%% 36   Vektorrum
% Innehåll
% 36.1   Definition av vektorrum
% 36.2   Delrum till vektorrum
% 36.3   Linjärkombinationer i vektorrum
%% 36.1   Definition av vektorrum
%
% Säg att du låter M_{2,3}\, beteckna mängden (samlingen) av alla 2\times3-matriser. Om då A\, och B\, är två såna, så att
% A\,,B\in M_{2,3}\,,
%  kan du addera dem till A+B\, som igen ligger i M_{2,3}\,,
% A+B\in M_{2,3}\,,\quad(1)
% dvs är en 2\times 3-matris. Det spelar ingen roll i vilken ordning du addrerar dem, så att
% A+B=B+A\,.\quad (2)
% I M_{2,3}\, har du nollmatrisen 0 (med två rader och tre kolonner av enbart nollor) och för den gäller
% 0+A=A\,\quad (3)
% oavsett vad A är. Om du har en skalär
% c\in\mathbb R\, och A\in M_{2,3}
% får du produkten
% c\,A\in M_{2,3}\,\quad (4)
% genom att muliplicera varje element i A\, med c\,.
% Säg nu att du låter C(I)\, beteckna mängden av alla reellvärda funktioner som är kontinuerliga på intervallet I på tallinjen. Om f\, och g\, är två såna funktioner, så att
% f,\,g\in C(I)\,,
% kan du definiera funktionen f+g\, som i x\in [a,\,b]\, har värdet f(x)+g(x)\,. Eftersom summan av två kontinuerliga funktioner är kontinuerlig gäller att
% f+g\in C(I)\,.\quad (1)
% Det gäller förstås att
% f+g=g+f\,. \quad(2)
% Speciellt har du funktionen 0\in C(I)\, som är konstant 0 på intevallet. Det gäller att
% 0+f = f\,.\quad (3)
% Har du en skalär
% c\in \mathbb R och f\in C(I)\,
% får du funktionen
% c\,f\in C(I)\, \quad(4)
% som i x\in [a,\, b]\, har värdet c\cdot f(x)\,.
% Säg nu att V\, är ett delrum till \mathbb R^n. Du vet då att om
% \mathbf u,\,\mathbf v\in V,\,
%  så gäller att
% \mathbf u +\mathbf v \in V\, \quad (1)
% och att
% \mathbf u +\mathbf v=\mathbf v+\mathbf u\,. \quad (2)
% Eftersom V\, är ett delrum gäller att nollvektorn \mathbf 0\in V\, och att
% \mathbf 0 +\mathbf v = \mathbf v\,.\quad (3)
% När
% c\in\mathbb R\, och \mathbf u\in V\,
% har du att produkten
% c\,\mathbf v\in V, \quad (4)
% eftersom V\, är ett delrum.
% Du har sett flera exempel av varierande art  på följande situation: Du har en mängd V\, och (1) ett sätt att addera två  element \mathbf u\, och \mathbf u i V\, till ett element \mathbf u+\mathbf v i V\, och (4) ett sätt att multiplicera element i \mathbf u\, i V\, med skalärer c\in\mathbb R\, till element c\,\mathbf u i V, så att vissa gemensamma räkneregler gäller.
% När samma kontext dyker upp i olika sammanhang gör man i matematik ofta en "abstrakt" definition som samanfattar det gemensamma. Avsikten med detta är att hantera det gemensamma i det specifika genom att resonera om det generella.
% Definition   Ett vektorrum (eng. vector space) V\, är en mängd med ett sätt att att addera element \mathbf u\, och \mathbf v i V\, till element \mathbf u+\mathbf v i V\,och ett sätt att multiplicera element i \mathbf u\, i V\, med skalärer c\in\mathbb R\, till element c\,\mathbf u i V,så att
%     (a)   \mathbf u +\mathbf v=\mathbf v+\mathbf u\,\quad \mbox{och} \quad
% (\mathbf u +\mathbf v) + \mathbf w =\mathbf u+(\mathbf v+\mathbf w)\,,
%     (b)   det finns ett element \mathbf 0\in V\, så att \mathbf u +\mathbf 0=\mathbf u\,,
%     (c)   för varje \mathbf u\in V\, finns ett -\mathbf u \in V så att \mathbf u + (-\mathbf u) = \mathbf 0\,,
%     (d)   c\,(\mathbf u+\mathbf v) = c\,\mathbf u + c\,\mathbf v\,,\quad (c+d)\mathbf u = c\,\mathbf u + d\, \mathbf u\,,
%             c(d\,\mathbf u) =(cd)\,\mathbf u\,\quad \mbox{och}\quad 1\cdot\mathbf u = \mathbf u\,,
% för alla \mathbf u,\,\mathbf v,\,\mathbf w\in V\, och c,\, d\in \mathbb R. Vilkoret (d) relaterar produkten till additionen genom att speca att ordningnen mellan dem är oväsentlig.
