%% 37   Baser i vektorrum
% Innehåll
% 37.1   Linjärt oberoende vektorer
% 37.2   Dimension av vektorrum
% 37.3   Bas för ett ändligtdimensionellt vektorrum
%% 37.1   Linjärt oberoende vektorer
%
% Definition   En uppsättning vektorer \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\, i ett vektorrum V\, är linjärt oberoende om enda sättet att skriva \mathbf 0 som en linjärkombination av dem är att välja alla vikter till 0\,. Det är samma som att enda lösningen till
% c_1\,\mathbf v_1 + c_2\,\mathbf v_2 + \ldots + c_p\,\mathbf v_p = \mathbf 0
% är c_1=c_2=\cdots=c_p=0. Om vektorerna inte är linjärt oberoende så är de linjärt beroende.
% Om \mathbf v\in V inte är nollvektorn \mathbf 0\, så är uppsättningen \mathbf v (som alltså bara består av en vektor)  linjärt oberoende eftersom
% c\,\mathbf v=\mathbf 0
% ger att c=0\,. Det triviala vektorrummet \{\mathbf 0\} saknar uppsättning av linjärt oberoende vektorer och är alltså det enda med den egenskapen.
% Om (minst) en av vektorerna \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,\ldots,\,\mathbf v_p\,är nollvektorn, så är de linjärt beroende, eftersom du kan välja vikten 1\, på den och 0\, på övriga och få nollvektorn som resultat.
%
% Uppgift  37.1   Avgör om  t-2, \, (t-2)(t^2+1)\,, (t^2+1)^2\in C(\mathbb R)\, är linjärt oberoende eller linjärt beroende.
% Lösning   Det gäller alltså av avgöra om det finns vikter c_1,\,c_2,\,c_3 som inte alla är 0\,, så att
% c_1\,(t-2)+c_2\,(t-2)(t^2+1) + c_3\,(t^2+1)^2 =0\,
% eller ej. Det är tre obekanta vikter. Genom att sätta t\, till tre olika värden får du tre ekvationer. Om det ekvationssystemet bara har den  triviala lösningen (alla vikter =0\,) är polynomen linjärt oberoende. Annars kan du plotta vänstra ledet med de vikter du får och kolla om det verkar sannolikt att vänstra ledet då blir den konstanta funktionen 0. Om inte, är de linjärt oberoende: andra val av tre värden på t\, ger då ett ekvationssystem som bara har den triviala lösningen.



%
% Metod   För att avgöra om funktionerna f_1(t),\, f_2(t),\, \ldots,\, f_n(t)\, i C(I)\, är linjärt oberoende eller ej:
% Välj n\, punkter t_1,\, t_2,\, \ldots,\, t_n i intervallet I\,.
% Om   c_1\, f_1(t) + c_2\,f_2(t) +\cdots+c_n\,f_n(t)=0\, (för alla värden på t) är
% \left(\begin{array}{rrrr}
% f_1(t_1) & f_2(t_1) & \ldots & f_n(t_1) \\
% f_1(t_2) & f_2(t_2) & \ldots & f_n(t_2) \\
% \vdots & & &\vdots\\
% f_1(t_n) & f_2(t_n) & \ldots & f_n(t_n)
%  \end{array}\right)
% \left(\begin{array}{r} c_1 \\c_2\\ \vdots\\ c_n\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}\right)\,.\qquad(1)
% Sätt
%             F=\left(\begin{array}{rrrr}
% f_1(t_1) & f_2(t_1) & \ldots & f_n(t_1) \\
% f_1(t_2) & f_2(t_2) & \ldots & f_n(t_2) \\
% \vdots & & &\vdots\\
% f_1(t_n) & f_2(t_n) & \ldots & f_n(t_n)
%  \end{array}\right)\,.
% Om F har rang n är funktionerna linjärt oberoende.
% Om F\, har rang <n kan det bero på att funktionerna är linjärt beroende, men också på att ett annat val av n punkter skulle gett en matris med rang n. Ett sätt att avgöra detta är att bestämma en icke-trivial lösning till (1) och plotta den linjärkombination av f_1(t),\, f_2(t),\, \ldots,\, f_n(t)\, som den ger. Är grafen till den konstant 0 är funktionerna högst sannolikt linjärt beroende, annars linjärt oberoende.
