%% 33   Delrum till \mathbb R^n
% Innehåll
% 33.1   Definition av delrum
% 33.2   Bas för ett delrum till
% 33.3   Dimension av delrum och rang till matris
%% 33.1   Definition av delrum
%
% Du har sett två framträdande exempel på delmängder till \mathbb R^n:
% Linjära höljet (eng. span) \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_k\}\, till ett antal vektorer \mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_k\, i \mathbb R^n\,,
% Mängden av lösningar till ekvationen A\mathbf x=\mathbf 0\, där A\, är en m\times n-matris.
% De två exemplen delar tre viktiga egenskaper
%     (a)   Nollvektorn \mathbf 0\, ligger i mängden.
%     (b)   Om \mathbf u\, och \mathbf v\, ligger i mängden, så gör även deras summa \mathbf u +\mathbf v det.
% För linjära höljet kan du se detta genom att konstatera att \mathbf u\, och \mathbf v\, då kan skrivas V\mathbf x =\mathbf u respektive V\mathbf y=\mathbf v\, för några kolonnner \mathbf x och \mathbf y av vikter när V är matrisen med \mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_k\, som kolonner. Det ger
% \mathbf u + \mathbf v = V\mathbf x + V\mathbf y=V(\mathbf x+\mathbf y)\,
% så att \mathbf x+\mathbf y\, är vikter för summan \mathbf u+\mathbf v\,.
% För lösningsmängden till A\mathbf x=\mathbf 0 kan du konstatera att om \mathbf u och \mathbf v\, ligger i den så gäller
% A(\mathbf u+\mathbf v)= A\mathbf u+A\mathbf v =\mathbf 0+\mathbf 0=\mathbf 0\,,
% vilket visar att \mathbf u+\mathbf v också är en lösning till A\mathbf x=\mathbf 0\,.
%     (c)   Om \mathbf u\, ligger i mängden och c\, är en skalär så ligger även c\,\mathbf u\, i mängden.
% För linjära höljet kan du se det genom att \mathbf u\, då kan skrivas V\mathbf x=\mathbf u,\, för nån kolonn av vikter \mathbf x\,. Det ger att V(c\,\mathbf x)=c\,(V\mathbf x)=c\,\mathbf u\,, så att vikterna för c\,\mathbf u\, ges av c\,\mathbf x\,.
% För lösningsmängden till A\mathbf x=\mathbf 0\, kan du konstatera att om \mathbf v är en lösning så gäller att A(c\,\mathbf v) = c\,(A\mathbf v) =c\,\mathbf 0= \mathbf 0, så att även c\,\mathbf v är en lösning.
% Observationerna motiverar följande:
% Definition   En delmängd H\, till \mathbb R^n\, kallas ett delrum (eng. sub space) till \mathbb R^n\, om
%     (a)   \mathbf 0\in H\,,
%     (b)   när \mathbf u,\,\mathbf v\in H\, så gäller att även \mathbf u+\mathbf v\in H\,,
%     (c)   när \mathbf u\in H \, och c\, är en skalär så gäller att även c\,\mathbf u\in H\,.
% Av  (b)  och (c)  följer genom upprepad användning att om \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\, \mathbf v_k är vektorer i ett delrum H\, och c_1,\, c_2,\ldots,\,c_k\, är vikter så gäller att
% c_1\,\mathbf v_1+
% c_1\,\mathbf v_2+
% \cdots +
% c_1\,\mathbf v_k\in H\,
% dvs varje linjärkombination av vektorer H\, ligger också i H\,, så att
% \mbox{Span}{\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_k\}\subseteq H\,.
% Linjära höljet till ett antal vektorer i \mathbb R^n\, och lösningsmängen till A\mathbf x =\mathbf 0 där A\, är en m\times n-matris är två framträdande exempel på delrum till \mathbb R^n\,. I själva verket har du sett att lösningarna till A\mathbf x=\mathbf 0\, kan beskrivas som linjära höljet till ett antal vektorer, så egentligen är de två exemplen samma.
% Exemplen är så viktiga så vi inför terminologi för dem
% Delrummet av lösningar till A\mathbf x=\mathbf 0\, kallas marisen A:s nollrum (eng. null space) och betecknas \mbox{Null}\,A\, (i textboken \mbox{Nul}\,A).
