MVE025/MVE295, Komplex matematisk analys/Komplex analys , 2018/19

Aktuella meddelanden

Här är januaritentan samt lösningsförslag.

Tentagranskningen kommer ske på onsdag 28/11, 12.00-13.00 i salen Pascal i MV-huset. Om ni vill ta med er tenta efteråt behöver ni ha med id-handling. Efter granskningen kommer tentorna finnas tillgängliga på expeditionen.

Hoppas ni är nöjda med hur det gick på tentan! Här kan ni se tentan samt lösningsförslag.

Vi kommer ha en frågestund på tisdag 30/10 kl 15.15-17.00 i salen Pascal i MV-huset. Glöm inte att ni också kan ställa frågor i Piazza.

Det var lite strul med länkarna till vissa av de gamla tentorna, detta är nu åtgärdat. Jag har också uppdaterat facit för att korrigera några fel som upptäckts av er.

Notera att jag uppdaterat facit, så att det nu finns svar till rekommenderade uppgifter tom kapitel 9, samt "räkna också gärna"-uppgifterna på kapitel 8. Om man upptäcker fel i facit, eller rekommenderade uppgifter som saknar facit, mejla gärna mig så försöker jag fixa det.

Pga strömavbrott tvingades vi ställa in onsdagens föreläsning (26 sept). Den kommer jag istället ge nu på fredag 28 sept 13.15-15.00, då jag egentligen skulle haft storgruppsövning. Därför har jag bokat in ett extra tillfälle onsdag nästa vecka, dvs 3 okt, 15.15-17.00 i HB1, då jag tänker ha storgruppsövning.

Piazza! På mittmötet fick jag reda på att många studenter önskade att kursen hade ett diskussionsforum på piazza. Jag har därför startat ett sådant. Kursen ligger under Chalmers och heter MVE 025/295: Komplex (matematisk) analys, och man registrerar sig här: piazza.com/chalmers.se/fall2018/mve025295. Eftersom jag inte använt piazza förut blir detta lite av ett experiment. Man ska dock inte se det som ett alternativ till att gå på räkneövningarna, utan som ett komplement.

Välkomna till kursen! Kursens schema finns i TimeEdit. Observera att kursens schema pga krock nyligen ändrats, så att föreläsningarna som skulle legat på onsdagar 10-12 flyttas till fredagar 13-15, förutom lv 6 då passet ligger på onsdag 15-17.

Tips! Komplex analys dyker upp på många oanade ställen. Det mest kända olösta matematiska problemet är utan tvekan Riemannhypotesen. Dess lösning skulle ge stora insikter om primtalens fördelning, men problemet är faktiskt formulerat i termer av komplex analys (så det kan komma på tentan...). För den som är intresserad kan jag rekommendera en bra video (länk här) om problemet och dess historia på den utmärkta youtubekanalen Numberphile, samt boken Music of the primes av Marcus Du Satoy. Se också gärna denna youtubevideo som ger en visuell beskrivning av Riemanns zetafunktion, och som därför knyter an fint till kursen.

Tips! Fourieranalys är otroligt användbart! Fourieranalys ligger till grund för datortomografi (CAT scan) samt magnetisk resonanstomografi (MRI) (se länk här till artikel om detta). En annan väldigt viktig användning är vid röntgenkristallografi. Alla borde verkligen läsa James D Watsons (korta och lättlästa) bok The Double Helix : A Personal Account of the Discovery of the Structure of DNA, där han beskriver hur han och Francis Crick år 1953 lyckades fastställa DNAs tredimensionella struktur med hjälp av just röntgenkristallografi.

Tips! Vill man få en intuitiv inblick i den moderna matematik (däribland komplex analys) som används inom teoretisk fysik så kan jag rekommendera The Road to Reality av Roger Penrose (finns att låna på Chalmers bibliotek).

Lärare

Kursansvarig:

David Witt Nyström, wittnyst'at'chalmers.se.

Övningsledare:

Jimmy Johansson, jimjoh'at'chalmers.se.

