A^{-1}\,.
%
% Testa detta nu på en slumpmässigt vald 4\times 4-matris.

