| må 18/1:
Vi definierar partiella derivator för
rellvärda funktioner; "partiellt
deriverbar" medför dock inte
"kontinuerlig", det rätta
deriverbarhetsbegreppet visar sig vara
"differentierbarhet". Vi
visar kedjeregeln och att
differentierbarhet medför
kontinuitet.
on 20/1: Vi definierar Cm och visar att C1 medför differentierbar, tillämpar kedjeregeln för att lösa partiella differentialekvationer via nya variabler och definierar operatorn grad som generaliserar deriveringsoperatorn D (kedjeregeln och differentierbarhet blir enkla, gradf=0 medför att f är konstant på bågvis sammanhängande mängder). Sedan definierar vi riktningsderivatan och visar hur den fås med grad, att gradf anger den riktning i vilken funktionsvärdena växer snabbast samt att gradf är vinkelrät mot nivåkurvor/nivåytor. Uppgifter demonstreras. to 21/1: Vi börjar med max-min-problem: vi definierar (lokal) extrempunkt, stationär punkt och sadelpunkt och visar att för partiellt deriverbara funktioner inre extrempunkter är stationära. Vi härleder Taylorutvecklingen av funktioner av två variabler. PB: 2.1-2.6 |
viktigt: Repetera: Taylorutveckling av funktioner i en variabel. MVS. Rn: längd, avstånd, skalärprodukt för geometriska vektorer; inre punkt, randpunkt, randen till en mängd; öppen mängd, sluten mängd; kompakt mängd; bågvis sammanhängande mängd. Vad är ett fält, ett fälts koordinatfunktioner? Vad är en nivåkurva? Hur kan man åskådliggöra fält resp. reellvärda funktioner av två variabler? Hur definieras gränsvärde (beräkning?), kontinuitet? Vad är de polära koordinaterna? Vilka egenskaper har kontinuerliga funktioner? Nytt: Hur defineras och vad ger de partiella derivatorna? Vad är en differentierbar funktion? Kan du visa att differentierbar medför kontinuerlig och att C1 medför differentierbar? Hur defineras (beräknas) tangentplan (för funktionsyta, för nivåyta)? Kan du (bevisa, tillämpa) kedjeregeln? Vad är gradientvektorn till en funktion? Vad ger den? Vilka egenskaper har den? Kan du härleda Taylorutvecklingen av funktioner av två variabler? Vad är en lokal extrempunkt, en stationär punkt, en sadelpunkt? Kan du visa att inre extrempunkter är stationära om funktionen är partiellt deriverbar? Gäller omvändningen? Räkna instud.uppg. 1, 2a,b1 och exemplen |
| må
25/1: Vi
inför det viktiga begreppet (positivt definit,
negativt definit, indefinit) kvadratisk form och
tillämpar Taylorutvecklingen för att karaktärisera
stationära punkter. on 27/1: Vi definierar funktionalmatris, funktionaldeterminant och differential och ser hur enkelt "differentierbarhet" och kedjeregeln blir för fält och diskuterar inversa funktionssatsen. Uppgifter demonstreras. to 28/1: Vi motiverar implicita funktionssatsen. Sedan börjar vi med dubbelintegraler som vi motiverar geometriskt (volymen av "området under en funktionsyta") så som vi gjorde för enkelintegraler ("arean av området under en funktionskurva"). Vi definierar "integrerbar över D". PB: 2.6, 2.7, kap3, 6.1-6.3 |
viktigt: Repetera: matrisräkning, determinant! Integrering! Nytt: Vad är en (positivt definit, negativt definit, indefinit) kvadratisk form? Hur kan karaktären hos stationära punkter bestämmas (kan du motivera det)? Definition av funktionalmatris/determinant, differential. Funktionaldeterminant för polära och för sfäriska koordinater. Vad menas med att ett fält är differentierbart? Cm? Lokalt bijektivt i en punkt? Inversa och implicita funktionssatsen. Vad är en integrerbar funktion av två variabler? Räkna instud.uppg. 3a Börja redan nu med att räkna gamla duggor!!!! |
| må 1/2: Vi visar att
kontinuerliga funktioner är integrerbara över kompakta
axelparallella rektanglar, definierar nollmängd och mätbar mängd, behandlar
integreringsregler och beräkning av dubbelintegraler via
itererad integration (sats av Fubini) och
räknar exempel. on 3/2: Vi visar Fubinis sats (väldigt åskådligt: skivformeln!). Sedan beskriver vi "koordinatbyte", upptäcker funktionaldeterminantens geometriska betydelse, motiverar utförligt variabelsubstitution i dubbelintegraler och räknar exempel. to 4/2: Vi definierar generaliserad dubbelintegral (konvergens, divergens, absolutkonvergens) m.h.a. uttömmande följder och räknar exempel, bl.a. integralen av exp(-x2) över R. PB: 6, 7, 8 | viktigt: Vad är en nollmängd, en mätbar (= kvadrerbar) mängd? Satsen om itererad integration. Integration över standardområden. Vad är den geometriska betydelsen av funktionaldeterminanten? Hur funkar variabelsubstitution för dubbelintegraler? Vad är en uttömmande följd, en (divergent, konvergent, absolutkonvergent) generaliserad dubbelintegral? Kan du beräkna exp(-x2) över hela reella axeln? Du lär dig att integrera genom att räkna många exempel. Gå igenom först samtliga exempel vi räknade på tavlan och samtliga exempel i boken (="typtal med lösningar")! Räkna instud.uppg. 4, duggor!! |
| må 8/2:
Vi
behandlar trippelintegraler (definition, beräkning, generaliserad
integral), härledar rymdpolära
