%% 45   Ortogonal projektion på delrum till \mathbb R^n
%
% Precis som vid ortogonal projektion av en vektor \mathbf v\, på en vektor \mathbf u\not=\mathbf 0\, vill du nu säkerställa att varje vektor \mathbf v\in\mathbb R^n\, kan skrivas
% \mathbf v = \hat\mathbf v+(\mathbf v-\hat \mathbf v)\,\qquad(4)
% där \hat \mathbf v\in W och \mathbf v-\hat\mathbf v\in W^\perp\,.
%
% Då väljer du en ortogonalbas \mathcal B:\mathbf u_1,\,\mathbf u_2,\,\ldots,\, \mathbf u_p\, för W\,.
% För att \mathbf v-\hat\mathbf v\, ska ligga i W^\perp\, ska den vektorn vara ortogonal mot varje vektor i basen så du ska ha 0=(\mathbf v -\hat\mathbf v)\bullet \mathbf u_i=\mathbf v \bullet\mathbf u_i-\hat\mathbf v\bullet \mathbf u_i\,  eller \hat\mathbf v\bullet \mathbf u_i=\mathbf v\bullet\mathbf u_i\,. Eftersom \hat \mathbf v ska ligga i W\, och \mathcal B\, är en ortogonalbas för W\, ska därför
% \begin{array}{rcl}
% \hat\mathbf v &=& \frac{\hat\mathbf v\bullet\mathbf u_1}{|\!|\mathbf u_1|\!|^2}\cdot
% \mathbf u_1 +
% \frac{\hat\mathbf v\bullet\mathbf u_2}{|\!|\mathbf u_2|\!|^2}\cdot
% \mathbf u_2 +
% \cdots +
% \frac{\hat\mathbf v\bullet\mathbf u_p}{|\!|\mathbf u_p|\!|^2}\cdot
% \mathbf u_p =\\
% &=&
% \frac{\mathbf v\bullet\mathbf u_1}{|\!|\mathbf u_1|\!|^2}\cdot
% \mathbf u_1 +
% \frac{\mathbf v\bullet\mathbf u_2}{|\!|\mathbf u_2|\!|^2}\cdot
% \mathbf u_2 +
% \cdots +
% \frac{\mathbf v\bullet\mathbf u_p}{|\!|\mathbf u_p|\!|^2}\cdot
% \mathbf u_p\,.
% \end{array}
% Det betyder att det finns precis en vektor \hat\mathbf v\, som uppfyller villkoret i (4) och att du har en formel för att beräkna den utgående från \mathbf v\,.
% Sats   När W\, är det delrum till \mathbb R^n finns det för varje vektor \mathbf v precis en vekotr \hat \mathbf v\in W\, så att \mathbf v -\hat \mathbf v\in W^\perp\,. När \mathcal B:\mathbf u_1,\,\mathbf u_2,\,\ldots,\, \mathbf u_p\,är en ortogonalbas för W gäller att
% \hat\mathbf v
% =
% \frac{\mathbf v\bullet\mathbf u_1}{|\!|\mathbf u_1|\!|^2}\cdot
% \mathbf u_1 +
% \frac{\mathbf v\bullet\mathbf u_2}{|\!|\mathbf u_2|\!|^2}\cdot
% \mathbf u_2 +
% \cdots +
% \frac{\mathbf v\bullet\mathbf u_p}{|\!|\mathbf u_p|\!|^2}\cdot
% \mathbf u_p\,.
% \qquad (4)
%
% Definition   Vektorn \hat\mathbf v kallas den ortogonala projektionen av \mathbf v på delrummet W till \mathbb R^n\,. Den betecknas också (mer beskrivande)
% \mbox{proj}_W(\mathbf v)=\hat\mathbf v\,.
% Orotgonal projektion från \mathbb R^n till W\, ger en avbildning som betecknas \mbox{proj}_W:\mathbb R^n\to W\,.
% Uppgift 45.1   Vektorerna
% \mathbf u_1 =
% \left(
%      \begin{array}{r}
%      5\\  -6\\  4\\  2
%      \end{array}
%      \right)\,,\quad
% \mathbf u_2 =
% \left(
%      \begin{array}{r}
%      6\\   5\\   -2\\  4
%      \end{array}
%      \right)\,,\quad
% \mathbf u_3 =
% \left(
%      \begin{array}{r}
%      2\\  4\\   6\\   -5
%           \end{array}
%      \right)\,
% är en ortogonal uppsättning som spänner ut W=\mbox{Span}\{\mathbf u_1,\,\mathbf u_2,,\mathbf u_3\}\,. Bestäm ortogonala projektionen \hat\mathbf v\, av
% \mathbf v = \left(
% \begin{array}{r}
% 17 \\ -27 \\ 4 \\ -10
% \end{array}\right)\,
% på W\,. Kontrollera att \mathbf v-\hat\mathbf v är ortogonal mot W\,
% Lösning



