Aktuella meddelanden
Välkomna till kursen! Kursens schema finns i TimeEdit.
2020-08-24: Här är tentan från den 24/8, med lösningar.
2018-09-06: Här är tentan från den 27/08, samt lösningar.
2018-01-08: Här är tentan från den 19/12, med lösningar.
2018-01-08: Jag har flyttat från Göteborg. Julia Brandes har tagit över examinatoransvaret på kursen.
2017-11-23: Tyvärr måste jag flytta granskningen igen: kl. 12:30-13:00, tisdagen den 28/11.
2017-11-22: Tentamengranskning har flyttat: kl. 12:30-13:00, fredagen den 24/11, sal MVL15. Om ni vill komma på torsdagen istället, skicka mig ett mejl!
2017-11-10: Här är tentan från den 24/10, med lösningar.
2017-10-17: Veckoprogrammet och sammanfattningen av kursen är uppdaterade.
2017-10-11: Alla länkar till gamla tentor och lösningar fungerar igen.
2017-10-04: Viktigt! Torsdag den 5 oktober är sista dag att anmäla sig till tentorna som ges för läsperiod 1.
2017-10-02: Texten av skrivuppgift finns i PingPong under Skrivuppgift.
2017-10-01: Det finns schemaändringar i vecka 41 och 42.
2017-09-01: Anteckningarna är online under programmet.
2017-08-28: Studentrepresentanter.
2017-08-25: Kurshemsidan är klar. Men det detaljerade veckoprogrammet och sammfattningen kommer att uppdateras successivt vecka för vecka.
2017-08-11: Kurshemsidan är preliminär.
Lärare
Kursansvarig:
Orsola Tommasi, orsola vid chalmers.se. Sitter i rum H5024 på Matematiska Vetenskaper, telefon: 772 1048.
Kurslitteratur
David C. Lay: Linear Algebra and its applications
(4:th edition), Pearson/Addison-Wesley. Även upplaga tre och fem bör fungera bra.
Rättelser till facit i utgåva fyra (och fem).
Matlablitteraturen under avsnittet om datorlaborationer är avsedd
som stöd för laborationerna och kommer inte att direkt utnyttjas i
undervisningen.
Engelsk-svensk ordlista med översättning från engelska till svenska av
de viktigaste begreppen i kursen.
Observera att tentamen ges på
svenska, så du behöver kunna de svenska namnen på de grundläggande
begreppen.
Meddela mig om du saknar något i listan!
Program
Föreläsningar
Avsnitt 1.1-1.4 har ni läst i introkursen TMV125, därför är det att betrakta som repetition, och jag kommer att gå igenom det snabbare. Programmet kommer att i stort sett följa programmet av 15/16 och 16/17.
Datum | Avsnitt |
Innehåll |
---|---|---|
28/9 |
1.1 - 1.3 |
Linjära ekvationssystem, radreduktion och trappstegsmatriser, vektorekvationer. |
30/9 |
1.3 - 1.4 |
Forts vektorekvationer, spann, matrisekvationer. |
31/8 |
1.5 - 1.7 |
Lösningsmängder och tilllämpningar av linjära system. Linjärt oberoende. |
4/9 |
1.7 - 1.9 |
Forts linjärt oberoende. Linjära avbildningar. Matriser till linjära avbildningar. |
6/9 |
1.9, 2.1 |
Forts matriser till linjära avbildningar. Matrisoperationer. |
7/9 |
2.2 |
Inversen till en matris. |
11/9 |
2.3-2.4 |
Karakterisering av inverterbara matriser. Uppdelningar av matriser. |
13/9 |
2.5, 2.8 | LU-faktorisering av matriser, underrum av R^n |
14/9 |
2.9, 3.1 |
Dimension, rang, determinanter |
18/9 |
3.1-3.3 |
forts determinanter |
20/9 |
4.1 - 4.3 |
