  |
|
Flervariabelanalys F,
MVE035, 4p, vt06, lp3
|
|
kursutvärderare Christian von Schultz <von@student.chalmers.se> ochTentor: 06-03-10 fm (V) [tesen] 06-08-30 em (V). OBS Tentan ges tillbaka må 27/3 kl 11.46 i GD
Mattias Eriksson <erikssom@student.chalmers.se>.
Anmälan till tentamen sker via en funktion i Studieportalen, länk finns på förstasidanSchema (uppgraderat 24/2)
och i Personlig information.
| må
16/1: Vi definierar partiella derivator för
rellvärda funktioner; "partiellt
deriverbar" medför dock inte
"kontinuerlig", det rätta begreppet är
"differentierbarhet". Vi visar kedjeregeln. Tillämpning:
lösning
av partiella
differentialekvationer via nya variabler.
on 18/1: Vi visar: C1 medför differentierbar, differentierbar medför kontinuerlig. Sedan definierar vi operatorn grad som generaliserar deriveringsoperatorn D (kedjeregeln och differentierbarhet blir enkla, gradf=0 medför att f är konstant på bågvis sammanhängande mängder). Vi definierar riktningsderivatan och visar hur den fås med grad, att gradf anger den riktning i vilken funktionsvärdena växer snabbast samt att gradf är vinkelrätt mot nivåkurvor/nivåytor. to 19/1: Vi härleder Taylorutvecklingen av funktioner av flera variabler, sedan börjar vi med max-min-problem: vi definierar (lokal ) extrempunkt, stationär punkt och sadelpunkt och visar att (för part. deriverbara funktioner) extrempunkter är stationära. 13-15 demonstreras uppg. till och med kap.2 ö 64. PB: 2.1-2.6 |
viktigt: Repetera: geometrisk vektor (i Rn), längd, avstånd, skalärprodut; inre punkt, randpunkt, randen till en mängd i Rn, öppen mängd, sluten mängd, kompakt mängd. Vad är ett fält, ett fälts koordinatfunktioner? Vad är en nivåkurva? Hur kan man åskådliggöra ett fält, resp. reellvärda funktioner av två variabler? Hur definieras (och beräknas) gränsvärde, kontinuitet? Vad är de polära koordinaterna? Vilka egenskaper har kontinuerliga funktioner? Nytt: Hur defineras och vad ger de partiella derivatorna? Vad är en differentierbar funktion? Kan du visa att C1 medför kontinuerlig? Hur defineras (beräknas) tangentplan (för funktionsyta, för nivåyta)? Kan du (bevisa, tillämpa) kedjeregeln? Vad är gradientvektorn till en funktion? Vad ger den? Vilka egenskaper har den? Kan du härleda Taylorutvecklingen av funktioner av flera variabler? Vad är en lokal extrempunkt, en stationär punkt, en sadelpunkt? Kan du visa att inre extrempunkter är stationära om funktionen är part. deriverbar? Gäller omvändningen? |
| må
23/1: Vi
tillämpar Taylorutvecklingen för att karaktärisera
stationära punkter; viktiga begrepp är (positivt definit,
negativt definit, indefinit) kvadratisk form. Sedan
definierar vi funktionalmatris och funktionaldeterminant. on 25/1: Vi ser hur enkelt "differentierbarhet" och kedjeregeln blir för fält, definierar differential och diskuterar inversa funktionssatsen. to 26/1: Vi behandlar implicita funktionssatsen, sedan ägnar vi oss åt dubbelintegraler som vi motiverar geometriskt (volymen av "området under en funktionsyta") så som vi gjorde för enkelintegraler ("arean av området under en funktionskurva"). PB: 2.6, 2.7, kap3, 6.1-6.3 |
viktigt: Vad är en (positivt definit, negativt definit, indefinit) kvadratisk form? Hur kan karaktären hos stationära punkter bestämmas? Definition av funktionalmatris/determinant, differential. Funktionaldeterminant för polära och för sfäriska koordinater. Vad menas med att ett fält är differentierbart? lokalt bijektivt i en punkt? Inversa och implicita funktionssatsen. Repetera: matrisräkning, determinant Vad är en integrerbar funktion av två variabler? Repetera: integrering! |
| må 30/1:
Beräkning av dubbelintegral sker via
itererad integration, inses väldigt ådkådligt
(skivformeln!). Vi beskriver "koordinatbyte". on 1/2: Vi motiverar utförligt variabelsubstitution i dubbelintegraler, definierar generaliserad dubbelintegral m.h.a. uttömmande följder och räknar exempel, bl.a. integralen av exp(-x^2). to 2/2: Vi börjar med trippelintegraler och tillämpningar. Rymdpolära koordinater beskrives, deras funktionaldeterminant beräknas. PB: 6, 7, 8 |