% Om A=\left(\begin{array}{rrrr} \mathbf a_1 & \mathbf a_2,\, \ldots ,\,\mathbf a_n\end{array}\right)\,kallas \mbox{Span}\{\mathbf a_1,\,\mathbf a_2,\,\ldots,\,\mathbf a_n\} för matrisen A:s kolonnrum (eng. colum space) och betecknas \mbox{Col} \,A\,.
% Mängden av lösningar till A\mathbf x=\mathbf b\, där \mathbf b\not=\mathbf 0\, är inte ett delrum, eftersom t.ex  \mathbf 0\, inte är en lösning. Inte heller summan av två lösningar, eller en lösning multiplicerad med en skalär \not=1 är då en lösning.
% Ett minimalt exempel på delrum till \mathbb R^n\, är delmängden \{\mathbf 0\}\, som bara består av nollvektorn. Eftersom det delrummet (som kallas det triviala delrummet (eng. zero subspace) till \mathbb R^n\,) är så urartat måste man ibland göra undantag för det i definitioner och satser.
%
%% 33.2   Bas för ett delrum till \mathbb R^n
%
% Definition:   En uppsättnig vektorer \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\,i ett delrum H\, är en bas för H\, om
%     (a)   vektorerna är linjärt oberoende,
%     (b)   H=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\,.
% Att vektorerna är linjärt oberoende betyder att ingen av vektorerna i \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\, är överflödig (en linjärkombination av övriga). Det kan avgöras genom att visa att ekvationen
% V\mathbf x=
% \left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_p
% \end{array}\right)\mathbf x =\mathbf 0\,
% bara har den triviala lösningen. Att H=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\, betyder att varje vektor i H\, är en linjärkombination av vektorerna \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\,.
% Det triviala delrummet \{\mathbf 0 \} har ingen bas eftersom det inte finns nån uppsättning av linjärt oberoende vektorer i det.
% I avnitt 30.7 har du sett hur man operativt avgör om \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\in\mathbb R^n\, är linjärt oberoende :
% Metod:
% Sätt  V =
% \left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_p
% \end{array}\right)\,,
% Överför  V till RTF (eller TF),
% Avgör om varje kolonn är pivotkolonn eller ej
% Om "ja" är vektorerna linjärt oberoende, annars är de linjärt beroende.
% Eftersom V\, har n rader och pivotpositionen i olika pivotkolonner står på olika rader följder det att
% Sats   Om \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\in\mathbb R^n\, är linjärt oberoende gäller att p\leq n\,. Om p>n\, är vektorerna linjärt beroende.
% Maximala antalet vektorer i en uppsättning linjärt oberoende vektorer i \mathbb R^n\, är alltså n\,. Uppsättningen \mathbf e_1,\, \mathbf e_2,\,\ldots,\,\mathbf e_n\, är linjärt oberoende eftersom V då är I_n\, där varje kolonn är pivotkolonn.
% Du har tidigare i 30.5 och  30.7  sett hur du kan hitta en bas för lösningsrummet till ekvationen A\mathbf x =\mathbf 0\,, dvs till \mbox{Null}\,A\, (när ekvationen har lösningar \not=\mathbf 0\,).
% Metod:   (För att bestämma en bas för \mbox{Null}\,A\,)
% Överför  A  till  U  på RTF,
% välj en icke-piovtkolonn i  U och skriv  -1  ovan för den och  0  ovanför övriga såna kolonnner.
% Fyll på den extra raden med de element som står i den valda icke-pivotkolonnen,
% Avläs en radvektor vars transponant är en av de önskade vektorerna (översta raden)
% Gör detta för varje icke-pivotkolonn i  U\,.
% Alternativt (vid handräkning) kan du överföra A\, till U\, på TF med radoperationer och bestämma allmänna lösningen \mathbf x_h\, till U\mathbf x=\mathbf 0\, genom att lösa ut basvariabler med hjälp av fria och skriva \mathbf x_h som en linjärkombination av vissa vektorer där de fria variablerna agerar vikter.
% I 30.7 såg du också hur du kan gallra i en uppsättning vektorer \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\in\mathbb R^n\,till en uppsättning som är linjärt oberoende och har samma linjära hölje som de givna vektorerna:
% Metod:   (För att gallra i  \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\in\mathbb R^n\, till en linjärt oberoende vektorer med samma linjära hölje som de givna)
% Sätt V=\left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_p
% \end{array}\right)\,och överför V\, till U\, på trappstegsform.
% Avläs vilka kolonner i V\, som är pivotkolonner (samma som i U\,).
