%% 44   Orotgonalitet
% Innehåll
% 44.1   Skalärprodukt
% 44.2   Ortogonal och ortonormalbas
% 44.3   Ortogonalt komplement av delrum
%
%% 44.1   Skalärprodukt
%
% Att två vektorer i rummet är vinkelräta mot varandra eller ej är nåt du tycker du kan avgöra (ganska bra) med dina sinnen. De säger dig att \mathbf u är vinkelrät mot \mathbf v precis när de två vektorerna \mathbf v-\mathbf u\, och \mathbf v-(-\mathbf u)\, har samma längd
%
% Längden |\!|\mathbf w |\!| av en vektor \mathbf w\, kan du beräkna Pythagoras sats från \mathbf w:s koordinater enligt |\!|\mathbf w |\!|= \sqrt{w_1\!\,^2+w_2\!\,^2+w_3\!\,^2}\, när
% \mathbf w = \left(\begin{array}{r} w_1\\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right)\,.
% Du får att \mathbf v är vinkelrät mot \mathbf u precis när
%  |\!|\mathbf v-\mathbf u |\!|^2 = |\!|\mathbf v+\mathbf u|\!|^2
% dvs när
% (v_1-u_1)^2 + (v_2-u_2)^2 + (v_3-u_3)^2 = \qquad (1)\\
% \quad = (v_1+u_1)^2 + (v_2+u_2)^2 + (v_3+u_3)^2\,
% där
% \mathbf v=\left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)\,,\quad
% \mathbf u=\left(\begin{array}{r} u_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)\,.
% Utvecklar du båda sidor i (1) kan du stryka alla kvadrater och samla allt i högra ledet och få
% 0 = 4(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)\,.
% Det ger dig
% \mathbf u är vinkelrät mot \mathbf v precis när u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 = 0\,.
% Hårresande briljant! Du kan avgöra om två vektorer är vinkelräta eller ej bara genom att multiplicera deras koordinater koordinatvis och summera rubbet. Får du 0 är de vinkelräta annars inte.
% När du har vektorer i \mathbb R^n\, där n>3 har du inte längre nån hjälp dina sinnen. Men uttrycket som ska vara 0 för vinkelräthet skulle funka även då.
% Definition   Skaläprodukten (eng. inner product / dot  product ) av
%  \mathbf u=
% \left(\begin{array}{r}
% u_1\\u_2\\ \vdots\\ u_n
% \end{array}\right)\quad
% \mbox{ och  }\quad
% \mathbf v=
% \left(\begin{array}{r}v_1\\v_2\\ \vdots\\ v_n\end{array}\right)
% definieras av ( \mathbf u^\top är transponatet av \mathbf u)
% \mathbf u \bullet \mathbf v = \mathbf u^\top\mathbf v = u_1v_1+u_2v_2+\cdots +u_nv_n\,.
% Observera att skalärprodukten är ett tal. Eftersom skalärprodukten är matrismultiplikation mellan (kolonnvektorn) \mathbf u^\top och (radvektorn) \mathbf vkan du använda räkneregler som gäller för matrismultiplikation också för skalärpordukt.
% Nu definierar du
% Definition   Vektorerna \mathbf u och \mathbf v i \mathbb R^n är orotogonala ( vinkelräta, \mathbf u\perp \mathbf v) när \mathbf u\bullet \mathbf v=0\,.
% I Matlab kan du beräkna skalärprodukten av  \mathbf u\, och \mathbf v med kommandot
% dot( u , v )
% Testa nu att beräkna skalärprodukten av två slumpvis valda vektorer i \mathbb R^6\, med koordinater som är heltal mellan -9\,och 9\,.



% När \mathbf u\, är en vektor i \mathbb R^3\, är längden |\!|\mathbf u |\!|av \mathbf u lika med \sqrt{\mathbf u\bullet\mathbf u}\,. Därför definierar du
% Definition  Längden (eng. length ) |\!|\mathbf u |\!|av vektorn \mathbf u\in\mathbb R^n\, ges av
% |\!|\mathbf u |\!|
% =\sqrt{\mathbf u\bullet\mathbf u}=
% \mathbf u^\top\mathbf u\,.