viktigt: Vad är en mätbar (=kvadrerbar) mängd, en nollmängd? Satsen om itererad integration, integration över standardområden. Vad är den geometriska betydelsen av funktionaldeterminanten? Hur funkar variabelsubstitution för dubbelintegraler? Uttömmande följd, generaliserad dubbelintegral. Kan du beräkna exp(-x^2) över hela reella axeln? Trippelintegral (beräkning, variabelsubstitution, generaliserad integral). Du lär dig att integrera genom att räkna många exempel. Gå igenom först samtliga exempel vi räknade på tavlan och samtliga exempel i boken (="typtal med lösningar")! |
| må 6/2:
Vi börjar med "vektoranalys" i planet:
först definierar vi arbete och kurvintegral (av
ett fält
längs en kurva) och
räknar exempel, sedan inför vi viktiga begrepp
för kurvor (sluten,
enkel), för mängder i planet (enkelt sammanhängande) och
för fält (konservativt kraftfält,
potential, kurvintegral
oberoende
av vägen). on 8/2:
Vi bevisar Green's sats som spelar en
avgörande roll i
planet (ger en karaktärisering av konservativa
fält) och i rummet
(användes i beviset av Gauss sats). Huvudresutatet: under
vissa, viktiga förutsättningar
gäller för ett
kraftfält F=(P,Q)
ekvivalens mellan "konservativt", "kurvintegral oberoende av
vägen" och den enkla (lätt verifierbara) identiteten "P'y=Q'x". to 9/2: Vi visar "Arbetet = potentialskillnaden" för ett konservativt fält, motiverar "konservativt" och börjar med ytor på parameterform: först bestämmer via arean. PB: 9, 3.1, 8.2 |
viktigt: Hur definieras kurvintegral? Arbete? Vad är en sluten, en enkel, kurva? En enkelt sammanhängande mängd, en mängd med positivt orienterad rand, i planet? Vad menas med att "kurvintegralen är oberoende av vägen i D"? Vad är ett konservativt kraftfält? Vad är en potential till ett fält? Kan du (formulera och bevisa) Green's sats och samband mellan potential, fält och arbete för konservativa fält? Hur kan du avgöra om ett plant fält är konservativt? Vad är arbetet för konservativa fält? Kan du beräkna en potential till ett konservativt fält? Kan du beräkna arean av ett område i planet m.h.a. Green? Vad är och hur löses en exakt differentialekvation? (Buktiga) ytor: vad är areaelementet, hur beräknas arean? |
| må 13/2:
Vi definierar (normal-)ytintegral (ger
flödet), divergens av ett fält och visar Gauss' sats (som ger
fysikalist innebörd av div). to 16/2: Vi ser att Greens sats är Gauss' sats i planet och att divergensen ger källstyrkan. Sedan definierar vi rotation av ett fält, nablaoperatorn (allt blir väldigt enkelt: "funkar" som geometriska vektorer) och orienterad yta med rand och formulerar Stokes' sats. PB: 10 |
viktigt: Vad är, hur beräknas och vad ger en normalytintegral? Vad är en orienterad yta med rand? Kan du (formulera, bevisa och tillämpa) Gauss' sats och Stokes' sats? Vad är divergens och rotation av ett fält? Kan du räkna med nabla-operatorn? |
| må 20/2:
Vi visar Stokes' sats, att den är Green's
sats i
planet och ger fysikalistk innebörd av rot-vektorn, och
ekvivalens mellan "virvelfritt" och konservativt,
"källfritt" och existens av en vektorpotential. on 22/2:
Vi avslutar beviset för karaktärisering
av virvelfria resp. källfria fält och räknar
huvudexemplen (fält riktade mot origo vars styrka är
(omvänt) proportionell mot en potens av avståndet till
origo)
samt magnetfält - elektrostatiskt fält kring z-axeln. to 23/2:
Vi börjar med problemet "bestäm det
största/minsta värde
som en funktion antar på en mängd"; utförliga exempel
räknas. Sedan löser vi max-min-problem utan
kompakt område och med
bivillkor. PB:
10, 4 |
viktigt: Vad är en enkelt sammanhängande mängd i R3 , en konvex mängd? Kan du (även visa) samband mellan potential och rotation, vektorpotential och divergens (hur kan du avgöra om ett fält i R3 är konservativt)? Kan du beräkna en potential (vektorpotential) till ett konservativt (källfritt) fält? Hur hittar man största/minsta värdet av en funktion på kompakta och på icke kompakta mängder? |
| må 27/2:
Vi visar Lagrange's multiplikatormetod för
lösning av max/min-problem under bivillkor och räknar
exempel. on 22/2: Vi diskuterar när (och hur) man får derivera under integraltecken. PDE får ni kika igenom på egen hand. Vi räknar gamla tentor (05-03-14, to 23/2: 05-01-14, delvis). PB 4, 5.1 |
viktigt:
Lagrange multiplikatormetod. När får man derivera under
integraltecken (ffa då integralen är generaliserad)?
Räkna tentan 05-03-14 och 05-01-14 innan de demonstreras!! |
