Name Last modified Size Description
![[DIR]](back.gif)
Parent Directory 10-Jul-2006 10:50 - | må
22/1: Vi definierar partiella derivator för
rellvärda funktioner; "partiellt
deriverbar" medför dock inte
"kontinuerlig", det rätta begreppet är
"differentierbarhet". Vi visar kedjeregeln.
on 24/1: Vi tillämpar kedjeregeln för att lösa partiella differentialekvationer via nya variabler. Vi visar: C1 medför differentierbar, differentierbar medför kontinuerlig. Sedan definierar vi operatorn grad som generaliserar deriveringsoperatorn D (kedjeregeln och differentierbarhet blir enkla, gradf=0 medför att f är konstant på bågvis sammanhängande mängder). Vi definierar riktningsderivatan och visar hur den fås med grad, att gradf anger den riktning i vilken funktionsvärdena växer snabbast samt att gradf är vinkelrätt mot nivåkurvor/nivåytor. to 25/1: Vi härleder Taylorutvecklingen av funktioner av flera variabler, sedan börjar vi med max-min-problem: vi definierar (lokal) extrempunkt, stationär punkt och sadelpunkt och visar att (för part. deriverbara funktioner) extrempunkter är stationära. Sedan inför vi det viktiga begreppet (positivt definit, negativt definit, indefinit) kvadratisk form. PB: 2.1-2.6 |
viktigt: Repetera: geometrisk vektor (i Rn, längd, avstånd, skalärprodukt; inre punkt, randpunkt, randen till en mängd i Rn, öppen mängd, sluten mängd, kompakt mängd. Vad är ett fält, ett fälts koordinatfunktioner? Vad är en nivåkurva? Hur kan man åskådliggöra fält resp. reellvärda funktioner av två variabler? Hur definieras (och beräknas) gränsvärde, kontinuitet? Vad är de polära koordinaterna? Vilka egenskaper har kontinuerliga funktioner? Nytt: Hur defineras och vad ger de partiella derivatorna? Vad är en differentierbar funktion? Kan du visa att C1 medför kontinuitet? Hur defineras (beräknas) tangentplan (för funktionsyta, för nivåyta)? Kan du (bevisa, tillämpa) kedjeregeln? Vad är gradientvektorn till en funktion? Vad ger den? Vilka egenskaper har den? Kan du härleda Taylorutvecklingen av funktioner av flera variabler? Vad är en lokal extrempunkt, en stationär punkt, en sadelpunkt? Kan du visa att inre extrempunkter är stationära om funktionen är part. deriverbar? Gäller omvändningen? Vad är en (positivt definit, negativt definit, indefinit) kvadratisk form? |
|
| må
29/1: Vi
tillämpar Taylorutvecklingen för att karaktärisera
stationära punkter. Sedan
definierar vi funktionalmatris och funktionaldeterminant. on 31/1: Vi ser hur enkelt "differentierbarhet" och kedjeregeln blir för fält, definierar differential och diskuterar inversa och implicita funktionssatsen. to 1/2: Vi börjar med dubbelintegraler som vi motiverar geometriskt (volymen av "området under en funktionsyta") så som vi gjorde för enkelintegraler ("arean av området under en funktionskurva"). Beräkning av dubbelintegral sker via itererad integration, inses väldigt åskådligt (skivformeln!). PB: 2.6, 2.7, kap3, 6.1-6.3 |
viktigt: Hur kan karaktären hos stationära punkter bestämmas? Definition av funktionalmatris/determinant, differential. Funktionaldeterminant för polära och för sfäriska koordinater. Vad menas med att ett fält är differentierbart? Cm? lokalt bijektivt i en punkt? Inversa och implicita funktionssatsen. Repetera: matrisräkning, determinant Vad är en integrerbar funktion av två variabler? Vad är en nollmängd, en mätbar (=kvadrerbar) mängd? Satsen om itererad integration. Repetera: integrering! |
|
| må 5/2:
Vi behandlar integration över standardområden och "koordinatbyte"
och börjar med att upptäcka
funktionaldeterminantens geometriska betydelse. on 7/2: Vi motiverar utförligt variabelsubstitution i dubbelintegraler, sedan definierar vi generaliserad dubbelintegral (konvergens, divergens, absolutkonvergens) m.h.a. uttömmande följder och räknar exempel, bl.a. integralen av exp(-x2) över R. to 8/2: Vi behandlar trippelintegral (även generaliserad), härledar rymdpolära koordinater och deras funktionaldeterminant, räknar exempel. PB: 6, 7, 8 |
viktigt: Integration över standardområden. Vad är den geometriska betydelsen av funktionaldeterminanten? Hur funkar variabelsubstitution för dubbelintegraler? Vad är en uttömmande följd, (konvergent, divergent, absolutkonvergent) generaliserad dubbelintegral? Kan du beräkna exp(-x2) över hela reella axeln? Trippelintegral (beräkning, variabelsubstitution, sfäriska koordinater, generaliserad integral). Du lär dig att integrera genom att räkna många exempel. Gå igenom först samtliga exempel vi räknade på tavlan och samtliga exempel i boken (="typtal med lösningar")! |