% Uppgift 37.2    Avgör om funktionerna \cos x,\, \cos 3x,\,\cos^3 x i C([0, \pi])\, är linjärt oberoende eller linjärt beroende.



%
% Sats   Vektorerna \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\, i ett vektorrum V\,är linjärt beroende precis när (minst) en av dem en linjärkombination av övriga.
% Om de är linjärt beroende, så finns ju vikter c_1,\,c_2,\,\ldots,\,c_p\, som inte alla är 0,\, så att
% c_1\,\mathbf v_1 + c_2\,\mathbf v_2 + \cdots + c_p\,\mathbf v_p = \mathbf 0\,.
% Säg nu att c_i\not=0. Då gäller att
% \mathbf v_i = -(c_1/c_i)\, \mathbf v_1-\cdots- (c_{i-1}/c_i)\, \mathbf v_{i-1}-(c_{i+1}/c_i)\, \mathbf v_{i+1}-\cdots - (c_{p}/c_i)\,\mathbf v_p\,,
% så att \mathbf v_i\, är en linjärkombination av övriga.
% Om å andra sidan, \mathbf v_i\, är en linjärkombination av övriga, så finns vikter a_1\,,\ldots,\, a_{i-1},\,a_{i+1},\,\ldots,\, a_p\, så att
% \mathbf v_i = a_1\,\mathbf v_1 +\cdots+ a_{i-1}\,\mathbf v_{i-1}+a_{i+1}\,\mathbf v_{i+1} +\cdots+ a_{p}\,\mathbf v_{p}\,
% så att
%  a_1\,\mathbf v_1 +\cdots+ a_{i-1}\,\mathbf v_{i-1}-\mathbf v_i +a_{i+1}\,\mathbf v_{i+1} +\cdots+ a_{p}\,\mathbf v_{p}=\mathbf 0
% där vikterna inte alla är 0\,eftersom vikten för \mathbf v_i\,är -1\,.
% Sats   Vektorerna \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,\ldots,\,\mathbf v_p\, i ett vektorrum V\,är linjärt beroende precis när
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\ldots \mathbf v_{i-1},\, \mathbf v_{i+1},\,\ldots,\,\mathbf v_p\}
% =
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,,\ldots,\,\mathbf v_p\}
% för nåt i,\, 1\leq i\leq p\,.
% Här har du att delrummet till vänster alltid är innehållet i det till höger, eftersom vektorerna som spänner delrummet till vänster alla finns i det till höger.
% Om \mathbf v_i är en linjärkombination av övriga så ligger alla vektorer som spänner delrummet till höger i delrummet till vänster och är därför ett delrum till det till vänster. Därför är delrummen lika.
% Om, å andra sidan, delrummen är lika ligger \mathbf v_i\, även i delrummet  till vänster och är därför en linjärkombination av de som spänner det.
%
%% 37.2   Dimension av vektorrum
%
% Definition   Om det i vektorrummet V\, finns uppsättningar av linjärt oberoende vektorer med godtyckligt många vektorer, så är har V\, oändlig dimension , \mbox{dim}\,V=\infty\,.
% Annars har V\, ändlig dimension och dimensionen av V\,,\mbox{dim}\,V,\, är maximala antalet vektorer i en uppsättning linjärt oberoende vektorer i V\,.
% Ett vektorrum V\, har alltså  \mbox{dim}\,V=n, när det finns en uppsättning av n\, vektorer i V\, som är linjärt oberoende, men varje uppsättning av fler än n\, vektorer i V\, är linjärt beroende.
% Det trivial vektorrummet \{\mathbf 0\}\,är det enda som saknar en uppsättning linjärt oberoende vektorer. Det är därför det enda vektorrum som har dimension 0.
