Motivation
Källa: xkcd
Vi ska försöka få insikt i varför Eulers identitet ”\(e^{i \pi} = -1\)” är sant. Egentligen ska vi motivera Eulers formel ”\(e^{i \alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha\)” och Eulers identitet fås som ett specialfall då \( \alpha \) sätts lika med \( \pi \).
Approximation till ex
Den reella naturliga exponentialfunktionen \( f(x) = e^x \) kan approximeras med hjälp av potensen \( P(x) = \left( 1 + \frac{x}{N} \right)^N \), där \(N\) är ett jättestort positivt heltal. Se grafen nedan. Den svarta kurvan är grafen till \( f(x) = e^x \), medan den gröna linjen/kurvan är grafen till \( P(x) = \left( 1 + \frac{x}{N} \right)^N \). Värdet på N kan ställas in genom att dra på den röda punkten. Pröva på att ändra värdet på N för att se att \(\left( 1 + \frac{x}{N} \right)^N \) blir en bra approximation av funktionen \( e^x \) då N är stort.
Varför? (OBS: Begreppet ”Gränsvärde” behövs i resonnemanget nedan. Om du inte känner till gränsvärden eller om du inte särskilt är intresserad av en rigorös motivering, så fortsätt gärna med nästa steg.)
Det finns flera olika sätt hur man kan definiera talet e. I den här kursen definierades talet e som den bas i exponentialfunktionen \( f(x) = e^x \) som gör att den tangentlinje till funktionskurvan som går igenom punkten \( (0, 1) \) har riktningskoefficienten lika med \( 1 \). En sådan definition hjälper inte riktigt med att få approximationen som ovan.
Talet e kan också definieras m.h.a. gränsvärden, nämligen \(e = \lim_{k \to \infty} \left(1+ \frac{1}{k}\right)^k\). Det innebär att talet e kan approximeras med potensen \(\left(1+ \frac{1}{k}\right)^k\), där \(k\) väljs vara ett jättestort positivt tal. Ju större värde på \(k\), desto bättre approximation av talet \(e\). Pröva på att räkna ut t.ex. \(\left(1+ \frac{1}{2}\right)^2\) och \(\left(1+ \frac{1}{20}\right)^{20}\) och sedan \(\left(1+ \frac{1}{200}\right)^{200}\) på miniräknaren.
Enligt räknelagarna för gränsvärden är \(e^x = \lim_{k \to \infty} \left(1+ \frac{1}{k}\right)^{kx}\) då \( x > 0 \). När man gör variabelbytet \( N = kx \), d.v.s. \( k = N/x\), då får man att \(e^x = \lim_{N \to \infty} \left(1+ \frac{x}{N}\right)^{N}\). Lite mer arbete behövs för att motivera att samma formel gäller även ifall \( x \le 0\).
Definition av eiα
Vi såg ovan att värdet på ex kan fås som potensen \(\left( 1 + \frac{x}{N} \right)^N\), där \(N\) är ett jättestort tal. På liknande sätt kan man tolka uttrycket \( e^{i \alpha}\), nämligen \[ e^{i \alpha} \approx \left( 1 + \frac{i \alpha}{N} \right)^N, \] där \(N\) är ett jättestort tal. Se på grafen nedan. Man kan dra på den blåa punkten för att sätta värdet på vinkeln \(\alpha\) (obs: grafen är anpassad endast för \( 0 \le \alpha \le \pi\) ). Denna blåa punkt ligger på enhetscirkeln och dess koordinater i det komplexa talplanet ges av uttrycket \( \cos \alpha + i \sin \alpha \). Genom att dra på den röda punkten får man välja värdet på \(N\). Den gröna punkten svarar mot det komplexa tal som fås som potensen \(\left( 1 + \frac{i \alpha}{N} \right)^N\). Ju större värde på \(N\) man väljer, desto närmre ligger den gröna punkten till talet \( \cos \alpha + i \sin \alpha \).
Varför? (OBS: Begreppet ”Gränsvärde” behövs i resonnemanget nedan. Om du inte känner till gränsvärden eller om du inte särskilt är intresserad av en rigorös motivering, så fortsätt gärna med nästa steg.)
Om man beräknade potensen \(\left( 1 + \frac{i \alpha}{N} \right)^N\) direkt genom att multiplicera parentesen med sig själv upprepade gånger, så skulle det bli helt och hållet ohanterbart för stora värden på N. Därför är det rimligt att utnyttja polär form för komplexa tal. Om man nu försöker skriva om talet \(w = 1 + \frac{i \alpha}{N}\) på polär form \(w = |w| (\cos \phi + i \sin \phi)\), så får man att \(|w| = \sqrt{1+\left(\frac{\alpha}{N}\right)^2} \) och \( \phi = \arctan \frac{\alpha}{N} \), alltså \( w = \sqrt{1+\left(\frac{\alpha}{N}\right)^2} \bigl( \cos (\arctan \frac{\alpha}{N}) + i \sin (\arctan \frac{\alpha}{N}) \bigr)\). Då är
\[
w^N = |w|^N \bigl(\cos (N\phi) + i \sin(N \phi)\bigr) = \left(1+\left(\frac{\alpha}{N}\right)^2\right)^{N/2} \bigl( \cos (N \arctan \frac{\alpha}{N}) + i \sin (N \arctan \frac{\alpha}{N}) \bigr).
\]
För att kunna beräkna värdet på
\[
e^{i \alpha} = \lim_{N\to \infty} \left( 1 + \frac{i \alpha}{N} \right)^N = \lim_{N\to \infty} \left(1+\left(\frac{\alpha}{N}\right)^2\right)^{N/2} \bigl( \cos (N \arctan \frac{\alpha}{N}) + i \sin (N \arctan \frac{\alpha}{N}) \bigr),
\]
så behöver man bestämma följande gränsvärden:
\[
\lim_{N\to\infty} \left(1+\left(\frac{\alpha}{N}\right)^2\right)^{N/2} = 1
\quad
\text{och}
\quad
\lim_{N\to\infty} N \arctan \frac{\alpha}{N} = \alpha.
\]
Pröva gärna på att räkna ut värdena på \(\left(1+\left(\frac{\alpha}{N}\right)^2\right)^{N/2}\) och \(N \arctan \frac{\alpha}{N} \) m.h.a. miniräknare där \(\alpha \) är någon fixerad vinkel och \(N\) är ett jättestort tal så att du får se att dessa gränsvärden troligen stämmer.
Anmärkning: Förresten kan det första gränsvärdet härledas från \( \lim_{k\to\infty} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k = e\) medan det andra gränsvärdet kan härledas från \( \lim_{x\to0} \frac{\tan x}{x} = 1\) som i sin tur följer från standardgränsvärdet \( \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1\).
När man bestämt de två gränsvärdena ovan, så kan man bestämma \(e^{i \alpha}\):
\[
e^{i \alpha} = \lim_{N\to \infty} \left(1+\left(\frac{\alpha}{N}\right)^2\right)^{N/2} \bigl( \cos (N \arctan \frac{\alpha}{N}) + i \sin (N \arctan \frac{\alpha}{N}) \bigr) = 1 \cdot (\cos \alpha + i \sin \alpha) = \cos \alpha + i \sin \alpha.
\]
Eulers formel medför Eulers identitet
Ovan har man sett att det är rimligt att definiera \( e^{i \alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha \) (detta samband kallas för Eulers formel) för en godtycklig vinkel \(\alpha \). Således är \[ e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i\cdot 0 = -1. \] (Detta samband kallas för Eulers identitet.)