|
| må 12/2:
Vi ger tillämpningar av integral, sedan
börjar vi med "vektoranalys":
först definierar vi kurvintegral (av
ett fält
längs en kurva, ger "arbete"), visar att den är oberoende av
kurvans parameterframställning och
räknar exempel, sedan definierar vi sluten och
enkel kurva. on 13/2: Vi definierar enkelt sammanhängande mängd (med posistivt orienterad rand) i planet, konservativt kraftfält, potential och "kurvintegral oberoende av vägen". Vi bevisar Green's sats som spelar en avgörande roll i planet (ger en karaktärisering av konservativa fält) och i rummet (användes i beviset av Gauss sats). Huvudresutat: under vissa, viktiga förutsättningar gäller för ett kraftfält F=(P,Q) ekvivalens mellan "konservativt", "kurvintegral oberoende av vägen" och "P'y=Q'x". to 14/2: Vi visar "arbete = potentialskillnad" för ett konservativt fält, motiverar "konservativt" och börjar med ytor på parameterform. PB: 9, 3.1, 8.2 |
viktigt: Repetera "kurva i Rn" (P-B, env. analys, 7.4, flerv. an. 3.1.1)! Hur definieras kurvintegral? Arbete? Vad är en sluten, en enkel, kurva? En enkelt sammanhängande mängd, en mängd med positivt orienterad rand, i planet? Vad menas med att "kurvintegralen är oberoende av vägen i D"? Vad är ett konservativt kraftfält? Vad är en potential till ett fält? Kan du (formulera och bevisa) Green's sats och samband mellan potential, fält och arbete för konservativa fält? Hur kan du avgöra om ett plant fält är konservativt? Vad är arbetet för konservativa fält? Kan du beräkna en potential till ett konservativt fält? Kan du beräkna arean av ett område i planet m.h.a. Green? Vad är och hur löses en exakt differentialekvation? |
|
|
må 19/2:
Först bestämmer via arean
av en buktig yta, sedan definierar vi
(normal-)ytintegral (ger
flödet). on 21/2: Vi definierar divergens av ett fält och visar Gauss' sats (som ger fysikalisk innebörd av div), att Greens sats är Gauss' sats i planet och att divergensen ger källstyrkan. Sedan definierar vi rotation av ett fält, nablaoperatorn (allt blir väldigt enkelt: "funkar" som geometriska vektorer). to 22/2: Vi definierar orienterad yta med rand och visar Stokes' sats och att den är Green's sats i planet och ger fysikalisk innebörd av rot-vektorn. PB: 8.2, 10 |
viktigt: Igen: Repetera: geometrisk vektor (i R3, skalärprodukt och vektorprodukt)! (Buktiga) ytor: vad är areaelementet, hur beräknas arean? Vad är, hur beräknas och vad ger en normalytintegral? Vad är en orienterad yta med rand? Kan du (formulera, bevisa och tillämpa) Gauss' sats och Stokes' sats? Vad är divergens och rotation av ett fält? Kan du räkna med nabla-operatorn? |
|
| må 26/2:
Vi visar
ekvivalens mellan virvelfritt och konservativt, mellan källfritt
och
existens av en vektorpotential. on 28/2: Vi räknar huvudexemplen: fält riktade mot origo vars styrka är (omvänt) proportionell mot en potens av avståndet till origo samt magnetfält - elektrostatiskt fält kring z-axeln. to 1/3: Vi börjar med problemet "bestäm det största/minsta värde som en funktion antar på en mängd"; utförliga exempel räknas, ffa max-min-problem utan kompakt område. PB: 10, 4 |
viktigt: Vad är en enkelt sammanhängande mängd i R3, en konvex mängd? Kan du (även visa) samband mellan potential och rotation, vektorpotential och divergens i R3? Hur kan du avgöra om ett fält i R3 är konservativt? Kan du beräkna en potential (en vektorpotential) till ett konservativt (ett källfritt) fält? Hur hittar man största/minsta värdet av en funktion på kompakta och på icke kompakta mängder? |
|
| må 5/3:
Vi visar Lagrange's multiplikatormetod för
lösning av max/min-problem under bivillkor och räknar
exempel. on 7/3: Vi räknar max-min-problem under flera bivillkor; sedan diskuterar vi när (och hur) man får derivera under integraltecken, ex.: gammafunktion, Laplace- och Fouriertransform. Till sist behandlar vi "karakteristisk koordinat för en PDE". to 8/3 och fr 9/3 (13-15) räknar vi tentor: 07-01-19 och 06-08-30. PB: 4, 5.1, PDE |
viktigt: Lagrange multiplikatormetod. När får man derivera under integraltecken (ffa då integralen är generaliserad)? Vad är och hur fås en karakteristisk koordinat för en PDE? Räkna tentorna 07-01-19 och 06-08-30 innan de demonstreras!! (lösningar 07-01-19, lösningar 06-08-30) |