% Pivotkolonnerna i V\, är linjärt oberoende och har samma linjära hölje som de givna vektorerna.
% Eftersom \mbox{Col}\,A\,är samma som som linjära höljet till A:s kolonner ( \mbox{Col}\,A=\mbox{Span}\{\mathbf a_1,\,\mathbf a_2,\,\ldots,\, \mathbf a_n\}\,där A=\left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf a_1 & \mathbf a_2 & \ldots & \mathbf a_n
% \end{array}\right)\,) ger detta (när A\, inte är nollmatrisen):
% Metod:   (För att bestämma en bas för \mbox{Col}\,A\,)
% Pivotkolonnerna i A\, är en bas för \mbox{Col}\,A\,.
%
% Testa nu att bestämma en bas för \mbox{Null}\,A\, och \mbox{Col}\, A\, när
% A =\left(\begin{array}{rrrrrr}
%     -3  & -15 &  8 &  41 & -2 & -40\\
%      6  &  30 & -4 & -34 &  1 &  38\\
%      2  &  10 &  5 &  14 & -8 & -23\\
%      1  &   5 &  5 &  17 & -8 & -27
% \end{array}\right)\,.



%
% Okej, \mbox{Null}A\, och \mbox{Col}\,A\, har tydligen alltid en bas (när de inte är det triviala delrummet \{\mathbf 0\}), men ett allmänt delrum H\not=\{\mathbf 0\}\, till \mathbb R^n\, då? Minns att om \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots ,\,\mathbf v_k\, är vektorer i delrummet H, så gäller att \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots ,\,\mathbf v_k\}\subseteq H\,.
% Anta att H\not=\{\mathbf 0\}\, och välj en nollskild vektor \mathbf v_1\in H\,, \mathbf v_1 \not=\mathbf 0\,. Två fall kan nu inträffa
%     (a)   Linjära höljet till \mathbf v_1\, är hela H\,,\mbox{Span}\{\mathbf v_1\}= H\,, dvs varje vektor i H\, är en skalärmultipel av \mathbf v_1\,, eller
%     (b)   Linjära höljet till \mathbf v_1\,är inte hela H\,, \mbox{Span}\{\mathbf v_1\} \subset H\,.
% I fall (a) är \mathbf v_1\, en bas för H\,. Om fall (b) inträffar välj en vektor \mathbf v_2\in H som inte ligger i \mbox{Span}\{\mathbf v_1\}\,. Då är \mathbf v_1,\, \mathbf v_2\, linjärt oberoende och \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\} innehållet i H\,, \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\}\subseteq H\,.
% Proceduren kan nu upprepas med \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\, i stället för \mathbf v_1\,: om \mbox{Span}\{\mathbf v_,\,\mathbf v_2\}=H\, så är \{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\}\, en bas för H\,, annars hittar du \mathbf v_3\in H\,så att \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\mathbf v_3\, är linjärt oberoende, också vidare. Proceduren måste landa i (a) efter högst n steg, eftersom H \subseteq \mathbb R^n\, och det högst kan finnas n stycken linjärt oberoende vektorer i \mathbb R^n\,. Alltså gäller
% Sats   Varje delrum till \mathbb R^n som inte är \{\mathbf 0\} (det triviala delrummet) har en bas.
% Det betyder att varje delrum \not=\{\mathbf 0\}\,till \mathbb R^n\, är av typen
% H=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\, \ldots \, ,\mathbf v_p\}\,
% för nåt val av (linjärt oberoende) vektorer \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p i H\,. Du kanske undrar varför man då överhuvudtaget införde det generella begreppet delrum. Grejen är att det är lättare att speca ett delrum på annat sätt (t.ex som \mbox{Col}\,A\, eller \mbox{Null}\,A) än att hitta en bas för det. Varje delrum (utom det triviala delrummet) har dessutom flera (oändligt många)  olika baser.
% Anta att du och en kompis bestämt vektorer som spänner ut ett givet delrum H\, (vi struntar i om de är linjärt oberoende eller inte). Du har fått
% H=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\}\,
% men kompisen har fått
% H=\mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,
% Hur avgör du om
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\}=\mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,?
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
% Om
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\}\subseteq \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,
% så gäller att varje vektor \mathbf v_i ligger i \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\, och är därför en linjärkombination av vektorerna \mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\,,
% Om å andra sidan varje vektor \mathbf v_i är en linjär kombination av vektorerna \mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\,, ligger varje vektor \mathbf v_i\,  i \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,. Då vet du att
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\}\subseteq \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,,
% eftersom \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\, är ett delrum.