% Exemplen M_{2,3}\,,C(I) och delrum till \mathbb R^n är alla exempel på vektorrum. I fallet M_{2,3} spelar det ingen roll att det är fråga om 2\times 3-matriser. När m och n är fixerade är mängden av M_{m,n}\, av m\times n-matriser också exempel på vektorrum.
% Det formligen myllrar av vektorrum av olika art i matematik och dess tillämpningar, vilket gör det till ett vikigt generellt begrepp att känna till.
% Nu blir det lite förvirrande, men elementen i ett vektorrum V\, kallas vektorer även om det kan vara fråga om matriser eller funktioner i ett konkret exempel. Även om C(I)är ett vektorrum där t.ex. funktionen \cos x\, ingår talar vi förstås normalt inte om den som en vektor, utan som funktionen \cos x.\.
% Från de grundläggande egenskaperna (a) - (d) följer några andra som är viktiga att känna till. Som tur är känns de naturliga:
%     (1)    Du har 0\,\mathbf u= (0+0)\mathbf u=0\,\mathbf u+0\,\mathbf u\,. Addera -(0\mathbf u)\,till båda sidor och du har
% \mathbf 0 = 0\mathbf u\,
% för varje vektor \mathbf u\in V\,.
%     (2)    Du har \mathbf 0 = 0\,\mathbf u= (1 + (-1))\mathbf u= \mathbf u + (-1)\mathbf u\,. Addera -\mathbf u\, till båda sidor och du har
% -\mathbf u = (-1)\mathbf u\,
% för varje vektor \mathbf u\in V\,.
%     (3)   Du har c\,\mathbf 0 =c\,(\mathbf 0+\mathbf 0) = c\,\mathbf 0+c\,\mathbf 0\,. Addera -(c\,\mathbf 0)\, till båda sidor och du har
% \mathbf 0 = c\,\mathbf 0
% för varje skalär c\in \mathbb R\,.
%
%% 36.2   Delrum till vektorrum
%
% Definitionen av delrum till ett (generellt) vektorrum V\, imiterar definitionen av delrum till \mathbb R^n\,, som du sen tidigare är bekant med.
% Definition   Ett delrum (eng. subspace)  till ett vektorrum V\, är en delmängd H\, till V\, så att
%     (a)   \mathbf 0\in H\,,
%     (b)   om \mathbf u,\,\mathbf v\in H\, så gäller att \mathbf u+\mathbf v\in H\, (dvs H\, är sluten under addition).
%     (c)   om c\in\mathbb R\, och \mathbf u\in H\, så gäller att c\,\mathbf u\in H\, (dvs H\, är sluten under multiplikation med skalär).
% Meninigen med (a) är att H\, åtminstonde ska innehålla ett element. Vilkoren garanterar att H\, också är ett vektorrum. Det finns ingen anledning att kräva nåt om regeler för addition och multiplikation med skalär eftersom de redan gäller i vektorrummet V\,.
% Delmängden H=\{\mathbf 0\} till  V\, som bara består av nollvektorn är ett delrum till V, som kallas det triviala delrummet till  V\, (eng. zero subspace).
% Säg att C\, är en fix 4\times 3-matris och sätt H\, till mängden av alla matriser i A\in M_{7,4}\, såna att A\,C=0\,.
% Eftersom 0\,C=0\, gäller att 0\in H, och om A,\,B\in H så gäller att (A+B)C=A\,C+B\,C= 0+0=0\,, så A+B\in H.\, Om c\in \mathbb R\, och A\in H\, så gäller att (c\,A)B=c(A\,B)= c\,0= 0, så c\,A\in H. Detta visar att H\, är ett delrum till M_{7,4}.
% Låt i stället H vara mängden av funktioner f i C(\mathbb R)\, som löser den homogena differentialekvationen
% y''+2y'+5y = 0\,.