% Eftersom (c\mathbf u)^\top(c\mathbf u)\, =
% c^2\mathbf u^\top\mathbf u\, har du att
% |\!|c\mathbf u |\!|=|c|\cdot|\!|\mathbf u |\!|\,.
%
% I Matlab kan du beräkna |\!|\mathbf u |\!|med kommandot
% norm( u )
% Testa nu att beräkna längden av en slumpvis vald vektor i \mathbb R^5\, med koordinater som är heltal mellan -3\,och 7\,.



% Definition   En vektor \mathbf u\in\mathbb R^n är en enhetsvektor (eng. unit vector) om den har längd 1:
% |\!|\mathbf u|\!|=1\,.
% När \mathbf u\in \mathbb R^n\, är en vektor \not=\mathbf 0\, gäller att (1/|\!|\mathbf u|\!|)\mathbf u är en enhetsvektor i med samma riktning som \mathbf u\, eftersom 1/|\!|\mathbf u|\!|>0\,.Vektorn
% \frac{1}{|\!|\mathbf u|\!|}\cdot\mathbf u\,
% kallas normeringen av \mathbf u\,.
% Definition   Avståndet (eng. distance) mellan vektorerna \mathbf u och \mathbf v\, i \mathbb R^n\, definieras som längen av \mathbf v-\mathbf u\, dvs som
% |\!|\mathbf u-\mathbf v|\!|= |\!|\mathbf v-\mathbf u|\!|.
% Testa nu att beräkna avståndet mellan två slumpvis valda vektorer i \mathbb R^4\, med koordinater som är heltal mellan -2\, och 4\,.



% Du har att
% \begin{array}{rcl}
% |\!|\mathbf u +\mathbf v|\!|^2
% &=& (\mathbf u+\mathbf v)^\top(\mathbf u+\mathbf v) = (\mathbf u^\top+\mathbf v^\top)(\mathbf u+\mathbf v) =\\
% &=& \mathbf u^\top\mathbf u + \mathbf u^\top\mathbf v + \mathbf v^\top\mathbf u +\mathbf v^\top\mathbf v =
%  |\!|\mathbf u|\!|^2 +2\mathbf u^\top\mathbf v+|\!|\mathbf v|\!|^2\,.
% \end{array}
% Detta ger dig
% Sats    (Pythagoras i \mathbb R^n) Vektorerna \mathbf u\, och \mathbf v\, i \mathbb R^n\, är ortogonala precis när
% |\!|\mathbf u +\mathbf v|\!|^2= |\!|\mathbf u|\!|^2 +|\!|\mathbf v|\!|^2\,.
%
% Säg att du har vektorerna \mathbf u\, och \mathbf v\, i \mathbb R^n\, där \mathbf u\not=\mathbf 0\,. I \mathbb R^3\, kan du illustrera det med en figur
%
% Du vill här bestämma \alpha så att \mathbf v-\alpha\,\mathbf u\, är ortogonal mot \mathbf u\,. Det ger dig
% 0=( \mathbf v -\alpha\,\mathbf u)\bullet \mathbf u\,.
% Löser du här ut \alpha\, får du \alpha = \frac{\mathbf v\bullet \mathbf u}{|\!|\mathbf u|\!|^2} .
% Definition   Vektorn
% \hat \mathbf v =
%  \frac{\mathbf v\bullet \mathbf u}{|\!|\mathbf u|\!|^2}\cdot
% \mathbf u\,
% kallas \mathbf v:s ortogonala projektion på \mathbf u\,. Den har egenskapen att \mathbf v-\hat \mathbf v\, är ortogonal mot \mathbf u\,. En mer beskrivande beteckning är
% \mbox{proj}_{\mathbf u}(\mathbf v)=\hat\mathbf v\, så att du har en linjär avbildning \mbox{proj}_\mathbf u:\mathbb R^n \to \mbox{Span}\{\mathbf u\}\,.
