Integrerande faktor

Man kan använda tekniken med integrerande faktor för att lösa ODE av formen:

y'(x) + g(x) y(x) = h(x)

Antag att G är en primitiv funktion till g, så att G' = g. Vi kan då skriva om DE enligt:

där exp(G) = e^G (för att texten skall bli lite läsligare).

Om man inte kommer ihåg riktigt hur det var kan man ju testa sin omskriving. Låt oss testa formeln ovan. Först vänsterledet:

(y exp(G) )' = y' exp(G) + y exp(G) G' = y' exp(G) + y exp(G) g = (y' + y g) exp(G) = (y' + g y) exp(G)

Så det gäller alltså att (y' + g y) exp(G) = h exp(G) eller y' + g y = h (eftersom exp(G) aldrig är noll) vilket är vår ursprungliga DE.

För att lösa (y exp(G) )' = h exp(G) integrerar vi båda leden och får (integral står för integrationen)

y exp(G) = integral(h exp(G))    så att     y = exp(-G) integral(h exp(G)).

Tyvärr finns det ingen allmän formel för att integrera h exp(G).

Exempel. Problemet är ett delproblem som uppstår när man löser en partiell DE (uppgift 4 på omtentan 060901, som jag sitter och rättar just nu). Det var många missar på delproblemet.

Lös DE:    x y' + y = x, x > 0. Man kan vara lite listig och direkt se att x y' + y = (x y)' , men låt oss använda tekniken ovan. Vi får då först skriva om DE på standardformen, y' + g y = h, dvs. i vårt fall: y' + y / x = 1. Så g(x) = 1 / x och G(x) = ln x. exp(G(x)) = exp(ln x) = x så

(y x) ' = 1 · x

Integrera: y x = x² / 2 + C så att y = x / 2 + C / x. Många som missade på tentan hade kunnat rädda några poäng om de kontrollerat sin lösning. Vi testar nu y = x / 2 + C / x.

y' = 1 / 2 - C / x² så att x y' + y = x / 2 - C / x + x / 2 + C / x = x

vilket stämmet med högerledet.