Vektorrum, underrum, linjärt oberoende mängder, baser |
21/9 |
4.4 - 4.5 |
Koordinatsystemer, dimension |
2/10 |
4.5 - 4.7, 5.1 |
Rang av en matris, basbyten, egenvärden och egenvektorer |
4/10 |
5.1 - 5.2 |
Forts egenvärden och egenvektorer, karakteristik ekvation |
5/10 |
5.2 - 5.3 |
Forts karakteristik ekvation, diagonalisering |
11/10 |
5.4, 5.7 |
Egenvektorer och linjära transformationer, tillämpningar på differentialekvationer |
12/10 |
6.1 - 6.3 |
Inre produkt, längd, ortogonalitet, ortogonala mängder |
13/10 |
6.3 - 6.5, 7.1 - 7.2 |
Ortogonala projektioner, Gram-Schmidtprocessen (QR-faktorisering: bara definition), minsta-kvadrat-metoden diagonalisering av symmetriska matriser, kvadratiska former |
v. 42 |
Reserv/repetition |
Anteckningar:
vecka 1 - vecka 2 - vecka 3 - vecka 4 - vecka 5 - vecka 6 (del 1) - vecka 6 (del 2) - vecka 7
Rekommenderade övningsuppgifter
Börja gärna med att göra Practice Problems i varje avsnitt, för att se om du behärskar grunderna (dessutom finns det lösningar till dem). De flesta av uppgifterna nedan kräver inga långa räkningar, utan handlar mer om förståelse av begreppen. De lite svårare uppgifterna är för överbetygsnivå.
Avsnitt |
Uppgifter |
---|---|
1.1 |
4, 7, 19, 22-25, 33 |
1.2 |
1, 3, 13, 15, 19, 21, 22,
24, 29, 30, 33 |
1.3 |
1, 3, 7, 9, 11, 15, 21, 23,
24 |
1.4 |
1, 3, 7, 9, 15, 21, 23, 24,
29, 31 |
1.5 |
5, 17, 21, 23, 24, 26, 28,
37 |
1.6 |
13 (gör 3 om ni vill) |
1.7 |
1, 5, 9, 15, 21-25, 31 |
1.8 |
5, 7, 9, 11, 19, 21, 22,
25, 31, 33 |
1.9 |
1, 3, 6, 11, 17, 23, 24, 25, 35 |
2.1 |
1, 3, 7, 9, 15, 16 |
2.2 |
3, 6, 7, 9, 10, 13, 17, 18, 29, 31. Lite
svårare: 33. |
2.3 |
1, 3, 11, 12, 13. Lite svårare: 16, 17, 23. |
2.4 |
1, 5, 21, 25 |
2.5 |
1, 7, 9, 15 |
2.8 |
1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23,
25, 28, 29, 30 |
2.9 |
1, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 18, 19-21, 23 |
3.1 |
3, 9, 15, 19, 20, 21, 37. |
3.2 |
1, 3, 5, 7, 11, 15, 19, 21, 25, 28, 29. Lite svårare: 31, 32, 36 |
3.3 |
19, 23, 27. Lite svårare: 32 |
4.1 |
1, 3, 5, 7, 13, 15, 17, 21. Lite svårare:
33 |
4.2 |
3, 7, 13, 17, 21, 25. Lite svårare: 31, 35 |
4.3 |
1, 2, 5, 6, 13, 19, 21, 23, 33 |
4.4 |
1, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 27 |
4.5 |
1, 9, 11, 13, 19, 21, 27 |
4.6 |
1, 3, 5, 7, 11, 17, 19 |
4.7 |
1, 3, 5, 7, 11. Lite svårare: 13 |
5.1 |
1, 3, 7, 9, 15, 19, 21, 31 |
5.2 |
1, 7, 9, 13, 15, 21, |
5.3 |
1, 5, 7, 11, 15, 21, 23. Lite svårare: 31 |
5.4 |
11, 13, 15. Lite svårare: 1, 3, 5, 9 |
5.7 |
Lite svårare: 1, 3, 7 |
6.1 |
1, 9, 13, 15, 20, 25. Lite svårare: 29 |
6.2 |
1, 7, 11, 17, 23, 27 |
6.3 |
1, 3, 11, 15, 21 (utom e) |
6.4 |
1, 5, 9, 17 (utom c) |
6.5 |
3, 5, 7, 9, 13, 17 |
7.1 |
1, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 25 (utom d), 29 |
7.2 |
1a, 3, 5, 7, 11, 13 |
Studieresurser
- Den viktigaste resursen är lärarna på kursen. Använd undervisningstiden till att fråga lärarna, speciellt på räkneövningarna. Ställa frågor via e-post är inte alls lika effektivt och lärare har inte alltid tid att besvara utan hänvisar hellre till räkneövningar.
