Aktuellt
Här är tentan och lösningarna från 17 mars.


För aktuellt schema, klicka på länken TimeEdit ovan.

Schemaändring

Må 9 februari: ingen undervisning på eftermiddagen
Må 2 mars: 8--12 och 13--15, i MVH11 (se planeringen för detaljer)

Lärare
Föreläsare och examinator                 Jana Madjarova, jana@chalmers.se, ankn. 3531

     Biträdande lärare:                                      Éva Fülöp,  evaf@chalmers.se,  ankn. 1494
Kurslitteratur
                             Olof Hanner, Geometri (OH)                            

                             Problemsamling - plan geometri (PPG)

                     Lars-Åke Lindahl, En inledning till geometri (LÅL)
                             Torbjörn Tambour, Euklidisk geometri
                     G. Pólya: How to solve it
                             A. S. Posamentier, S. Krulik: Problem-Solving Strategies for Efficient and Elegant Solutions, Grades 6-12 (finns att låna på MV:s bibliotek)
                     Courant & Robbins: What is Mathematics?   
                             Lars Gårding: Encounter with Mathematics

                             Euklides: Elementa

Läsanvisningar: Förbered dig gärna för varje lektion genom att i förväg titta på de problem som kommer att behandlas. Lös även uppgifterna som rekommenderas för eget arbete (PPG).  Börja tidigt med att läsa boken av Posamentier & Krulik. Tänk på att du någon gång efter lv 3 kommer att hålla ett kort föredrag om en av strategierna. Försök  identifiera problemlösningsstrategierna i de lösningar som görs på tavlan. Var uppmärksam, boken innehåller en del felaktiga resonemang.

Planering
Preliminär plan för kursen (i grova drag)


                lv 1 -- 2 (må, on, fr): Geometri -- ämneskunskaper
   
                lv 3 -- 6 (må, fr): Varje måndag presenteras ett eller flera problem och gruppdiskussioner inleds.
                                             På fredagen (samma lv) presenterar grupperna sina lösningar. Alternativa lösningar och lösningsstrategier diskuteras. Onsdagen i lv 3 är avsedd för självständig laboration med GeoGebra, med kom-igång-handledning 8-9. En gästföreläsning om problemlösningsstrategier i industrin planeras, detaljer kommer senare.

                lv 7 (må, on): Repetition och tillbakablick.
                 
                lv 8 (on)   Presentation över valfritt tema ur förslagsvis What is Mathematics? eller Encounter with Mathematics.

Kursen kommer i stort sett att följa fjolårets kurs, se hemsidan för 2013/2014. Tabellen där kan ses som en preliminär plan för årets upplaga. Tabellen nedan fylls i under resans gång och speglar det faktiska läget. Vid onsdagstillfället lv 3 övar och experimenterar studenterna själva, för att vid ett senare tillfälle visa vad de lärt sig på ett par lämpliga uppgifter ur kursen. Båda tillfällena är obligatoriska, examinationen äger rum framför skärmen vid det andra tillfället.



Lektioner
Dag Kapitel
Innehåll
 19/1
 OH
Satser 1,2,3,4 (med bevis). Elementa: Proposition 1. PPG: 12,13,. Frågor: Proposition 2 i Elementa. Fler kongruensfall? 
 21/1
 OH
Proposition 2. Att avsätta sträckor och vinklar. PPG: 1,2,3. Satser 5,6,7,8,9,10 (med bevis). Antal skärningspunkter mellan cirkel och rät linje. Cirkelskivans konvexitet.
 23/1
 OH
Satser 11,12,13 (med bevis). Saccheris sats (utan bevis). Bisektriser. PPG: 14,5,6. Satser 15,19,20,21. Ekvivalensrelationer - allmänt och exempel. Punkt som skärning mellan linjer. Den oändliga linjen. Olika definitioner av parallellogram och ekvivalens mellan vissa av dem.
 26/1
 OH
Bevis av kongruensfallet v-v-s. Formulering av det "fjärde kongruensfallet". Tangent till en cirkel, koppling till den räta vinkeln med radien. Transversalsatsen (sats 22, utan bevis). Topptriangelsatsen och dess omvändning (med bevis). Likformighetsfallen (satser 24,25,26, läs bevisen själva!). PPG: 9. Pythagoras sats och dess omvändning (satser 27,28, med bevis). Area av en euklidisk triangel och dess samband med likformighet.
 28/1
 OH
Konstruktionsuppgifter - analys, konstruktion, bevis, utredning. PPG: 11. Den euklidiska yttervinkelsatsen, medelpunktsvinkelsatsen, randvinkelsatsen (satser 29,30,31).  Imskrivna och omskrivna fyrhörningar - nödvändiga och tillräckliga (?) villkor (sats 32 mm).
 30/1
 OH
PPG: 15,17,18. Korda-tangentsatsen. Kordasatsen, utvidgning till tangent, "power of a point". Mittpunktnormalers och bisektrisers karakteristiska egenskaper. TRIANGLAR: satser om att de tre mittpunktsnormalerna skär varandra i en punkt; de tre bisktriserna skär varandra i en punkt; de tre höjderna skär varandra i en punkt (sats 43); de tre medianerna skär varandra i en punkt  (sats 40 bevis m.h.a. likformighet, utan vektorer). Omskriven cirkel, inskriven cirkel, tyngdpunkt.
 2/2
 OH
Imskrivna och omskrivna fyrhörningar - tillräckliga (?) villkor. Vidskrivna cirklar. Formler för arean som involverar ovannämnda cirklars radier (satser 35,36,37).  Inskrivna och vidskrivna cirklar - tangenternas längd. Herons formel (sats 38, med bevis). Bisektrissatsen (sats 39, med bevis). Parallellogramlagen. Medianernas längd.
 4/2
 GeoGebra
Inledning. PPG: 25.
 6/2 Presentation av grupparbete 1. Perspektiv och koppling till projektiv geometri. PPG: 24,(25),27,29,41(a)-(d).
 9/2PPG: 41(e)-(h). PPG: 21,28,30.
 13/2Presentation av grupparbete 2. PPG: 46. Konst och matematik. Problemlösning -- strategier vi använt hittills. Val av strategier att presenteras individuellt 20/2.
 16/2Perspektiv: rätt djup m.h.a. likformighet. PPG: 31,(37),33,32,34. Tangent till en cirkel från en punkt utanför denna. Gemensam tangent till två cirklar. Primitiva begrepp och axiom. Incidensaxiomen. Modeller och konsistens. "Mellan".
 20/2Redovisning av GeoGebrauppgifter 8-9. Introduktion till "Att upptäcka och arbeta med elever med specialbegåvning för matematik" 9-10. Individuell presentation av lösningsstrategier.
 23/2Individuell presentation av lösningsstrategier. PPG: 38,42. Ordningsaxiomen. Definition av sträcka, stråle, triangel, vinkel. Exempel på hur ordningsaxiomen används.
 27/2PPG: 59. Presentation av gruppuppgift 3. PPG:39. Kongruensaxiomen. Längd och vinkelmått. Kontinuitetsaxiomet och Arkimedes princip. Parallellaxiom. Påståenden ekvivalenta med det euklidiska parallellaxiomet. Kleins modell och Poincarés modeller.
 2/308--12: Éva Fülöp presenterar sin forskning om problemlösningsstrategier. Diskussion "Att upptäcka och arbeta med elever med specialbegåvning för matematik" Pólyas och hans böcker. Japansk filmad lektion..
Gästföreläsning (13-15): Mats Rahmberg, Volvo, Problemlösning i industrin. OBS! MVH11
 4/3Strategier. PPG: 35,61. Gamla tentauppgifter.
 11/3Presentation av intresseväckande föreläsningar (med Éva Fülöps Matematik 5-klass som åhörare).. Oändligheten och kardinalitet. Induktion. Kongruensräkning.
GeoGebra, se ovan. Installera själva, använd länken
http://www.geogebra.org/cms/
Experimentera gärna.
Kurskrav
Grundkonstruktioner som inte behöver redovisas i en lösning:

Liksidig triangel
Mittpunktsnormal
Mittpunkt på en sträcka
Normal till linje genom en given punkt på eller utaför linjen
Avsätta sträckor/vinklar
Bisektris till en vinkel
Punkter, från vilka en given sträcka syns under en given vinkel

Triangel, givet s-v-s, s-s-s eller v-s-v
Tangent till en cirkel genom punkt på eller utanför cirkeln
Gemensam tangent till två cirklar
Parallell linje till en given linje genom en given punkt
Dela en sträcka i ett antal lika delar

Presentationsuppgifter 
      Veckopresentationer: Uppgifterna görs i grupp (3-4 personer) och presenteras på tavlan. Problemen delas ut ca en vecka i förväg.  Presentationen är informell. Det är viktigt att gruppen visar förståelse och, vid givna lösningar, kan identifiera lösningsmetoden som använts.
      Slutpresentationen i lv 8: Ämnet väljs fritt ur What is Mathematics? eller Encounter with Mathematics. Eventuella egna förslag som inte tas ur dessa två böcker ska godkännas av examinator. Presentationen är 60 minuter lång per grupp. Det går bra att använda krittavla, projektor, modeller ... Den tänkta målgruppen är gymnasieungdomar/nybörjarstudenter med gymnasiekunskaper i matematik.
Examination
För godkänt betyg på kursen krävs godkänt betyg på tentamensskrivningen i geometri samt godkänt betyg på alla presentationer och datorlaborationer. Betyg på kursen är betyget på tentamensskrivningen i geometri. Förutom ren geometri innehåller skrivningen problem, för vilka det krävs att man beskriver olika lösningsstrategier och metoder samt föreslår variationer beroende på åhörarnas intresse- och kunskapsnivå. 
       Betygsgränser vid tentamen: för betyget 3 krävs 20p; för betyget 4 krävs 30p; för betyget 5 krävs 40p.                            

Tentamina
17 Mar 2015 fm V,  17 Apr 2015 fm V,  25 Aug 2015 em J


In Chalmers Student Portal you can read about when exams are given and what rules apply on exams at Chalmers.
At the link Scedule you can find when exams are given for courses at University of Gothenburg.
At the exam, you should be able to show valid identification.
Before the exam, it is important that you report that you want to take the examination. If you study at Chalmers, you will do this by the Chalmers Student Portal, and if you study at University of Gothenburg, so sign up via GU's Student Portal.

You can see your results in Ladok by logging on to the Student portal.

At the annual examination:
When it is practical a separate review is arranged. The date of the review will be announced here on the course website. Anyone who can not participate in the review may thereafter retrieve and review their exam on Mathematical sciences study expedition, Monday through Friday, from 9:00 to 13:00. Check that you have the right grades and score. Any complaints about the marking must be submitted in writing at the office, where there is a form to fill out.

At re-examination:
Exams are reviewed and picked up at the Mathematical sciences study expedition, Monday through Friday, from 9:00 to 13:00. Any complaints about the marking must be submitted in writing at the office, where there is a form to fill out.
Gamla tentor
... Tentamensskrivning mars 2014 och lösningar till den
    Tentamensskrivning mars 2013 och lösningar till den
    Tentamensskrivning mars 2012 och lösningar till den
    Tentamensskrivning augusti 2012 och lösningar till den
    Tentamensskrivning augusti 2013
    Tentamensskrivning augusti 2014 och lösningar till den
    ... och några problem till
... Tentauppgift