Mattias Lennartsson, matlen'at'chalmers.se.

Hanna Oppelmayer, hannaop'at'chalmers.se.


För dem som läser kursen MVE295 ingår också ett delmoment på 1.5 p , 'Vektoranalys för KF och TM'. Den kursen leds av Christian Forssen; för mer info se länk här!

Kurslitteratur

Precis som förra året kommer vi använda oss av boken A First Course of Complex Analysis av Beck, Marchesi, Pixton och Sabalka, som finns att ladda ner gratis på nätet (länk här!). Observera att detta är version 1.53, vilket gör att numreringen av satser och uppgifter skiljer sig något från tidigare år. Facit till utvalda uppgifter finns här. Om man upptäcker fel i facit, eller rekommenderade uppgifter som saknar facit, mejla gärna mig så fixar jag det.


Vi kommer också utnyttja kompletterande material från tidigare år skrivna av Bo Berndtsson: lite mer om residyräkning (länk här!), tillsammans med lite om argumentprincipen och lite om fourieranalys (länk här!), Fourier-, Laplace- och Z-transformen.

Program

Föreläsningar

Här är ett preliminärt program för kursen. Allteftersom kommer jag markera vad vi hunnit gå igenom med kursiv stil.


Dag
Avsnitt Innehåll
3/9
1.1-1.4 Introduktion. Komplexa tal. Komplexa talplanet. Polär form. De Moivres formel. Komplexa konjugatet. Olikheter. Topologi i planet.
4/9
2.1-2.2, 2.4 Forts. topologi i planet. Komplexa funktioner. Kontinuitet och deriverbarhet. Cauchy-Riemanns ekvationer.
5/9
2.3, 3.4 Fort. Cauchy-Riemanns ekvationer. Konsekvenser av CRs ekvationer. Exponentialfunktionen. Trigonometriska funktioner.
10/9
3.5, 3.1-3.2 Komplexa logaritmer. Konforma avbildningar. Möbiusavbildningar.
11/9
4.1 Forts. Möbiusavbildninar. Kurvintegraler.
12/9 4.3-4.4 Forts. integraler. Homotopi mellan slutna kurvor. Cauchys sats.
17/9 4.4, 5.1 Cauchys integralformel. Cauchys integralformel för derivator.
18/9 5.3, 4.2, 5.2 Liouvilles sats. Algebrans fundamentalsats. Beräkning av reella integraler. Primitiva funktioner.
19/9 5.2, 6.1-6.2 Moreras sats. Harmoniska funktioner. Det harmoniska konjugatet. Medelvärdessatsen.
24/9 6.2 Maximumprincipen. Maximummodulusprincipen.
25/9 7.1-7.4, 8.1 Likformig konvergens av funktionsföljder och funktionsserier. Potensserier. Konvergensradier. Konvergenskriterier. Potensserier är holomorfa.
26/9 8.1-8.2 Taylorutveckling av holomorfa funktioner. Cauchys uppskattningar. Klassifikation av nollställen.
1/10 8.2-8.3 Identitetsprincipen. Laurentserier. Laurentserieutveckling av holomorfa funktioner.
2/10 8.3, 9.1, Residypdf Forts. Laurentserieutveckling. Isolerade singulariteter. Klassifikation av singulariteter.
3/10 9.1-9.2, Residypdf Residyer. Enkla kurvor och Jordans kurvsats. Residysatsen. Beräkning av residyer.
8/10 9.2, Residypdf Forts. residyer. Beräkning av reella integraler.
9/10 9.3, Residypdf Argumentprincipen. Rouchés sats.
10/10 Fourierpdf Fouriertransformen. Inversionsformeln för FT. Parsevals formel. Egenskaper hos FT. 
15/10 Fourierpdf Faltning och FT. Lösa diffekvationer mha FT. Laplacetransformen. Inversionsformeln för LT. Egenskaper hos LT. Lösa diffekvationer mha LT.
16/10 Fourierpdf Faltning och LT. Z-transformen.
19/10
Repetition.
22/10
Repetition.
23/10
Repetition.