- Mattesupporten är öppen för alla som studerar på Chalmers eller på Naturvetenskapliga fakulteten vid Göteborgs universitet.
- FUNKA hjälper dig som går på Chalmers och har behov av extra stöd pga någon funktionsnedsättning.
Datorlaborationer och övningar med Matlab
Matlab ingår som ett obligatoriskt laborationsmoment i kursen. Syftet med detta moment är att ge ökade insikter i matematiken och hur den kan tillämpas (speciellt med inriktning mot former i rummet). Undervisningen sker huvudsakligen under de schemalagda handledningstillfällena då du förväntas arbeta med laborationsuppgifterna nedan. Vid behov kan vissa inslag i dessa behandlas under föreläsningar. Referenslitteraturen nedan är avsedd som stöd för det enskilda arbetet och kommer inte att direkt utnyttjas i undervisningen.För godkänt på kursen krävs att Matlabmomentet är godkänt vilket innebär att alla de fyra första laborationerna, och minst en av laboration 5 och laboration 6 skall vara godkända. All redovisning sker vid datorn under de schemalagda tillfällena.
Laborationerna görs i grupper om högst 2 personer. Vid
redovisningen ska alla uppgifter till en viss laboration
redovisas samtidigt. Skriv en scriptfil med en cell för varje
uppgift så att du snabbt kan visa att dina lösningar fungerar
och kan förklara din lösning. Kopiering av annans lösning är
plagiering och alltså inte tillåtet. Men det är helt okej att
hjälpa varandra så att alla förstår hur uppgifterna kan lösas.
Laboration
1 (Matriser och linjära ekvationssystem)
Laboration
2 (Transformationer i R2
och R3)
Laboration
3 (Homogena koordinater, 3d-grafik)
Laboration
4 (Projekt om modellering av glastaket över
innergården på British Museum)
Artikeln av Chris Williams,
taket.zip
Minst en av dessa två skall redovisas (vilken av dem ni väljer är
valfritt):
Laboration
5 (Egenvärdesmetoden för lösningar till linjära system
av ODE)
Laboration
6 (Geometriska konstruktioner)
Referenslitteratur
- Material utvecklat av MV som ger en kortfattad introduktion till Matlab
- MATLAB for Engineers, Holly Moore
Ger en introduktion till Matlab och kräver inledningsvis ingen matrisalgebra. Är utmärkt för självstudier. - MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap, Per
Jönsson
Kräver kunskaper i Matrisalgebra. Innehåller lite mer avancerade övningar och modelleringsuppgifter. Är utmärkt som referenslitteratur/uppslagsbok.
Kurskrav
I kursen behandlas många av de grundläggande
begreppen inom linjär algebra, framförallt linjära
ekvationssystem, matrisalgebra, determinanter, linjära
avbildningar, vektorrum, ortogonala projektioner, minsta
kvadratmetoden, egenvärden, egenvektorer och diagonalisering.
Dessutom ingår en del numerisk linjär algebra tillsammans med
Matlabtillämpningar.
Kursens mål finns angivna i kursplanen.
Här är en sammanfattning av vad du bör kunna för att få godkänt.
