%% 41    Partikulärlösning till linjär differentialekvation.
%
% Du kanske minns att när man ska bestämma alla funktioner som löser differentialekvationen
% ay''+by'+cy=h(x),\qquad(1)
% där a,\,b\, och c\, är kända konstanter och h(x)\, en känd funktion, så gör man det i två steg:
% Bestäm allmänna lösningen y_h till den homogena ekvationen ay''+by'+cy=0\, med hjälp av nollställen till den karaktäristiska ekvatione ar^2+br+c=0\, och lösningsformel.
% Bestäm én (partikulär)lösning y_p till (1).
% Samtliga lösningar ges sen av
% y = y_h + y_p\,.
% För att bestämma en y_p\, har du lärt dig att man kan göra en ansats, som i stort går ut på att man ansätter y_p till en funktion av samma typ som f(x),\, men med obekanta koefficienter som sen bestäms genom instättning av ansatsen i (1).
% Exempel på ansatser är
% Om h(x)\, är ett polynom ansätt y_p\, ett polynom av samma grad.
% Om h(x)=p(x)e^{kx}\,, där p(x)\, är ett känt polynom,  ansätt y_p=q(x)e^{kx}\, där q(x) är ett polynom av samma grad som p(x)\,, men med obekanta koefficienter.
% Om h(x) =\cos kx\, eller f(x)=\sin kx ansätt y_p= A\cos kx + B \sin kx\,.
% Med linjär algebra kan man göra detta systematiskt och hantera flera olik högerled av samma typ samtidigt.
% Utgångspunkten är att vänstra ledet i (1) kan uppfattas som resultatet av en avbildning
% T(y) = ay'' + by' + cy\,
% som är linjär eftersom derivering är linjär. För de olika ansatserna sätt
% \mathcal B: x^n,\,x^{n-1},\,\ldots,\ x, 1\, (standardbasen) där n\, är graden av h(x)\,och V=\mathbb P_n=\mbox{Span}\{\mathcal B\}\,.
% \mathcal B: x^ne^{kx},\,x^{n-1}e^{kx},\,\ldots,\ xe^{kx}, e^{kx}\,  där n\, är graden av h(x)\,och V=\mbox{Span}\{\mathcal B\}\,.
% \mathcal B:\cos kx,\ \sin kx\, och V=\mbox{Span}\{\mathcal B\}\,.
% I samtliga är fall funktionerna i \mathcal B\, linjärt oberoende och är därför en bas för V\,. I samtliga fall  blir också  derivatan av en funktion i \mathcal B\, en linjärkombination av funktioner i \mathcal B så derivering ger en linjär avbildning
% D:V\to V\,.
% Eftersom D går från ett vektorrum ( V\,) till vektorrummet självt kan du göra sammansättningen D(D(f)) som skrivs D^2(f) och D^2(f)=f''\,. Eftersom du har en och samma bas för V på båda sidor av V\to V brukar man skriva
% [D]_\mathcal B\, i stället för [D]_{\mathcal B\mathcal B}
% för matrisen av D\, relativt basen \mathcal B\,. Eftersom sammansättning av linjära avbildningar motsvarar multiplikation av deras matriser har du nu
% [D^2]_\mathcal B = ([D]_\mathcal B)^2\,.
% Uppgift 41.1   Bestäm matrisen för D:V\to V och D^2:V\to V\, i fallen 1, 2 och 3 när n=2 och k =3.
% Lösning



%
% Vänstra ledet i
% ay''+by'+cy=h(x),\qquad(1)
% är T(y)\, där T\, den linjära avbildningen T: V\to V\, som ges av
% T(y) = aD^2(y) + bD(y) + cy\,.
% Matrisen för den i basen \mathcal B blir därför
% [T]_\mathcal B = a([D]_\mathcal B)^2 + b[D]_\mathcal B +c\, I
% där I är identitetsmatrisen.
% För att bestämma en partikulärlösning till ay''+by'+cy=h(x),\, ska du därför lösa
% \Big( a([D]_\mathcal B)^2 + b[D]_\mathcal B + c\,I\Big)[y_p]_\mathcal B =[h(x)]_\mathcal B\,.$
% Uppgift 41.2    Bestäm en partikulärlösning till
% (a)    2y'' - 5y' +3y = x^3-17x^2+35x-25\,.
% (b)    2y'' - 5y' +3y = 2x^3-3x+2\,.
% Lösning



%
% Uppgift 41.3   Bestäm én partikulärlösning till
% (a)   y''+y'-12y=(x^3+x)e^{2x}\,.
% (b)    y'' +y' -12y = (18x^3-105x^2+130x-20)e^{2x}\,.
% Lösning   Sätt V = \mbox{Span}\{ x^3e^{2x},\, x^2e^{2x},\, xe^{2x}, e^{2x}\}\,.Funktionerna är linjärt oberoende så du har basen \mathcal B: x^3e^{2x},\, x^2e^{2x},\, xe^{2x}, e^{2x}\, för V. När du deriverar får du D(x^ke^{2x})=(kx^{k-1}+2x^k)e^{2x} när k>0 och D(e^{2x})=2e^{2x}\,. Detta ger dig
% [D]_\mathcal B = \left(\begin{array}{rrrr}{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\,.
% Vänstra ledet i ekvationerna ges av den linjära avbildningen T:V\to V\, definierad av
% T(y) = y'' +y'-12y\,
% som därför har matris
% [T]_\mathcal B=([D]_\mathcal B)^2 +[D]_\mathcal B -12\,I_4\,.



%
% Uppgift 41.4   Bestäm én partikulärlösning till
% (a)    y''-4y'+4y= 4\cos 3x\,.
% (b)    y''-4y'+4y= -2\cos 3x+ 5\sin 3x\,.
% Lösning   Sätt V= \mbox{Span}\{\cos 3x,\, \sin 3x \}\,. Funktionerna är linjärt oberoende och ger därför en bas \mathcal B = \cos 3x,\, \sin 3x\, för V\,. Derivering ger dig D(\cos 3x) = -3\sin 3x\, och D(\sin 3x)= 3\cos 3x\,. Med avseende på basen \mathcal B\, har därför D:V\to Vmatris
% [D]_\mathcal B= \left(\begin{array}{rr} 0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right).
% Vänstra ledet i ekvationerna ges av den linjära avbildningen T:V\to V\, som definieras av
% T(y) = D^2(y) -4D(y) + 4y
% och därför har matris
% [T]_B = ([D]_\mathcal B)^2 -4[D]_\mathcal B + 4\,I_2\,.



%
%
%
%