% Att avbildningen är linjär kan du lätt se eftersom (\mathbf v_1+\mathbf v_2)\bullet \mathbf u=\mathbf v_1\bullet \mathbf u+\mathbf v_2\bullet \mathbf u\, och (c\mathbf v)\bullet \mathbf u=c(\mathbf v\bullet \mathbf u)\,.
% Du kan tänka på \hat\mathbf v som den del av \mathbf v som är parallell med \mathbf u\,. Du har delat upp \mathbf v\, i två vektorer
% \mathbf v=\hat \mathbf v + (\mathbf v -\hat \mathbf v)\,
% där du kan tänka på  \hat\mathbf v som den del av \mathbf v som är parallell med \mathbf u\, och \mathbf v-\hat\mathbf v som den del av \mathbf v som är vinkelrät mot \mathbf u\,.
%
% Uppgift 44.1   Skriv \mathbf v som en summa av två vektorer där den ena är parallell med \mathbf u\, och den andra vinkelrät mot \mathbf u\, när
% \mathbf v =\left(\begin{array}{r} 1 \\ 8 \\ 14 \\ 8 \end{array}\right)    och    \mathbf u = \left(\begin{array}{r} 2 \\ 1\\ 4 \\ -2\end{array}\right)\,.
% Lösning



%
%% 44.2   Ortogonal och ortonormalbas
%
% Definition   Vektorerna \mathbf u_1,\, \mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\, i \mathbb R^n\, är en ortogonal uppsättning (eng. orthogonal set of vectors) om ingen vektorerna är nollvektor och de är parvis vikelräta mot varandra, dvs
% \mathbf u_i\perp \mathbf u_j  för alla i och j\not=i mellan 1 och p\,.
% Uppsättningen är ortonormal (eng. orthonormal) om varje vektor dessutom har längd 1:
% |\!|\mathbf u_i|\!|=1\,för alla i\,,1\leq i\leq p\,.
% För att kolla att \mathbf u_1,\, \mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\, är en ortogonal uppsättning kan du sätta
% U=\left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf u_1 & \mathbf u_2 & \ldots & \mathbf u_p
% \end{array}\right)\,  så att   U^\top = \left(\begin{array}{r}
% \mathbf u_1^\top \\
% \mathbf u_2^\top \\
% \vdots \\
% \mathbf u_p^\top \\
%  \end{array}\right)\,.
% Då har du att det på position (i,\,j)\, i U^\top U\, står \mathbf u_i^\top\mathbf u_j så \mathbf u_1,\, \mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\, är en ortogonal uppsättning precis när U^\top U\, är en diagonal matris. Längs diagonalen står då kvadraten på vektorernas längder.
%
% Uppgift 44.2   Avgör om  vektorerna
% \mathbf u_1=\left(\begin{array}{r} 1\\ -2 \\ -2 \\ -4\end{array}\right)\,,\quad
% \mathbf u_2=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1 \\ 4 \\ -2\end{array}\right)\,,\quad
% \mathbf u_3=\left(\begin{array}{r} 2\\ -4 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)\,
% är en ortogonal uppsättning vektorer i \mathbb R^4\,.



%
% När \mathbf u_1,\, \mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\, i  är en ortogonal uppsättning och
% c_1\mathbf u_1+c_2\mathbf u_2 + \cdots +c_p\mathbf u_p =\mathbf 0\,
% kan du ta skalärprodukt med \mathbf u_i på båda sidor och få
% c_i|\!|\mathbf u_i|\!|^2 = 0\,
% som ger dig att c_1=c_2 = \dots = c_p=0\, eftersom ingen av vektorerna är nollvektorn.  Detta ger dig
% Sats   En ortogonal/orotnormal uppsättning vektorer i \mathbb R^n\, är linjärt oberoende.