% Jaha, tydligen gäller att
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\}\subseteq \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,
% precis när varje \mathbf v_i är en linjärkombination av vektorerna \mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\,.
% Men det inträffar precis när ekvationerna W\mathbf x = \mathbf v_i  har en lösning för varje i\,, där W\, är matrisen med \mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\, som kolonner. Sätt V\, till motsvarande matris med vektorerna \mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\,som kolonner.  Då är varje ekvation W\mathbf x = \mathbf v_i lösbar precis när alla pivotkolonner i matrisen $\left( \begin{array}{ccc}
% W &\! | \!& V
% \end{array}\right)\, bara finns i den del som till hör W\,.
% Det ger dig följande operativa kriterium
% Sats   Det gäller att
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\}\subseteq \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,
% precis när den del av matrisen $\left( \begin{array}{ccc}
% W &\! | \!& V
% \end{array}\right)\, saknar pivotkolonner i den del som tillhör V\,, där W\, är matrisen med  \mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\, som kolonner och \mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\,är kolonnerna i V\,.
% Genom att byta plats på W\, och V\, har du därför
% Sats   Det gäller att
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\}= \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,
% precis när matriserna $\left( \begin{array}{ccc}
% W &\! | \!& V
% \end{array}\right)\, och $\left( \begin{array}{ccc}
% V &\! | \!& W
% \end{array}\right)\, saknar pivotkolonner i den högra delen.
%
% Uppgift 33.1   Avgör om
% \mbox{Span}\,\mathcal S\subset\mbox{Span}\,\mathcal T,\, \mbox{Span}\,\mathcal S\supset\mbox{Span}\,\mathcal T, \mbox{Span}\,\mathcal S=\mbox{Span}\,\mathcal T, eller ingetdera när \mathcal S\, och \mathcal T är kolonnerna i matriserna
% (a)    S=\left(\begin{array}{r}
% 1 & -6\\
% -1 & 6\\
% -9 & -4\\
% -3 & 1
%  \end{array}\right)\,
% \quad
% T=  \left(\begin{array}{cr}
% -23 & -22 & -20\\
% 23 & 22 & 20\\
% -25 & -34 & -52\\
% 1 & -2 & -8
% \end{array}\right)
%
% (b)   S = \left(\begin{array}{rrr}
% 3 & -1 & -2\\
% -1 & 7 & 3\\
% 0 & 4 & -1\\
% 8 & 9 & 9
% \end{array}\right)\,,\quad
% T=\left(\begin{array}{r}
% -1 & -1 & 2\\
% 4 & 1 & 5\\
% 4 & 0 & 0\\
% 5 & 4 & 0
% \end{array}\right)\,.
%
% (c)  S =  \left(\begin{array}{rrr}
% 6 & 4 & 5\\
% 0 & 3 & 8\\
% -2 & 8 & 7\\
% 6 & 5 & 4
% \end{array}\right)\,,\quad
% T= \left(\begin{array}{rrr}
% 25 & 2 & -6\\
% 40 & 6 & -18\\
% 35 & 18 & -54\\
% 20 & 4 & -12
% \end{array}\right)\,.
%
% Lösning



%
%% 33.3   Dimension av delrum och rang till matris
%
% Anta nu att
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\}= \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,
% och att dessutom p>q\,. Det betyder att \mathbf v_i=W\mathbf c_i för nån kolonn av vikter \mathbf c_i för varje i\,. Om C=\left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf c_1 & \mathbf c_2 & \ldots & \mathbf c_p
% \end{array}\right)\,gäller därför att V=WC\,.Matrisen C, har q\, rader och p kolonner där p>q\,. Det betyder att nån kolonn i C\, inte är pivotkolonn, så C\mathbf u=\mathbf 0\, för nån vektor \mathbf u\not=\mathbf 0\,. Det ger att även  V\mathbf u=WC\mathbf u=\mathbf 0\,, så kolonnerna i V\,är då linjärt beroende.
% Om därför \mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\, och \mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\, båda är linjärt oberoende så måste p=q\,. Detta ger dig
% Sats
%     (a)   Alla baser för ett delrum H\, till \mathbb R^n innehåller samma antal vektorer.
%     (b)   Om H har en bas bestående av p vektorer och \mathbf w_1,\,\mathbf w_2,\,\ldots,\,\mathbf w_p spänner ut H\, så är de linjärt oberoende, och därför en bas för H\,.