% Den konstanta funktionen 0 löser ekvationen så 0\in H\,. Om f,\,g\in H gäller att
% (f+g)''+2(f+g)'+ 5(f+g)=(f''+2f'+5f)+(g''+2g'+5g)=0+0=0
% så f+g\in H. När c\in \mathbb R\, och f\in H\, har du
% (cf)''+2(cf)'+5(cf)= c(f''+2f'+5f)=c\,0=0
% så cf\in H\,. Detta visar att H  är ett delrum till C(\mathbb R).
%
%% 36.3   Linjärkombinationer i vektorrum
%
% Du vet att du kan beskriva delrum H\, till \mathbb R^n\, genom om att (på olika sätt!) välja ett antal (linjärt oberoende) vektorer \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots\,\mathbf v_p\,i H\, så att H\, är det linjära höljet till dessa H=\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\, \mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\,.
% Kan du göra på samma sätt med vektorrummet av lösningar till
%  y'' + 2y'+5y=0\,?
% Den karaktärisktiska ekvationen 0=r^2+2r+5 = (r+1)^2+2^2\, som har lösningarna r= -1\pm 2i, så lösningsformeln ger att alla lösningar ges av
% y=e^{-x}(A\cos 2x + B\sin 2x)= A\,e^{-x}\cos 2x + B\, e^{-x}\sin 2x,\,
% där A,\,B är godtyckliga skalärer. Varje lösning  är därför en linjärkombination av två av lösningarna
% y_{1} = e^{-x}\cos 2x \,( A=1,\,B=0\,)   och   y_2 = e^{-x}\sin 2x\,,
% så att H\, är linjära höljet av y_1,\, y_2 i C(\mathbb R):
% H = \mbox{Span}\{e^{-x}\cos 2x,\, e^{-x}\sin 2x\}\,.
% Coolt, eller hur? Här kommer den relevanta definitionen i det allmänna fallet
% Defintion   Låt V\, vara ett vektorrum med vektorerna \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\,. En vektor \mathbf v\in V\, är en linjärkombination av dessa vektorer om
% \mathbf v =c_1\,\mathbf v_1+c_2\,\mathbf v_2+\cdots+c_p\,\mathbf v_p\,.
% för några skalärer c_1,\,c_2,\,\ldots,\,c_p\,, som kallas linjärkombinationens vikter.  Vektorernas  linjära hölje (eng. span) betecknas
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}
% och är delmängden till V\, som består av alla linjärkombinationer av vektorerna.
% Väljer du alla vikter till 0 får du \mathbf 0 \in\mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\,. Om \mathbf u,\,\mathbf v\in \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}har vikterna c_1,\,c_2,\,\ldots,\,c_p\, respektive d_1,\,d_2,\,\ldots,\,d_p\,, så är c_1+d_1,\,c_2+d_2,\,\ldots,\,c_p+d_p\, vikter för \mathbf u+\mathbf v\, så att \mathbf u+\mathbf v\in \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\,. Vikterna för c\,\mathbf u är då c\,c_1,\,c\,c_2,\,\ldots,\,c\,c_p\,så c\,\mathbf u \in \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\,.
% Sats   När V\, är ett vektorrum med vektorerna \mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\,, så är
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2,\,\ldots,\,\mathbf v_p\}
% ett delrum till V\,.
% Uppgift 36.1  Stämmer det att f(t) = \cos^3 t\, ligger i \mbox{Span}\{1,\, \cos t,\,\cos 2t,\,\cos 3t\}\, i C(\mathbb R)\,?  Använd Matlab för att svara på frågan!
% Lösning   Uppgiften går ut på att avgöra om det finns skalärer c_1\,c_2,\, c_3,\, c_4\, så att
% \cos^3 t = c_1\cdot1+c_2\,\cos t + c_3\,\cos 2t + c_4 \,\cos 3t.\, \quad (5)
% Hur ska det går till? Båda sidor i likheten ska vara samma för samtliga värden på t,\,eftrsom funktionerna på båda sidor ska vara samma. Vi har fyra obekanta vikter. Sätter du in fyra olika värden på t kommer du att få ett ekvationssystem med fyra ekvationer och fyra obekanta. Om det inte är lösbar är det kört, annars finns den en chans med det förslag på vikter du får och sen kan du pröva att rita grafena till båda leden och se om det verkar rimligt att de är såna att båda sidor blir lika för alla t. Alternativt kan du välja fyra andra värden på t\, och testa.
% OK, du väljer fyra värden på t\, och kör på ...