Kapitel 1:
- lösa linjära ekvationssystem med Gausseliminering
- förklara hur de olika typerna av lösningsmängder till linjära
ekvationssystem uppkommer och hur de kan beskrivas
- använda sats 1.2 i problemlösning
- gå fram och tillbaka mellan ekvationssystem, vektorekvationer,
och matrisekvationer
- avgöra om en vektor är en linjärkombination av givna vektorer
- avgöra om en vektor tillhör spannet av givna vektorer
- skriva lösningsmängden till ett ekvationssystem på vektorform
- avgöra om en given mängd av vektorer är linjärt beroende eller
linjärt oberoende
- avgöra om en given avbildning är linjär
- bestämma standardmatrisen till en linjär avbildning med hjälp av
kunskap om bilden av enhetsvektorerna
- definitionerna av linjärkombination, linjärt beroende/oberoende,
spannet av en mängd vektorer, och linjär avbildning
- avgöra om linjära avbildningar är injektiva och/eller surjektiva
Kapitel 2:
- addera, multiplicera, och transponera matriser
- använda räknereglerna i satserna 2.1, 2.2, och 2.3 i
räkningar
- definitionen av inverterbarhet för matriser
- använda sats 2.6, 2.7, 2.8 (den utvidgade versionen som
fortsätter i avsnitt 2.9), 2.14, och 2.15 i problemlösning
- beräkna inversen av en matris med hjälp av sats 2.4 och
metoden i exempel 2.2.7
- räkna med blockmatriser
- använda en LU-faktorisering för att lösa ett ekvationssystem
- kunna LU-faktorisera en matris (i det enkla fallet när du inte
behöver byta plats på rader i radreduceringen)
- definition av underrum, kolonnrum, nollrum, bas, dimension och
rang
- avgöra om en given mängd är ett underrum
- hitta kolonnrum och nollrum till en given matris
- avgöra om en given vektor tillhör nollrum/kolonnrum eller inte
- hitta en bas för ett givet underrum
- bestämma dimensionen för ett givet underrum
- hitta koordinater för en vektor i en given bas
Kapitel 3:
- beräkna determinanten av en matris med sats 3.1
- använda sats 3.2, 3.3, och 3.5 för att förenkla
uträkningen av determinanter
- använda sats 3.4 för att avgöra om en matris är inverterbar
- använda sats 3.6 i problemlösning
- lösa problem där determinanten tolkas som area- eller volymskala
i en linjär avbildning
Kapitel 4:
- ge exempel på vektorrum som inte är R^n
- hitta koordinater till vektorer i vektorrum som inte är R^n, och
använda dessa till att avgöra t ex linjärt (o)beroende
- byta bas i R^n, dvs om du har en vektors koordinater i en given
bas ska du kunna ta fram koordinaterna i en annan given bas
Kapitel 5:
- definition av egenvektor och egenvärde till en matris
- bestämma egenvektorer och egenvärden till en matris
- hitta en bas av egenvektorer, om den finns
- diagonalisera matriser
- beräkna potenser av matriser mha diagonalisering
- ta fram matriser för linjära avbildningar i olika baser i R^n
- tillämpa diagonalisering i samband med linjära avbildningar
Kapitel 6:
- definiera och arbeta praktiskt med begreppen: inre produkt,
längd av vektor, avstånd och vinkel mellan vektorer, ortogonalitet, och
ortogonalt komplement
- definiera och arbeta praktiskt med begreppen: ortogonal och
ortonormal mängd, ortogonal och ortonormal bas, ortonormal matris
- räkna ut ortogonala projektioner på underrum
- tillämpa Gram-Schmidt-processen för att få ON-baser
- hitta minsta-kvadrat-lösningar till problem
Kapitel 7:
- definiera begreppen symmetrisk och ortogonalt diagonaliserbar
matris, samt kvadratisk form
- göra en ortogonal diagonalisering av en symmetrisk matris
- gå fram och tillbaka mellan kvadratisk form och motsvarande
symmetrisk matris
- byta variabel i en kvadratisk form för att bli av med de
blandade termerna (som i ex 7.2.4)
För överbetyg ska du också kunna lösa mer komplicerade uppgifter
som kombinerar olika typer av tekniker, resonera kring hur olika
begrepp hänger ihop och över om påståenden är sanna eller falska.