%     (c)   Om H\, har en bas bestående av p\, vektorer och \mathbf w_1,\,\mathbf w_2,\,\ldots,\,\mathbf w_p är linjärt oberoende vektorer i H\, så spänner de ut H\, och är därför en bas för H\,.
% Eftersom varje delrum H\not=\{\mathbf 0\}\, har en bas och alla såna har samma antal vektorer kan du nu definierar dimensionen, \mbox{dim}\,H\,, av H som antalet vektorer i en bas (vilken som helst) för H\,.
% Definition   Dimensionen, \mbox{dim}\,H\,, av delrummet H\not=\{\mathbf 0\}\, till \mathbb R^n definieras som antalet vektorer i en bas för H\,. Dimensionen av det triviala delrummet \{\mathbf 0\}\, sätts till 0\,.
% Dimensionen av H\, är minimala antalet vektorer i H\, som spänner ut H\,, men också största antalet vektorer i en uppsättning linjärt oberoende såna.
% Du vet redan hur du ska bestämma en bas för \mbox{Col}\,A\, och \mbox{Null}\,A när A är en m\times n matris. Det ger dig
% \mbox{dim}\,\mbox{Col}\,A= antalet pivotkolonner i A\,
% och
% \mbox{dim}\,\mbox{Null}\,A\, = antalet kolonner som inte är pivotkolonner.
% Du har därför den så kallade rangsatsen (eng. rank theorem):
% Sats   För en matris A\,med n\, kolonner gäller att
% \mbox{dim}\,\mbox{Col}\,A+ \mbox{dim}\,\mbox{Null}\,A=n\,.$
% Anledningnen till satsen namn är:
% Defintion   För en matris A\, definieras rangen (eng. rank) som dimensionen av matrisens kolonnrum \mbox{Col}\,A\,:
% \mbox{rank}\,A=\mbox{dim}\,\mbox{Col}\,A\,.
% Alternativt är rangen av A\, antalet pivotkolonner i A\,. När A\, är en m\times n-matris och
% \mbox{rank}\,A=m\,
% säger man att A\, har full rang. Det inträffar precis när varje rad i A\, har en pivotposition.
% Matlab har en effektiv algoritm för att att beräkna rangen av en matris A\, med kommandot
% rank( A )
% Ett sätt att avgöra antalet pivotkolonner iA\, är ju att överföra den till (R)TF, men som du sett har Matlab problem med precisionen med radoperationer när A överförs till RTF med  rref . Ett bättre sätt är därför att istället beräkna matrisens rang med  rank . Rangsatsen ger dig ett sätt att bestämma dimensionen av både kolonnrummet och nollrummet till A\, med detta kommando.
% Kolonnerna i en m\times n-matris är linjärt oberoende precis när alla kolonner är pivotkolonner. Bästa sättet att avöra det med Matlab är att avgöra om
% rank( A ) = n
% Sats   En kvadratisk matris är inverterbar precis när den har full rang.
% Använd därför alltid (från nu) kommandot  rank  i Matlab (snare än  rref ) för att kolla om en matris är inverterbar eller ej, eller för att avgöra om en uppsättning vektorer \mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\,\ldots,\, \mathbf v_p i \mathbb R^m är linjärt oberoende eller ej.
%
% Uppgift 33.2   Bestäm dimensionen av kolonrummet och nollrummet till matrisen
% A=   \left(\begin{array}{rrrrrrr}
% -7 & -7 & -26 & 6 & -43 & -16 & -4\\
% -14 & 1 & -1 & 0 & 4 & 1 & 7\\
% -4 & 9 & 1 & -2 & 2 & -1 & 13\\
% 1 & 8 & -15 & 1 & -29 & -13 & 11
% \end{array}\right)\,.
% Lösning



%
% Uppgfit 33.3   Avgör om matrisen är inverterbar eller ej när
% A =  \left(\begin{array}{rrrr}
% -7 & -7 & -26 & 6\\
% -14 & 1 & -1 & 0\\
% -4 & 9 & 1 & -2\\
% 1 & 8 & -15 & 1
% \end{array}\right)\,,\quad
%    B =\left(\begin{array}{rrrr}
% 2 & -2 & 2 & 3\\
% -33 & -4 & 17 & -18\\
% -13 & 5 & 7 & -9\\
% -13 & -10 & -7 & -7
% \end{array}\right)\,.