koordinater och deras funktionaldeterminant och räknar
exempel. on 10/2: Vi visar medelvärdessatsen för trippelintegraler (och dubbelintegraler). Sedan diskuterar vi tillämpningar: massa, tyngdpunkt, moment mm. och räknar exempel. Sedan börjar vi med kurvintegral av ett fält längs en kurva som vi motiverar med "arbete" och visar att den är oberoende av kurvans parameterframställning to 11/2: Vi definierar sluten och enkel kurva, enkelt sammanhängande mängd (med posistivt orienterad rand) i planet, konservativt kraftfält, potential och "kurvintagral oberoende av vägen". Exempel räknas. PB: 3.1.1, 9 | viktigt: Repetera "kurva i Rn" (P-B, env. analys, 7.4, flerv. analys 3.1.1)! Trippelintegral: beräkning, variabelsubstitution, sfäriska koordinater, generaliserad integral. Kan du medelvärdessatsen för dubbel- och trippelintegraler? Hur definieras kurvintegral? Arbete? Vad är en sluten, en enkel, kurva? En enkelt sammanhängande mängd, en mängd med positivt orienterad rand, i planet? Vad menas med att "kurvintegralen är oberoende av vägen i D"? Vad är ett konservativt kraftfält? Vad är en potential till ett fält? Vad är en exakt differentialform (en exakt differentialekvation)? Räkna instud.uppg. 5 |
| må 15/2:
Vi bevisar Greens sats som
spelar en
avgörande roll i
planet (ger en karaktärisering av konservativa
fält) och i rummet
(användes i beviset av Gauss sats). Vi
visar huvudresutatet: under
vissa (viktiga!) förutsättningar
gäller för ett
kraftfält F=(P,Q)
ekvivalens mellan "konservativt", "kurvintegral oberoende av
vägen" och "P'y=Q'x". Vidare
visar vi "arbete
= potentialskillnad" för ett konservativt fält.
on 17/2: Vi motiverar "konservativt" och börjar med ytor på parameterform: först bestämmer vi arean av en buktig yta, sedan definierar vi (normal-) ytintegral (ger flöde) och divergens av ett fält och visar Gauss sats (som ger fysikalisk innebörd av div, nämligen källstyrka). to 19/2: Vi visar att Greens sats är Gauss sats i planet, sedan definierar vi rotation av ett fält, nablaoperatorn (allt blir väldigt enkelt: "funkar" som geometrisk vektor) och definierar orienterad yta med rand. PB: 9, 3.1, 8.2, 10 | viktigt: Igen: Repetera: geometrisk vektor (i R3, skalärprodukt och vektorprodukt)! Kan du (formulera och bevisa) Greens sats och samband mellan potential, fält och arbete för konservativa fält? Hur kan du avgöra om ett plant fält är konservativt? Vad är arbetet för ett konservativt fält? Kan du beräkna en potential till ett konservativt fält? Kan du beräkna arean av ett område i planet m.h.a. Green? Hur löses en exakt differentialekvation? Ytor: vad är areaelementet, hur beräknas arean? Vad är, hur beräknas och vad ger en normalytintegral? Vad är en orienterad yta med rand? Vad är divergens och rotation av ett fält? Kan du (formulera, bevisa och tillämpa) Gauss sats? Kan du räkna med nabla-operatorn? Räkna instud.uppg. 6Aa,b |
| må 22/2:
Vi visar Stokes sats, ger
fysikalisk
innebörd av rot-vektorn
och visar att i planet Stokes sats är Greens
sats. on 24/2: Vi visar ekvivalens mellan virvelfritt och konservativt, mellan källfritt och existens av en vektorpotential (bevis) och räknar huvudexemplen: fält riktade mot origo vars styrka är proportionell mot en potens av avståndet till origo samt magnetfält - elektrostatiskt fält kring z-axeln. to 25/2: Vi börjar med problemet att bestämma det största/minsta värde som en funktion antar "på en mängd", resp. "under bivillkor"; utförliga exempel räknas, ffa max-min-problem utan kompakt område. Vi visar Lagranges multiplikatormetod för lösning av max/min-problem under bivillkor. PB: 10, 4 | viktigt: Kan du (formulera, bevisa och tillämpa) Stokes sats? Vad är en konvex mängd? en enkelt sammanhängande mängd i R3? Kan du (även visa) samband mellan potential och rotation, vektorpotential och divergens i R3? Hur kan du avgöra om ett fält i R3 är konservativt? Kan du beräkna en potential till ett konservativt fält, en vektorpotential till ett källfritt fält? Hur hittar man största/minsta värdet av en funktion på kompakta och på icke kompakta mängder? Under bivillkor? Kan du bevisa/tillämpa Lagrange multiplikatormetod? Räkna instud.uppg. 6 (hela!) |
| må 1/3: Vi räknar
exempel till max-min-problem. Vi definierar karakteristikor till en PDE och
visar hur
man kan beräkna dem. on 3/3: Till sist diskuterar vi när och hur man får derivera under integraltecken, ex.: gammafunktion, Laplace- och Fouriertransform. Sedan börjar vi att repetera genom att räkna ö-uppgifter och tentauppgifter från fjolårets tentor (baklänges: 10-01-14, 09-08-25 osv.), det fortsätter vi med to 4/3 och fr 5/3 (10-12 i HB3, obs!). PB: 4, 5.1, PDE | viktigt: Vad är och hur fås en karakteristisk koordinat för en PDE? När får man derivera under integraltecken (ffa då integralen är generaliserad)? Räkna instud.uppg. 3b, 2b2, kap 4 ö 10 Räkna tentorna 10-01-14, 09-08-25, 09-03-12 (innan de demonstreras) och äldre tentor, se Tentor |