%
% Metod   (för att avgöra om f är en linjärkombination av f_1,\,f_2,\, \ldots,\,f_n\, i C(D)\,.)
% Uppgften är att avgöra om om det finns skalärer c_1,\, c_2,\,\ldots,\, c_n\, så att  c_1\,f_1(x) + c_2\,f_2(x) +\cdots+c_n\,f_n(x) = f(x)\,för alla värden på x\in D\,.
% Välj n\, olika punkter x_1,\,x_2,\, \ldots,\, x_n\, i D\,. Det är oväsentligt hur du gör valet.
% Ekvationen ger nu i de olika punkterna ekvationssystemet
% \left(\begin{array}{ccc}
% f_1(x_1) & f_2(x_1) & \ldots & f_n(x_1) \\
% f_1(x_2) & f_2(x_2) & \ldots & f_n(x_2) \\
% \vdots &   &  & \vdots \\
% f_1(x_n) & f_2(x_n) & \ldots & f_n(x_n)
% \end{array}\right)
% \left(\begin{array}{c}
% c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n
% \end{array}\right) =
% \left(\begin{array}{c}
% f(x_1) \\ f(x_2) \\ \vdots \\ f(x_n)
% \end{array}\right)\,.
% Om systemet saknar lösning är f inte en linjärkombination av f_1,\,f_2,\, \ldots,\,f_n\,.
% Om systemet har en lösning kan det beror på att
% (1)   f\, är verkligen en linjärkombination av f_1,\,f_2,\, \ldots,\,f_n\,. Du kan avögra det genom att plotta f\, och den linjärkombination av  f_1,\,f_2,\, \ldots,\,f_n\, som en lösning ger. Om graferna sammanfaller är f\, (högst sannolikt) denna linjärkombination av de andra funktionerna.
% (2)    punkterna x_1,\,x_2,\, \ldots,\, x_n\,är olyckligt valda. Plotten i (1) visar då att f inte är en linjärkombination av de andra funktionerna.
%
% Anta nu att du har vektorer \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,\ldots,\,\mathbf v_p\,och \mathbf w_1,\,\mathbf w_2\,\ldots,\,\mathbf w_q\, i ett vektorrum och du undrar om
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\subseteq \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\,\mathbf w_2\,\ldots,\,\mathbf w_q\}\,,\quad(1)\\
% \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\,\mathbf w_2\,\ldots,\,\mathbf w_q\}
% \subseteq
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,\ldots,\,\mathbf v_p\}\,,\quad (2)\\
% \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,\ldots,\,\mathbf v_p\}=\mbox{Span}\{\mathbf w_1,\,\mathbf w_2\,\ldots,\,\mathbf w_q\}\,,\quad (3)
% eller inget dera? Hur gör du då? För att (1) ska gälla måste \mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,\ldots,\,\mathbf v_p\,alla ligga i \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\,\mathbf w_2\,\ldots,\,\mathbf w_q\}\,, eftersom de ligger i mängden till vänster. Om å andra sidan detta gäller så vet du att \mbox{Span}\{\mathbf v_1,\,\mathbf v_2\,\ldots,\,\mathbf v_p\} är ett delrum till \mbox{Span}\{\mathbf w_1,\,\mathbf w_2\,\ldots,\,\mathbf w_q\}\,, så (1) gäller. Det ger dig metoden att avgöra (2)  och  (3)  också.
% 36.2 Uppgift   Undersök med Matlab om
% \mbox{Span}\{x^2,\, x,\, 1\} = \mbox{Span}\{ x-1,\, (x-1)(x-2),\, (x-2)^2\}\,.
% Lösning   Med samma metod som i Uppgift 36.1 kan du avgöra om x^2,\,x,\,1\, alla ligger i vektorrummet till höger.



% Nu har du  att \mbox{Span}\{x^2,\, x,\, 1\}\, är ett delrum till \mbox{Span}\{ x-1,\, (x-1)(x-2),\, (x-2)^2\}\,. Att \mbox{Span}\{ x-1,\, (x-1)(x-2),\, (x-2)^2\}\, är ett delrum till \mbox{Span}\{x^2,\, x,\, 1 \}\, är uppenbart (varje polynom av grad \leq 2\, är en linjärkombo av 1,\, x\, och x^2\,. Alltså gäller att
% \mbox{Span}\{x^2,\, x,\, 1 \} = \mbox{Span}\{ x-1,\, (x-1)(x-2),\, (x-2)^2 \}\,.
%
%