%
% Lösning



%
% Uppgift 33.4  Sätt \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,\mathbf v_3,\,\mathbf v_4,\,\mathbf v_5,\,\mathbf v _6\, till kolonnerna i matrisen
% V=  \left(\begin{array}{rrrr}
% 2 & 10 & -1 & -10 & 2 & 16\\
% 2 & 10 & 1 & -2 & 0 & 7\\
% 1 & 5 & 0 & -3 & 2 & 10\\
% -1 & -5 & 2 & 11 & 2 & -5
% \end{array}\right)\,.
% (a)   Avgör om \mathbf v_1,\,\mathbf v_4,\,\mathbf v_5 är linjärt oberoende.



% (b)   Avgör om  \mathbf v_1,\,\mathbf v_3,\mathbf v_4,\,\mathbf v_5 är en bas för \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,\mathbf v_3,\,\mathbf v_4,\,\mathbf v_5,\,\mathbf v _6\,\}\,.



% (c)   Avgör om  \mathbf v_2,\,\mathbf v_4,\mathbf v_5,\,\mathbf v_6 är en bas för \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,\mathbf v_3,\,\mathbf v_4,\,\mathbf v_5,\,\mathbf v _6\,\}\,.



% (d)   Stämmer det att \mathbf v_3\in\mbox{Span}\{\mathbf v_2,\mathbf v_4,\,\mathbf v_6\}\,?



%
% Kommandot  rank  är tydligen kalas. Anta nu att du har vektorer
% \mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\, med H=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\}
% respektive
% \mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\, med G=\mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,
% i \mathbb R^n\,. Kan du anväda  rank  för att avgöra om G\subset H,\, H\subset G,\,H=G eller ingetdera? Ja, faktiskt!
% Sätt
% K=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p,\,\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,.
% Då gäller att G\subseteq K och
% \mbox{dim}\,G\leq \mbox{dim}\,K.
% Delrummet G är =K när de har samma dimension. Det inträffar precis när \mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\,ligger i G,\, dvs när H\subseteq G\,.
% Metod (för att avgöra om \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\}\subseteq\mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,)
% Sätt V=\left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf v_1 & \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p
% \end{array}\right)\,och W=\left(\begin{array}{rrrr}
% \mathbf w_1 & \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q
% \end{array}\right)\,.
% Då gäller att \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\, \ldots,\,\mathbf v_p\}\subseteq\mbox{Span}\{\mathbf w_1,\, \mathbf w_2,\, \ldots,\,\mathbf w_q\}\,precis när \mbox{rank}\,W=\mbox{rank}\, \left(\begin{array}{c}  W | V)\end{array}\right)\.
% Uppgift 33.5   Avgör om
% \mbox{Span}\,\mathcal S\subset\mbox{Span}\,\mathcal T,\, \mbox{Span}\,\mathcal S\supset\mbox{Span}\,\mathcal T, \mbox{Span}\,\mathcal S=\mbox{Span}\,\mathcal T, eller ingetdera när \mathcal S\, och \mathcal T är kolonnerna i matriserna
% (a)    S=\left(\begin{array}{r}
% 1 & -6\\
% -1 & 6\\
% -9 & -4\\
% -3 & 1
%  \end{array}\right)\,
% \quad
% T=  \left(\begin{array}{cr}
% -23 & -22 & -20\\
% 23 & 22 & 20\\
% -25 & -34 & -52\\
% 1 & -2 & -8
% \end{array}\right)
%
% (b)   S = \left(\begin{array}{rrr}
% 3 & -1 & -2\\
% -1 & 7 & 3\\
% 0 & 4 & -1\\
% 8 & 9 & 9
% \end{array}\right)\,,\quad
% T=\left(\begin{array}{r}
% -1 & -1 & 2\\
% 4 & 1 & 5\\
% 4 & 0 & 0\\
% 5 & 4 & 0
% \end{array}\right)\,.
%
% (c)  S =  \left(\begin{array}{rrr}
% 6 & 4 & 5\\
% 0 & 3 & 8\\
% -2 & 8 & 7\\
% 6 & 5 & 4
% \end{array}\right)\,,\quad
% T= \left(\begin{array}{rrr}
% 25 & 2 & -6\\
% 40 & 6 & -18\\
% 35 & 18 & -54\\
% 20 & 4 & -12
% \end{array}\right)\,.
%
% Lösning



%
%
%
%