% Sätter du V = \mbox{Span}\{\mathbf u_1,\, \mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\}\,där \mathbf u_1,\, \mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\, är en ortogonal uppsättning så är \mathcal B:\mathbf u_1,\, \mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\, en bas för V eftersom de linjärt oberoende. Tar du nu \mathbf v\in V\, har du
% \mathbf v=c_1\mathbf u_1+c_2\mathbf u_2 + \cdots +c_p\mathbf u_p\,\qquad(2)
% där c_1,\,c_2,\,\ldots,\,c_p\, är \mathbf v:s koordinater med avseende på \mathcal B\, så att
% [\mathbf v]_\mathcal B = \left(\begin{array}{r} c_1\\ c_2 \\ \vdots \\ c_p\end{array}\right)\,.
% För att bestämma dessa brukar du lösa ekvationen
% \left(\begin{array}{rrrr} \mathbf u_1 & \mathbf u_2 & \ldots & \mathbf u_p\end{array}\right) [\mathbf v]_\mathcal B= \mathbf v\,
% men efftersom \mathbf u_1,\, \mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\,är en ortogonal uppsättning kan du bestämma koordinaterna direkt ur (2) . Tar du där skalärprodukt med \mathbf u_i\, får du nämligen
% \mathbf v\bullet \mathbf u_i= c_i|\!|\mathbf u_i|\!|^2  och   c_i= \frac{\mathbf v\bullet \mathbf u_i}{|\!|\mathbf u_i|\!|^2}\,
% så att
% \mathbf v=\frac{\mathbf v\bullet\mathbf u_1}{|\!|\mathbf u_1|\!|^2}\cdot\mathbf u_1+
% \frac{\mathbf v\bullet\mathbf u_2}{|\!|\mathbf u_2|\!|^2}\cdot\mathbf u_2 + \cdots +
% \frac{\mathbf v\bullet\mathbf u_p}{|\!|\mathbf u_p|\!|^2}\cdot\mathbf u_p\,.
% Elegant eller hur? Ännu elegantare blir det när \mathbf u_1,\, \mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\,är en ortonormal uppsättning:
% \mathbf v=(\mathbf v\bullet\mathbf u_1)\cdot\mathbf u_1+
% (\mathbf v\bullet\mathbf u_2)\cdot\mathbf u_2 + \cdots +
% (\mathbf v\bullet\mathbf u_p)\cdot\mathbf u_p\,.
% Detta förtjänar
% Definiition   En bas \mathbf u_1,\, \mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\,för ett delrum V\, till \mathbb R^n som också är en ortogonal/ortonormal uppsättning kallas en ortogonalbas/ortonormalbas (eng. orthogonal/orthonormal basis) för V\,.
%
% Uppgift 44.3   Vektorerna
% \mathbf u_1=\left(\begin{array}{r} 1\\ -2 \\ -2 \\ -4\end{array}\right)\,,\quad
% \mathbf u_2=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1 \\ 4 \\ -2\end{array}\right)\,,\quad
% \mathbf u_3=\left(\begin{array}{r} 2\\ -4 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)\,
% är en ortogonal uppsättning vektorer i \mathbb R^4  och därför utgör en bas \mathcal B:\mathbf u_1,\,\mathbf u_2,\,\mathbf u_3\, för V=\mbox{Span}\{\mathbf u_1,\,\mathbf u_2,\,\mathbf u_3\}\,. Kolla att vektorn \mathbf v\, ligger i V\, när
% \mathbf v = \left(\begin{array}{r} 7\\ -24 \\ -10 \\ 0\end{array}\right)\,.
% och bestäm [\mathbf v]_\mathcal B dels genom att lösa ett ekvationssystem, dels genom att utnyttja att basen är en ortogonalbas.
% Lösning



%
% Okej, när du sitter med Matlab tycker du kanske inte att det är så imponerande att du lyckas bestämma koordinater med skalärprodukt när du har en ortogonalbas, men det finns andra fördelar med en sån bas.