Rekommenderade övningsuppgifter

'D' betyder att övningen kommer att diskuteras på storgruppsövningen på fredagar, 'Ö' betyder att den räknas på övningarna. Räkna så många övningar som möjligt, även bland de som inte står på listan!

Vecka
Uppgifter
1
Kap 1: D: 2c, 4c, 9, 10, 27ef. Ö: 1bcd, 2abd, 3bd, 4fh, 8ab, 11ac, 22, 23bdfg, 24, 25, 26, 27abcd, 29, 33.
Kap 2: D: 19, 23. Ö: 14, 17, 20, 21, 22, 24, 25.
2-3
Kap 3: D: 13ef, 14c, 21b, 33. Ö: 5, 9, 13, 14ab, 17, 18, 21ac, 31a, 39, 41cde, 45ab, 51.
Kap 4: D: 10, 25, 29, 36d. Ö: 1ac, 4, 5a, 6b, 17, 27, 28, 36abc.
Räkna också gärna: Kap 4: 5c, 8ace, 24, 26, 33, 34, 35.
3-4
Kap 5: D: 1d, 2, 3i, 14, 20. Ö: 1ac, 3aeg, 11, 15,16,18.
Kap 6: D: 9. Ö: 4, 7,11.
4-5
Kap 7: D: 18, 25ac, 28b, 34bc, 35. Ö: 5, 12, 25b, 26, 27, 28a, 29, 30, 33bce.
Kap 8: D: 9, 10bd, 18, 20, 31, 36, 37. Ö: 1b, 17, 19, 23, 26, 27, 28, 32, 33.
Räkna också gärna: Kap 8: 3, 5, 20, 21, 22, 25, 29, 38.
5-6
Kap 9: D: 6, 7e, 8c, 14, 21a. Ö: 1, 2, 5abcd, 7d, 8d, 9, 11, 15, 17,18, 21bc.
6-7 Residypdf: D: 3 på sid 5, 3 på sid 8, 1 på sid 11. Ö: alla andra övningar i Residypdf.
Fourierpdf: D: 1a och 3 på sid 8, 1c och 3a på sid 13, 1b och 3 på sid 16.
Fourierpdf: Ö: alla andra övningar i Fourierpdf.
Gamla tentor: D:  1310-4 (dvs uppg. 4 på tentan från april 2013), 1308-1a, 1301-3, 1201-8,
1208-8a, 1310-8 (första delen), 1203-8, 1401-9. Ö: 1401-5, 1310-8 (andra delen), 1308-5.
7-8 Gamla tentor: D: 1401-3, 1301-7, 1310-2, 1310-3b, 1401-4, 1401-1, 1401-6.
Ö: hela 1612, 1610, 1601, 1510, 1501, 1410, 1210-3, 1401-2, 1210-2, 1310-3a, 1310-1,
1308-4, 1301-4, 1210-4.
Räknestugor

Vi kommer ha tre räknestugor med olika upplägg.

FL51 med Jimmy. Där är tanken att Lucas räknar en eller två uppgifter på tavlan och att studenterna sedan räknar själva och får hjälp av Lucas när det behövs. 
FL61 med Hanna. De första 45 min räknar hon på tavlan uppgifter hon valt från listan av rekommenderade uppgifter. Efter det räknar studenterna själva och får hjälp vid behov.
FL71 med Mattias. Han kommer räkna uppgifter på tavlan 2x45, men efter att ha skrivit upp ett problem kommer han låta studenterna sitta och försöka själva ett par minuter, för att sedan själv demonstrera lösningen på tavlan.
Man får själv välja vilken räknestuga man vill gå till.

Studieresurser

Datorlaborationer

Vi kommer inte använda oss av Matlab i kursen.

Kurskrav

Kursens syfte och lärandemål finns angivna i kursplanen.

