CHALMERS/Göteborgs Universitet
Matematik

MVE100 Transformer och differentialekvationer för M3/M4 vt 2007

Kurs-PM

• Series and Transforms, compiled by B. Behrens, J. Madjarova, Pearson Custom Publication (utdrag ur G. James: Advanced Modern Engineering Mathematics 3rd ed.); kap. 2,4,5. Säljs på Cremona.
• Eriksson-Fant-Holmåker: Differentialekvationer och egenvärdesproblem, kompendium, Matematiska institutionen, CTH. Säljs på DC.
• J. Södersten: Mathematica -5! en introduktion. Hämta här

Kursens syfte
Kursen avser att ge grundläggande kunskaper om olika transformer (Fouriertransform, Laplacetransform och Fourierserier), som är betydelsefulla verktyg vid lösandet av differentialekvationer liksom vid systemanalys och signalbehandling. Kursen skall ge en teoretisk grund för metoderna och en färdighet i att tillämpa dem på konkreta problem rörande till exempel dynamiska system (mekaniska, elektriska eller av annan natur) och svängningar i olika situationer.

Examination
Examination för godkänt och betyg 4 sker med inlämningsuppgifter (av såväl praktisk som teoretisk natur) samt diskussion om dessas lösningar. Examination för betyg 5 innefattar dessutom en teoritentamen efter överenskommelse med examinator.

Undervisning
Lektioner: måndagar 10-12 och onsdagar 13-17 i rum MVL23 i matematikhuset. Kursen startar måndagen den 22/1 kl. 10.00 i MVL23.

Innehåll
Vi börjar med en allmän diskussion av linjära system av differentialekvationer. Här används matrismetoder, och bl.a. introduceras matrisexponentialfunktionen.

Därefter studeras Laplacetransformen, som har den goda egenskapen att derivering motsvaras av multiplikation med variabeln på transformsidan. Detta gör Laplacetransformen synnerligen lämplig i samband med linjära differentialekvationer med mer eller mindre komplicerade högerled. Laplacetransformen förutsätter kännedom om begynnelsevärden och är därför särskilt användbar vid studiet av kausala dynamiska system.

I sådana här sammanhang används ofta steg- och impulsfunktioner, varför vi bekantar oss med dessa.

För problem som inte är av begynnelsevärdeskaraktär finns andra metoder. För periodiska funktioner används trigonometriska Fourierserier, både i cosinus-sinus-form och i komplex form. Vi studerar bl.a. svängningsekvationen My'' + Cy' + Ky = f(t), där f(t) är en periodisk funktion. Den som kan j-omega - metoden kommer att känna igen sig.

Den komplexa Fourierserien leder naturligt till Fouriertransformen, som används vid icke-periodiska förlopp. Detta leder till en diskussion om hur signaler kan delas upp i olika frekvenskomponenter. Vi studerar sedan dynamiska system i den form de uppträder exempelvis i reglerteknik. Vi undersöker några egenskaper hos dynamiska system som gör det enkelt att bestämma systemets utsignal vid given insignal. Begrepp som impulssvar och frekvensöverföringsfunktion diskuteras, liksom systemets filteregenskaper. För kausala system och kausala signaler kan Laplacetransform användas, och systemet kan beskrivas med en överföringsfunktion.

Vi fortsätter sedan med att undersöka kopplade odämpade svängningar. Först skall vi se hur man bestämmer ett sådant systems egensvängningar och egenvinkelfrekvenser med hjälp av matrismetoder, därefter skall vi undersöka svängningsekvationen allmänt. I svängningsekvationen är M , C och K matriser, y(t) och f(t) är vektorer. Här kommer vi att kombinera metoder från de tidigare momenten med matristekniken. Vi skall också se hur man i praktiken kan bestämma en svängnings frekvenser med hjälp av Matlabs program för diskret Fouriertransform fft. (Här är ett komplement till bokens behandling av diskret Fouriertransform.) Även dämpade kopplade svängningar kommer att behandlas.

Nästa moment är egenvärdesproblem för differentialoperatorer. De tekniska eller fysikaliska problem, som vi har som mål att lösa är Eulers olika knäckningsfall, svängningar i en sträng, svängningar i en balk, värmeledning, diffusion mm. Här kommer vi åter tillbaka till Fourierserierna. För vissa tillämpningar behöver vi emellertid en lite allmännare syn på dessa serier. I slutet av kursen kommer vi därför att studera utveckling i allmänna ortogonalserier.

Inlämningsuppgifter
De första tre inlämningsuppgifterna är delvis datorövningar med syfte bl.a. att ge viss kunskap om Mathematica. Den fjärde inlämningsuppgiften har mer karaktären av hemtenta. Givetvis tillåter jag samarbete, men den personliga insatsen är ett krav och för att nå kursens mål måste var och en arbeta mycket aktivt med uppgifterna, de är inte enkla men lärorika. Lösningarna illustreras lämpligen med hjälp av Matlab/Mathematica.

Kursens mål
Arbetet med kursen skall leda till att du behärskar ett antal olika "verktyg". Dessa används i många tillämningar. För att kunna lösa inlämningsuppgifterna behöver du behärska de flesta.

• Lösning av differential-integralekvation med hjälp av Laplacetransformering.
• Bestämning av egensvängningar och egenvinkelfrekvenser till ett dynamiskt system som beskrivs med ett system av linjära differentialekvationer.
• Bestämning av ovanstående systems svängning vid påtvingad rörelse.
• Bestämning av överföringsfunktion, frekvensöverföringsfunktion samt svar till given infunktion till ett dynamiskt system.
• Bestämning av egenvärden och egenfunktioner till differentialoperatorproblem.
• Lösning av partiell differentialekvation med variabelseparationsmetoden.

• Utveckling av en funktion i Fourierserie. (Trigonometrisk, komplex, sinus- eller cosinusutveckling.)
• Laplace- eller Fouriertransformering av given funktion.
• Inversa problemet till ovanstående.

Preliminär tidsplan.