% Du vet ju att varje delrum V\, till \mathbb R^n har en bas, men undrar säker om det alltid också finns en ortogonalbas för V\,. Svaret är ja, och det finns en särskild procedur som från en bas vilken som helst ger dig en ortogonalbas. Den kallas Gram - Schmidts metod.
% Så säg att \mathcal B:\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\, är en bas för V\,.
% 1.    Börja med att sätta \mathbf u_1=\mathbf v_1\,. Då är (uppenbart) \mbox{Span}\{\mathbf u_1\}=\mbox{Span}\{\mathbf v_1\}\,.
% 2.   Ta sen \mathbf v_2 och dra bort det som pekar i tidigare riktning, dvs \mathbf u_1:
% \mathbf u_2=\mathbf v_2 - \frac{\mathbf v_2\bullet \mathbf u_1}{|\!|\mathbf u_1|\!|^2}\cdot \mathbf u_1\,.
%  Då är \mathbf u_1\, och \mathbf u_2\, ortogonala och \mathbf v_2 en linjärkombination av \mathbf u_1\, och \mathbf u_2\, så \mbox{Span}\{\mathbf u_1,\, \mathbf u_2\}=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2\}\,.
% 3.   Ta nu \mathbf v_3\, och dra bort det som pekar i tidigare riktningar dvs \mathbf u_1,\,\mathbf u_2:
% \mathbf u_3=\mathbf v_3 - \frac{\mathbf v_3\bullet \mathbf u_1}{|\!|\mathbf u_1|\!|^2}\cdot \mathbf u_1 -
% \frac{\mathbf v_3\bullet \mathbf u_2}{|\!|\mathbf u_2|\!|^2}\cdot \mathbf u_2\,.
% Tar du skalärprodukt med \mathbf u_1\, och \mathbf u_2\, ser du att \mathbf u_3\, är ortogonal mot båda. Du ser cokså från definitionen av \mathbf u_3 att \mathbf v_3\, ligger i \mbox{Span}\{\mathbf u_1,\,\mathbf u_2,\,\mathbf u_3\}\, så från 2. får du \mbox{Span}\{\mathbf u_1,\,\mathbf u_2,\,\mathbf u_3\}= \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\mathbf v_3\}\,.
% Proceduren kan upprepas så att du får en uppsättning ortogonala vektorer \mathbf u_1,\,\mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\, med
% \mbox{Span}\{\mathbf u_1,\,\mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_p\,\} =
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\,.
% Resultatet är därför en ortogonalbas för V\,. Genom att normera den kan du får en ortonormalbas för V\,.
% Matlab har kommandot
% orth( A )
% som till en matris vars kolonner är linjärt oberoende tar fram en ortonormalbas  för kolonnrummet \mbox{Col}\,A\, som är \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\, när A= \left(\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_p\end{array}\right)\,. Även när kolonnerna är linjärt beroende resulterar kommandot i en ortonormalbas för V\,. Matlab använder en modifierad version av Gram-Schmidt så likheterna \mbox{Span}\{\mathbf u_1,\,\mathbf u_2,\,\ldots,\,\mathbf u_i\,\} =
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_i\}\,när 1\leq i\leq p\, stämmer normalt inte i Matlabs resultat.
% Uppgift 44.4   Betäm en ortogonalbas för V=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\mathbf v_2\} med Gram - Schmidts metod. Kontrollera ditt svar. Bestäm sen en ortonormalbas dels genom att normera dels genom att använda  orth när
% \mathbf v_1 =\left(\begin{array}{r} -3 \\ 6 \\ 6 \\ 12\end{array}\right)\,,\quad
% \mathbf v_2 =\left(\begin{array}{r} 2 \\ 6 \\ 12 \\ 4\end{array}\right)\,,\quad
% \mathbf v_3 =\left(\begin{array}{r} 8 \\ -1 \\ 13 \\ -4\end{array}\right)\,.