% Tänk dig nu att du tar en annan vektor \mathbf w\not=\hat \mathbf v\, i W\, och jämför avståndet |\!|\mathbf v-\mathbf w|\!|\,  mellan \mathbf v och den med avståndet |\!|\mathbf v-\hat\mathbf v|\!|\,mellan \hat \mathbf v\, och \mathbf v\,. Du har att
% \mathbf v-\mathbf w = (\mathbf v-\hat\mathbf v) + (\hat\mathbf v-\mathbf w)\,.
% Här gäller attt \mathbf v-\hat \mathbf v\in W^\perp\, och att \hat\mathbf v-\mathbf w\in W\, eftersom både \hat\mathbf v\, och \mathbf w\, ligger ii W\,.
% Därför är \mathbf v-\hat\mathbf v\, otorgonal mot \hat\mathbf v-\mathbf w\, och Pythagoras ger dig därför
% |\!|\mathbf v-\mathbf w|\!| ^2= |\!|\mathbf v-\hat\mathbf v|\!|^2+ |\!|\hat\mathbf v-\mathbf w|\!|^2>|\!|\mathbf v-\hat\mathbf v|\!|^2\,
% eftersom du förutsatt att \mathbf w\not=\hat\mathbf v\,. Du ser alltså att
% Sats   Vektorn \hat \mathbf v\, är den vektor i W\, som ligger närmast \mathbf v\,.
% Med avståndet mellan en vektor \mathbf v\in\mathbb R^n\, och delrummet W\, till \mathbb R^n\, avses kortaste avståndet mellan \mathbf v\, och en vektor i W\,. Satsen innebär att det avståndet är samma som avståndet |\!|\mathbf v-\hat\mathbf v|\!|\, mellan \mathbf v\, och \hat \mathbf v\in W\,.
%
% Uppgift 45.2   Bestäm avståndet mellan vektorn
% \mathbf v=
% \left(\begin{array}{r}
% 13 \\ -31 \\ 15 \\ -34
% \end{array}\right)\,.
% och linjära höljet till vektorerna
% \mathbf w_1 =
% \left(
%      \begin{array}{r}
%      -16\\    7\\   -6\\   -8
%      \end{array}
%      \right)\,,\quad
% \mathbf w_2 =
% \left(
%      \begin{array}{r}
%      15\\  -11\\   32\\  -13
%      \end{array}
%      \right)\,,\quad
% \mathbf w_3 =
% \left(
%      \begin{array}{r}
%      3\\   15\\    0\\   -3
%      \end{array}
%      \right)\,.
% Lösning
% Här gäller det att först skaffa en orotgonalbas/ortonormalbas för W=\mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \mathbf w_3\}\, eftersom \mathbf w_1,\,\mathbf w_2\,\mathbf w_3\, inte är en ortogonal uppsättning. Det kan du göra med kommandot  orth .



%
% Nu undrar du säkert om avbildningen \mbox{proj}_W :\mathbb R^n\to \mathbb R^n som till \mathbf v\, ordnar \mbox{proj}_W(\mathbf v) = \hat\mathbf v\, är linjär. I så fall ska den ges av multiplikation med en matris. Vad skulle den kunna vara? Svaret finns faktiskt i formeln (4) ovan om du förutsättar att basen \mathcal B:\mathbf u_1,\,\mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\, är en ortonormalbas för W\,. Du har då
%  \begin{array}{rcl}
% \mbox{proj}_W(\mathbf v) &=&
% (\mathbf v\bullet\mathbf u_1)\cdot \mathbf u_1 +
% (\mathbf v\bullet\mathbf u_2)\cdot \mathbf u_2 +
% \cdots +
% (\mathbf v\bullet\mathbf u_p)\cdot \mathbf u_p = \\
% &=&
% \left(
%  \begin{array}{rrrr}
%       \mathbf u_1 & \mathbf u_2 & \ldots & \mathbf u_p
%  \end{array}
% \right)
% \left(
%       \begin{array}{r}
%       \mathbf v\bullet\mathbf u_1\\
%       \mathbf v\bullet\mathbf u_2 \\
%       \vdots \\
%       \mathbf v\bullet\mathbf u_p
%       \end{array}
%       \right) = \\
% &=&
% \left(
%  \begin{array}{rrrr}
%       \mathbf u_1 & \mathbf u_2 & \ldots & \mathbf u_p
%  \end{array}
%  \right)
% \left(
%  \begin{array}{r}
%       \mathbf u_1^\top \\ \mathbf u_2^\top \\ \vdots \\ \mathbf u_p^\top
%  \end{array}
%  \right)
% \mathbf v\,.
% \end{array}
% Sätter du U = \left(\begin{array}{rrrr} \mathbf u_1 & \mathbf u_2 & \ldots & \mathbf u_p\end{array}\right)\, betyder det att
% \mbox{proj}_W\mathbf v= U\,U^\top\,\mathbf v\,
% och du har
% Sats   Ortogonal projektion på ett delrum W\, till \mathbb R^n är en linjär avbildning \mbox{proj}_W:\mathbb R^n\to\mathbb R^n\,. När \mathcal B:\mathbf u_1,\,\mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\, är en ortonormalbas för W\, ges strandardmatrisen för \mbox{proj}_W\, av U\,U^\top där U = \left(\begin{array}{rrrr} \mathbf u_1 & \mathbf u_2 & \ldots & \mathbf u_p\end{array}\right)\,.
% Uppgift 45.3
% (a)   Bestäm matrisen för ortogonal projektion på delrummet W\, som är linjära höljet till vektorerna
% \mathbf w_1 =
% \left(
%      \begin{array}{r}
%      -22\\    9\\   16\\  -31
%      \end{array}
%      \right)\,,\quad
% \mathbf w_2 =
% \left(
%      \begin{array}{r}
%      -28\\   -3\\   -2\\  -16
%      \end{array}
%      \right)\,,\quad
% \mathbf w_3 =
% \left(
%      \begin{array}{r}
%       17\\  -21\\   -2\\   20
%      \end{array}
%      \right)\,.
% (b)   Använd matrisen för att bestämma avståndet mellan W\, och
% \mathbf v = \left(\begin{array}{r} 13 \\ 12 \\ -1 \\ -35 \end{array}\right)\,.
% Lösning



%
%