% När \mathbf v är en nollskild vektor i ett vektorrum gäller att
% \mbox{dim}\,\mbox{Span}\{\mathbf v\}=1
% för om \mathbf v_1=c\,\mathbf v och \mathbf v_2=d\,\mathbf v är \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\, linjärt beroende om nån av dem är nollvektorn. Annars är c,\,d\not =0\, och d\,\mathbf v_1+(-c)\,\mathbf v_2 = \mathbf 0\,, så att \mathbf v_1,\,\mathbf v_2 är linjärt beroende. Varje uppsättning med fler än én vektor är därför linjärt beroende.
% Sats   När H\, är ett delrum  till ett vektorrrum V\, av ändlig dimension, så har H\, också ändlig dimension och \mbox{dim}\,H\leq \mbox{dim}\,V\,.
% För om V\, har dimension n och  \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\, är linjärt oberoende vektorer i H, så är de också linjärt oberoende vektorer i V\,, så att p\leq n,\,
% Om \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\,är vektorer i ett vektorrum V\, är du nu förstås sugen på att veta vad dimensionen av delrummet \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\,kan vara.
% Sats     Om \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\, är linjärt oberoende vektorer i V\, så är varje uppsättning av fler än p\, vektorer i \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\}\,linjärt beroende.
% Ta q>p\, vektorer \mathbf w_1,\,\mathbf w_2,\,\ldots,\,\mathbf w_q\, i H=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\},\, Då gäller
% \begin{array}{rcrcrcccr}
% \mathbf w_1 &=& a_{11}\,\mathbf v_1 &+&
%  a_{21}\,\mathbf v_2 &+&  \cdots & + &
%  a_{p1}\,\mathbf v_p\\
% \mathbf w_2 &=& a_{12}\,\mathbf v_1 &+&
%  a_{22}\,\mathbf v_2 &+&  \cdots & + &
%  a_{p2}\,\mathbf v_p\\
% \vdots & = & &  & &  & \vdots & & \\
% \mathbf w_q &=& a_{1q}\,\mathbf v_1 &+&
%  a_{2q}\,\mathbf v_2 &+&  \cdots & + &
%  a_{pq}\,\mathbf v_p\\
% \end{array}
% för några skalärer a_{ij},\,1\leq i\leq p,\, 1\leq j\leq q\,. Ekvationen
% c_1 \mathbf w_1+c_2\,\mathbf w_2+\cdots+c_q\,\mathbf w_q=\mathbf 0\,\qquad(2)
% kan nu skrivas med vektorerna \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\, och vikten för \mathbf v_i blir då
% d_i= a_{i1}\,c_1 + a_{i2}\,c_2+\cdots+a_{iq}\,c_q\,.
% Ekvationen (2)\, blir då
% d_1 \mathbf v_1+d_2\,\mathbf v_2+\cdots+d_q\,\mathbf v_p=\mathbf 0\,\qquad(3)
% Sätt, för att få system i detta,
% A=
% \left(\begin{array}{rrrr}
% a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1q} \\
% a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2q} \\
%  \vdots &   & & \vdots\\
% a_{p1} & a_{p2} & \ldots & a_{pq} \\
% \end{array}\right)\,\quad\mbox{ och } \quad
% \mathbf c = \left(\begin{array}{cccc}
% c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_q
% \end{array}\right)\,.
% Det betyder att
% \left(\begin{array}{r}
% d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_n
% \end{array}\right)=
% \left(\begin{array}{rrrr}
% a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1q} \\
% a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2q} \\
%  \vdots &   & & \vdots\\
% a_{p1} & a_{p2} & \ldots & a_{pq} \\
% \end{array}\right)\,\ \left(\begin{array}{cccc}
% c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_q
% \end{array}\right)\,=A\mathbf c\,.
% Eftersom \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\,är linjärt oberoende är enda lösningen till (3)\, att d_1= d_2=\cdots=d_p=0.\, Det betyder att en lösning c_1,\,c_2,\,\ldots,\, c_q till (2)\, är det samma som en lösning till
% A\mathbf c = \mathbf 0.
% Här har A\, en p\times q-matris. Eftersom p<q finns därför en lösning \mathbf c\not=\mathbf 0.\, Det betyder att vektorerna \mathbf w_1,\,\mathbf w_2,\,\ldots,\,\mathbf w_q\, är linjärt beroende.