% Lösning



%
%% 44.3   Ortogonalt komplement av delrum
%
% Säg att du har ett delrum W\, till \mathbb R^n  och en vektor \mathbf v \in\mathbb R^n\,. Du är sugen på att bestämma \hat\mathbf v\in W\, så att \mathbf v - \hat\mathbf v är ortogonal mot varje vektor i W\,. Du är inte säker på att det finns en sån vektor \hat\mathbf v\,.
%
% För att kunna prata om det lättare gör du en
% Definition   När W\, är ett delrum till \mathbb R^n är en vektor \mathbf v\in\mathbb R^n\, ortogonal mot W\,om \mathbf v\perp\mathbf w\, för varje vektor \mathbf w \in W\,. Mängden av alla vekoter i \mathbb R^n\,som är ortogonala mot W\, är ett delrum som betecknas W^\perp\, och kalla ortogonala komplementet till W\,.
% Hur ska du då avgöra om \mathbf v\in W^\perp\,? När du har vektorer \mathbf w_1,\,\mathbf w_2\,\ldots,\,\mathbf w_q\, som spänner ut W är varej vektor \mathbf w\in W en linjärkombination av dem:
% \mathbf w = c_1\,\mathbf w_1 + c_2\,\mathbf w_2 + \cdots + c_q\,\mathbf w_q\,\qquad(3)
% För att \mathbf v ska ligga i  W^\perp\, måste förstås \mathbf v vara orotgonal mot varje vektor \mathbf w_1,\,\mathbf w_2\,\ldots,\,\mathbf w_q\,, men det räcker också för att \mathbf v ska vara vinkelrät mot varje vektor \mathbf w\in W\,. Det ser du om du tar skalärprodukt med \mathbf v på båda sidor i (3).
% Vektorn \mathbf v är vinkelrät mot varje vektor \mathbf w_1,\,\mathbf w_2\,\ldots,\,\mathbf w_q\, precis när
% \mathbf 0 = \left(
% \begin{array}{r}
% \mathbf w_1^\top\mathbf v \\
% \mathbf w_2^\top\mathbf v  \\
% \vdots\\
% \mathbf w_q^\top\mathbf v
% \end{array}\right)=
% \left(\begin{array}{r}
% \mathbf w_1^\top\\
% \mathbf w_2^\top \\
% \vdots\\
% \mathbf w_q^\top
% \end{array}\right) \mathbf v
% =
% \left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf w_1 &
% \mathbf w_2 &
% \ldots &
% \mathbf w_q
% \end{array}\right)^\top \mathbf v
% Sätter du  A=
% \left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf w_1 &
% \mathbf w_2 &
% \ldots &
% \mathbf w_q
% \end{array}\right) har du att W=\mbox{Col}\,A\, och att \mathbf v\in W^\perp\, precis när A^\top\mathbf v=\mathbf 0, så att W^\perp= \mbox{Null}\,A^\top\,. Detta visar också att  W^\perp\, är ett delrum till \mathbb R^n eftersom det är nollrummet till en matris.
% Sats    När W= \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\,\mathbf w_2,\,\ldots,\, \mathbf w_q\}\, gäller att W^\perp=\mbox{Null}\,A^\top (och W=\mbox{Col}\,A\,) där A=
% \left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf w_1 &
% \mathbf w_2 &
% \ldots &
% \mathbf w_q
% \end{array}\right)\,.
%
% Uppgift 44.5   Bestäm en bas för W^\perp när W\, är linjära höljet till vektorerna
%
% \mathbf w_1 =
% \left(\begin{array}{r}
%   1 \\  -3 \\  -2 \\  -1 \\   2
%   \end{array}\right)\,,\quad
% \mathbf w_2 =
% \left(\begin{array}{r}
%   -4 \\   0 \\   0 \\   2 \\   0
%   \end{array}\right)\,,\quad
% \mathbf w_3 =
% \left(\begin{array}{r}
%       2 \\   9 \\   6 \\   0 \\  -4
%   \end{array}\right)\,.
%
% Lösning



%
%
%