Du ska också kunna bevisa följande satser:
1.8
1.9
2.6
6.4
7.1
- bevisa att nollrum och kolonnrum är underrum (se avsnitt 2.8, sid. 155-156 i uppl. 4)
- avgöra om mängder i ett givet vektorrum som inte är R^n är
underrum (avsnitt 4.1)
- ta fram matriser för linjära avbildningar i olika baser i
allmänna vektorrum (se t ex uppg 5.4.1)
- tillämpa diagonalisering för att lösa linjära system av
differentialekvationer (avsnitt 5.7)
Duggor
Under kursens gång kan du göra sammanlagt fem duggor i
en nätbaserad miljö som kallas MapleTA. Du kan få bonuspoäng
(till godkäntdelen av tentan) som beräknas genom att ta
antalet godkända duggor, dela med två, och avrunda uppåt
till närmsta heltal. Du kan alltså få maximalt tre bonuspoäng
från duggorna.
Dugga 1 är öppen 30/8 - 6/9.
Dugga 2 är öppen 6/9 - 13/9.
Dugga 3 är öppen 13/9 - 20/9.
Dugga 4 är öppen 20/9 - 6/10 (4/10-6/10 under namnet Dugga 4a).
Dugga 5 är öppen 11/10 - 18/10.
Duggorna öppnas/stängs alltid kl 13.00. (Undantag: Dugga 4a stängs kl. 23:59).
Kursdeltagare (som är registrerade!) får tillgång till MapleTA genom Ping-Pong.
Syftet med duggorna är att du ska kunna kontrollera att du kan det som för tillfället är aktuellt i kursen. Ni får gärna hjälpa varann, men det är inte tillåtet att låta någon annan göra duggan åt en, eller att ta hjälp av programvara för att lösa uppgifterna. När du lämnar in duggan intygar du samtidigt att du förstått de svar du lämnat och att du själv kommit fram till dem.
Du kan göra duggan hur många gånger du vill så länge den är tillgänglig. Bästa resultatet räknas. Om du startar om med ett nytt exemplar ser det annorlunda ut än förra gången; uppgifterna är likartade men inte samma.
Du behöver inte vara inloggad hela tiden. Om du vill logga ut under tiden duggan pågår klickar du på "Quit & Save". När du loggar in igen och öppnar duggan har du då kvar ditt exemplar. Observera att du blir automatiskt utloggad efter längre inaktivitet.
För varje uppgift på duggan gäller att du kan kontrollera ditt svar genom att i uppgiften klicka på länken "How did I do?" till vänster.
För att rätta duggan klickar du på "Submit Assignment". Klicka därefter på "View Details" för att se hur det gick på de olika uppgifterna.
På "Class Homepage" (sidan i Maple T.A. där du öppnar duggan) finns länken "Gradebook" under kursnamnet. Om du klickar där kan du se dina registrerade resultat.
Om att skriva i Maple T.A.:
Generellt gäller att du ska skriva dina svar som på en miniräknare. Tänk på att
- skriva kvadratrötter med sqrt: skriv t.ex. \(\sqrt2\) som sqrt(2)
- skriva absolutbelopp med abs: skriv t.ex. \(|x+2|\) som abs(x+2)
- inte skriva decimaltal (som i så fall skulle skrivits med punkt): skriv t.ex. 1/8 och inte 0.125
- i svar ska potenser av heltal som går att räkna ut exakt vara beräknade: skriv t.ex. 81 och inte 3^4 (om inget annat framgår av uppgiften)
För uppgifter som kräver Maple-syntax (där det står: This question accepts formulas in Maple syntax) gäller att
- skriva multiplikation med *: skriv t.ex. x*y och inte xy
- skriva exp(x) och inte e^x; det gäller även om x är ett givet tal, t.ex. skrivs talet e som exp(1)
Tanken med duggorna i Maple T.A. är att underlätta studierna.