% En flöjd av detta är
% Sats    Om \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\, är linjärt oberoende vektorer i V\, så gäller att
% \mbox{dim}\,\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\}=p\,.
% Okej, men om vektorerna \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\, är linjärt beroende då? Vilken dimension har linjära höljet till dem då? Du vet att du då kan stryka nån vektor, säg \mathbf v_i,\, så att de som är kvar har samma linjära hölje
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\ldots \mathbf v_{i-1},\, \mathbf v_{i+1},\,\ldots,\,\mathbf v_p\}
% =
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,,\ldots,\,\mathbf v_p\}\,.
% Så länge de vektorer som är kvar är linjärt beroende kan du fortsätta stryka vektorer. När de du har kvar är linjärt oberoende är det stopp: stryker du då en får du ett annat (mindre) linjärt hölje. Detta ger dig
% Sats   Om H=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\,, så är \mbox{dim}\,\mbox{Span}\,H största antalet linjärt oberende vektorer bland \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\,.
% Uppgift 37.3   Bestäm dimensionen av delrummet H=\mbox{Span}\{t^{11}+1,\,t^{11}+3,t^{11}+t^9,\, t^9-2\}\, till C(\mathbb R)\,.
% Lösning   Du kollar först om funktionerna är linjärt oberoende eller ej. Om du väljer fyra olika värden på t\, kan du sätta de fyra funktionernas värden i dessa i fyra kolonner. Du får då en 4\times 4-matris. Om den har rang 4 är de linjärt oberoende. Annars kan de vara linjärt beroende. Det kan du kolla med hög sanolikhet genom att plotta.



%
% Anta nu att vektorrummet V\, har dimension n,\, och att de n\, vektorerna  \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_n\, i V\, är linjärt oberoende. Tar du då en vektor \mathbf v \in V  så blir \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_n,\,\mathbf v\, linjärt beroende. Det betyder att det finns  skalärer c_1,\,c_2,\,\ldots,\, c_n,\,c\, som inte alla är 0\,, så att
%  c_1\,\mathbf v_1+c_2\,\mathbf v_2 +\cdots+c_n\,\mathbf v_n+ c\,\mathbf v= \mathbf 0\,.
% Här kan inte c\, vara 0\,, för då skulle \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_n\, vara linjärt beroende och det stämmer inte. Alltså gäller
% \mathbf v = -(c_1/c)\mathbf v_1 -(c_2/c)\mathbf v_1 +\cdots + -(c_n/c)\mathbf v_n \,,
% Det betyder att \mathbf v\in \mbox{Span}\,\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_n\}\,. Eftersom \mathbf v\in Vär godtyckligt gäller
% Sats   Om V\, har dimension n\, och \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_n\, är linjärt oberoende vektorer i V\, så är
% V=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_n\}\,.
% Eftersom det alltid finns n\, linjärt oberoende vektorer i ett vektorrrum av dimension n\, är varje sånt linjära höljet till n\, vektorer. Satsen innebär dessutom att om du hittar n\, linjärt oberoende vektorer i V\,så är V\, linjära höljet till dem.
% Uppgift 37.4   Du vet att delrummet H\, till C(\mathbb R) har dimension 4\, och innehåller funktionerna 1,\, \sin 2x,\, \sin^2 4x samt \sin^4 6x\,. Stämmer det de spänner ut H?
% Lösning   Om funktonerna är linjärt oberoende stämmer det. Annars har de linjära höljet av dem dimension < 4 och då stämmer det inte.



% Anta nu att du på nåt sätt hittat n vektorer \mathbf w_1,\,\mathbf w_2,\,\ldots,\,\mathbf w_n\, i ett vektorrum V\, som du redan vet har dimension n\, och att V=\mbox{Span}\{\mathbf w_1,\,\mathbf w_2,\,\ldots,\,\mathbf w_n \}\,. Då måste de vara linjärt oberoende! Annars skulle du kunna strycka nån av dem och ändå få samma linjära hölje. Det skulle betyda att V:s dimension var <n och det stämmer inte:
% Sats   Om V har dimension n\, och \mathbf w_1,\,\mathbf w_2,\,\ldots,\,\mathbf w_n\, är vektorer som spänner ut  V\,, så är de (automatiskt) linjärt oberoende.