Här är en preliminär lista på satser och bevis som kan komma på tentan. Numreringen hänvisar till kursboken av Beck om det inte står R, vilket hänvisar till Residypdfen.

Sats 2.13 a och b (Cauchy-Riemanns ekvationer).
Proposition 2.11 (Satsen om konforma avbildningar). Man ska kunna formulera lemmat som används i beviset (dvs "kedjeregeln" för derivatan av en kurva sammansatt med en holomorf funktion), men man behöver inte bevisa lemmat.
Sats 4.6 d (Triangelolikheten för integraler).
Sats 4.18 (Cauchys sats).
Sats 4.24 (Cauchys integralformel v1).
Sats 5.1 (Cauchys formel för derivator), man behöver bara bevisa integralformeln för förstaderivatan av f, inte följden att derivatan är holomorf.
Korollarie 5.13 (Liouvilles sats).
Sats 5.11 (Algebrans fundamentalsats), beviset som använder Liouvilles sats (dvs det jag gjorde på föreläsningen) som står precis efter beviset av Liouvilles sats i boken.
Sats 8.2 (Derivering av potensserier).
Sats 8.8 (Taylorutveckling).
Sats 8.14 (Klassifikation av nollställen), formuleringen och beviset från föreläsning.
Sats 8.15 (Identitetsprincipen), beviset från föreläsning.
Sats 8.24 (Laurentserieutveckling).
Sats 4.1 R (=Prop. 9.5a) (Klassifikation av singulariteter, fallet hävbara singulariteter).
Sats 9.10 (Residysatsen), beviset från föreläsning.

Proposition 9.11a (Beräkning av residyer 1).

Proposition 1.3 R (Beräkning av residyer 2).

Proposition 9.14 (Beräkning av residyer 3).
Sats 3.2 R (Argumentprincipen), formuleringen och beviset från föreläsning.
Sats 9.18 (Rouches sats), beviset från föreläsning.

Duggor

Vi kommer inte ha några duggor.

Examination

Kursen examineras i form av en tenta.

 
Detta formelblad kommer att delas ut på tentan.

Maximal poängutdelning på tentan är 50 poäng; 7p var  på de 5 första uppgifterna och 5p var på de 3 sista. Betygsgränser:
0-19:U, 20-29:3, 30-39: 4 och 40-50:5.

Datum, tider och platser för tentamen finns i studentportalen.

Rutiner kring tentamina

I Chalmers Studentportal kan du läsa om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers. Tänk på att du måste anmäla dig i tid till tentan, eftersom du annars inte får tenta.

Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation och kvitto på erlagd kåravgift.

Du kan själv gå in i Ladok, via inloggning i Studentportalen, för att se dina resultat.

Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Granskning vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Kursvärdering

I början av kursen bör minst två studentrepresentanter ha utsetts för att tillsammans med lärarna genomföra kursvärderingen. Värderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.

Kursrepresentanter för Kf:

Alexandra Alto (cid: altoa)
Ana-Mari Petrova (cid: petrova)

Kursrepresentanter för TKFY/TM:

Olof Cronquist (cid: olofcr)
Patrik Wallin Hybelius (cid: hybelius)

Se följande mall för Kursvärdering i studentportalen.

Gamla tentor


Ordinarie tenta oktober 2017 och lösningar. Omtenta december 2017 och lösningar. Andra omtentan augusti 2018 och lösningar.

Ordinarie tenta oktober 2016 och lösningar. Omtenta december 2016 och lösningar. Andra omtentan augusti 2017 och lösningar.
Ordinarie tenta oktober 2015 och lösningar. Omtenta januari 2016 och lösningar.
Ordinarie tenta oktober 2014 och lösningar. Omtenta januari 2015 och lösningar.
Ordinarie tenta oktober 2013. Omtenta januari 2014.

Äldre tentor hittas här: http://www.ftek.se/main/kurs/komplex-analys/ (här finns också lösinngar till de flesta tentor, bl a till några av tentorna ovan som saknar lösningar).