Det är tillåtet att ta
hjälp av lärare och andra kursdeltagare. Det är inte
tillåtet att låta någon annan göra duggan åt en, eller att ta hjälp
av programvara för att lösa uppgifterna. När du lämnar in
duggan intygar du samtidigt att du förstått de svar du lämnat och
att du själv kommit fram till dem.
Vi kommer också att ha en skrivuppgift i slutet av kursen, som kan ge två bonuspoäng till tentan. Det är viktigt att öva sin förmåga att framställa matematiska resonemang och modeller skriftligt, därför kan du få en poäng för det matematiska innehållet och en för den skriftliga framställningen. Lösningen ska skrivas som löpande text med fullständiga meningar och utan lösryckta formler. Tänk på hur ni lägger upp lösningen så att den blir så pedagogisk som möjligt. Vi kommer att gå igenom matematiskt språk närmare på en föreläsning. Ni får uppgifterna den 2/10 och skrivuppgiften ska lämnas in på föreläsningen den 11/10.
Examination
För godkänt på kursen krävs dels att det obligatoriska Matlabmomentet är godkänt, dels godkänt på den skriftliga tentan. Betyget på kursen baseras helt på tentamensresultatet. Tentan är på 50 poäng och är uppdelad på en godkänt-del på 32 poäng och en överbetygsdel på 18 poäng. För godkänt på tentan kravs 25 poäng på tentans första del. Bonuspoäng från 2017 räknas med på godkäntdelen (se avsnittet ovan), men maximal poäng på denna del är 32. För betyg 4 eller 5 krävs 33 poäng totalt varav minst 4 på överbetygsdelen, och för betyg 5 krävs 42 poäng totalt varav minst 6 på överbetygsdelen.
Om Matlabmomentet inte är godkänt då tentamensresultatet skall rapporteras till Ladok anses kursen underkänd. Du får lov att tentera, men oavsett resultat kommer tentan att betraktas som underkänd tills Matlabövningarna är godkända. Under förutsättning att de blir godkända innan kursen ges nästa läsår får du ditt resultat rapporterat med betyg enligt nedan. Är de inte godkända innan kursen ges nästa läsår måste du tentera på nytt.
Information om tentamenstider och lokaler finns i Studieportalen.Rutiner kring tentamina
I Chalmers Studentportal kan du läsa om när tentor ges och om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers.
Det är numera obligatorisk anmälan till tentor. Har man inte anmält sig i tid så får man inte tentera.
Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation och kvitto på erlagd kåravgift.
Du kan själv gå in i Ladok, via inloggning i Studentportalen, för att se dina resultat.
Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av
tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan
delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska
sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se
information om öppettider. Kontrollera att Du har fått rätt betyg
och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska
lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.
Granskning vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers
studieexpedition, se
information om öppettider. Eventuella klagomål på rättningen ska
lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.
Kursvärdering
I början av kursen bör minst två studentrepresentanter ha utsetts för att tillsammans med lärarna genomföra kursvärderingen. Värderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.
Se följande mall för Kursvärdering i studentportalen.
Gamla tentor
Omtenta 2017-08-19 samt lösningar.
Omtenta 2016-12-20 samt
lösningar. OBS: Uppgift 3 har tagits bort och godkäntdelen har omskalerats.
Ordinarie tenta 2016-10-25 samt lösningar.
Omtenta 2016-01-04 med lösningar.
Ordinarie tenta 2015-10-27
med lösningar.
Övningstenta
med lösningar.
Omtenta 2015-01-03 med lösningar.
Ordinarie tenta 2014-10-28
med lösningar.
Ordinarie tenta 2013-10-19 med
lösningar.
Omtenta.