%
%% 37.3   Bas för ett ändligtdimensionellt vektorrum
%
% Definition   Om \mathcal B:\,\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_n\, är en uppsättning vektorer i ett vektorrum V\, som är
%     (a)   linjärt oberoende,
%     (b)   spänner ut V\, (så att V=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_n\})
% så kallas uppstättningen \mathcal B\, för en bas för V\,.
% Du vet att varje (ändligtdimensionellt)  vektorrum V av dimension n\, har en bas. Hittar du n\, vektorer i V\, som är linjärt oberoende, så utgör de en bas. Om du hittar n\, vektorer i V\, som spänner ut V\, så är de också en bas.
% Sats    Om V\, har dimension n\, så innehåller varje bas för V\, n\, stycken vektorer.
% För om  \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\,  är en bas för V\, gäller
% V = \mbox{Span}\,\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\}\,
% och därför \mbox{dim}\,V = \mbox{dim}\,\mbox{Span}\,\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\}.\, Eftersom \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_p\, är linjärt oberoende ger detta n=p\,.
% Om \mathcal B :\,\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_n\, är en bas för V\, så är varje vektor \mathbf v\in V en linjärkombination av vektorerna i basen:
% \mathbf v =c_1\,\mathbf v_1+c_2\,\mathbf v_2+\cdots+c_n\,\mathbf v_n\,\qquad(4)
% för några vikter c_1,\,c_2\,\ldots\,c_n\,. När \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_n\,är en bas är vikterna entydigt bestämda av \mathbf v,\, för om även
%  \mathbf v =d_1\,\mathbf v_1+d_2\,\mathbf v_2+\cdots+d_n\,\mathbf v_n\,\qquad(5)
% ger subtaktion av (5) från (4) att
% \mathbf 0 =(c_1-d_1)\,\mathbf v_1+(c_2-d_2)\,\mathbf v_2+\cdots+(c_n-d_n)\,\mathbf v_n\,.
% Eftersom \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_n\,  är linjärt oberoende är alla vikter 0\,, vilket ger dig c_1=d_1,\, c_2=d_2,\,\ldots\,,c_n=d_n\,.
% Vikterna  c_1,\,c_2\,\ldots\,c_n\, kallas vektorn \mathbf v:s koordinater med avseende på basen \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,,\ldots,\,\mathbf v_n\,. Sätter du  nu
% [\mathbf v]_{\mathcal B}=\left(\begin{array}{rrrr} c_1\\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{array}\right)\in \mathbb R^n\,.
% så har du det som kallas \mathbf v:s koordinatvektor med avseende på basen \mathcal B\,. Olka baser ger olika koordinatervektorer för samma vektor i V\,.
% Uppgift 37.5   Kolla att 1,\, \cos 2x, \cos 4x,\, \cos 8x\, är linjärt oberoende.
%  Ligger f(x) = 1+ \sin^2 2x+\sin^4 2x i deras linjära hölje?
% Bestäm i så fall koordinaterna för f(x) med avseende på basen \mathcal B:\,1,\, \cos 2x, \cos 4x,\, \cos 8x\, för det linjära höljet \mbox{Span}\{1,\, \cos 2x, \cos 4x,\, \cos 8x\}\,.
% Lösning   Du väljer fyra olika värden på x\, och kollar på matrisen som har de fyra fufnktionernas värde i dessa som kolonner. Har den rang 4 är de linjärt oberoende.



% Nu ska du kolla om f(x)\, är en linjärkombination av vektorerna i basen, dvs kolla om det finns c_1,\, c_2,\, c_3,\,c_4 så att
%  c_1\cdot 1 + c_2\cdot\cos 2x + c_3\cdot\cos 4x + c_4\cos 8x=f(x)\,.
% Du skaffar kandidater för vikterna genom att sätta in fyra olika värden på x\, som ger dig fyra ekvationer. Sen kollar du grafiskt om funktionen i högra ledet är samma funktion som i vänstra ledet.



%
%%