Uppgifterna i tentan var inte ordnade efter svårighetsgrad utan efter den ordning som vi följde i kursen. Hänvisningar till exempel och testuppgifter nedan gäller huvudboken och man borde ha gått igenom dessa vid sina studier. Hänvisningar till övningar nedan gäller övningsboken: när övningsnumret inte står mitt i parenteser, så handlar det om en rekommenderad övningsuppgift som man borde ha löst under delkursens gång.
Uppgift 1 - Definitionsmängd (3p)
Denna uppgift fokuserade på begrepp som infördes i Kapitel 1, mer specifikt i Avsnitt 1.2. Man behövde komma ihåg att kvadratroten endast är definierad ur icke-negativa tal och att man inte får dividera med noll. Det står tydligt och klart i Kapitel 4 (och det påpekades på föreläsningarna) att den imaginära enheten INTE definieras som \( \sqrt{-1} \) och kvadratroten ur negativa tal förblir odefinierad.
De vanligaste felen/orsakerna till poängavdrag var:
- ingen motivering alls, bara svar angetts
- man krävde att \(3-x \gt 0\). Kvadratroten ur noll är väl-definierad och uttrycket \( \sqrt{3-x} \) stod i täljaren, så noll gick alldeles bra. Det korrekta kravet skulle alltså bli \(3-x \ge 0\).
- bråket förenklades m.h.a. potenslagarna (detta förekom inte särskilt ofta)
- man struntade i definitionsmängden och försökte bestämma inversfunktionen istället. Några började lösa ekvationen ”g(x) = något specifikt tal”, där ursprung av det där talet var oklart.
Relevanta exempel/uppgifter i kurslitteraturen: Testuppgift 1.4. Övning 1.2 och 1.5
Uppgift 2 - Logaritmlagarna (4p)
Denna uppgift fokuserade på samtliga räknelagarna för logaritmfunktionen (inklusive basbyte) och logaritmens definition, d.v.s. Avsnitt 2.7–2.8 i kursboken, eventuellt 2.4–2.5. Man behöver veta att ln beteckar logaritmen med basen e, medan lg har basen 10.
De vanligaste felen/orsakerna till poängavdrag var:
- man kände inte igen basbyteformeln
- man använde falska räknelagar, t.ex. \( \frac{\ln A}{\ln B} = \ln(A-B) \) (och dyl.)
- man beräknade \( \ln e^{10} = 1^{10} \), vilket det inte är. Problemet handlar om räkneoperationers ordning: \( \ln e^{10} = \ln (e^{10}) = 10 \neq (\ln e)^{10} = 1^{10} = 1\).
- man ersatt varje term med ”10 (eller e) upphöjt till den termen” och skrivit att den här ersättningen ger ett tal som är lika med det givna talet. Tänk på att t.ex. \(2\) INTE är lika med \( 10^2 = 100 \), så man kan förvänta sig att t.ex. \( \lg 400 \) INTE är lika med \( 10^{\lg 400} = 400 \).
- man skrev ekvivalenspilar vid uträkningen. Trots att inga poäng har dragits för detta, är det ändå fel. Ekvivalenspilen kan/ska utläsas som ”om och endast om”. T.ex. \( 3 + \lg 4 - \lg 4 \Leftrightarrow 3 \) ska utläsas som ”tre plus 10-logaritmen utav 4 minus 10-logaritmen utav 4 om och endast om tre”. Uppenbarligen är detta ingen riktig svensk mening, vilket antyder att konjunktionen ”om och endast om” (och således ekvivalenspilen) är olämplig. Det korrekta sättet skulle bli \( 3 + \lg 4 - \lg 4 = 3 \), alltså ”är lika med” i stället för ”om och endast om”.
Relevanta exempel/uppgifter i kurslitteraturen: Exempel 2.6, 2.7, 2.15; Testuppgift 2.7, 2.8; Övning 2.18, (2.19), (2.25)
Uppgift 3 - Exponential-, logaritm- och trigonometrisk ekvation (9p)
Denna uppgift fokuserade på egenskaper och räknelagar hos de elementära funktionerna och hur dessa används när man löser olika ekvationer. Ekvation (a) utgick från Avsnitt 2.1–2.2; ekvation (b) från Avsnitt 2.4–2.6; ekvation (c) från Avnitt 3.11–3.12 (eventuellt 3.8)
De vanligaste felen/orsakerna till poängavdrag var:
- De flesta tentanderna struntade helt och hållet i både potens- och logaritmlagarna (trots att man klarat av Uppgift 2) och vågade dividera med noll (trots att man klarat av Uppgift 1).
- (a) Man ersatt varje term med ”ln av den termen”. När man tillämpar logaritmen på ekvationen \( VL = HL \), så får man \( \ln(VL) = \ln(HL) \), vilket vidare kan förenklas m.h.a. logaritmlagarna. Men det finns ingen lag ”\(\ln (A+B) = \ln A + \ln B\)”, så att ersätta varje term (för sig) med ln av den termen är helt fel. (Dessutom funkade strategin ”\( \ln(VL) = \ln(HL) \)” inte i den här ekvationen.)
- (a) Falska potenslagar användes. T.ex. skrev man att \( e^{2x} = e^2 e^x \), vilket det inte är. Potenslagarna ger att \( e^{2x} = (e^x)^2 \) medan \( e^2 e^x = e^{2+x} \).
- (a) Efter att man gjort substitutionen och kommit fram till en andragradare, så skrev man endast en lösning, 5, vilket ledde till \( x=\ln 5 \). Trots att den andra lösningen, -3, var falsk, så behöver man nämna att det finns ytterligare en lösning (som råkar vara falsk). Annars verkar det att man misslyckats lösa andragradsekvationen. Tänk på att alla svar skulle vara väl motiverade.
- (a) Man utförde inte bakåt-substitution och påstod att 5 och -3 är de sökta lösningarna.
- (b) Man ersatt varje term med ”e upphöjt till den termen”. När man tillämpar exponentialfunktionen på ekvationen \( VL = HL \), så får man \( e^{VL} = e^{HL} \), vilket vidare kan förenklas m.h.a. potenslagarna. Men det finns ingen lag ”\(e^{A\pm B} = e^A \pm e^B\)”, så att ersätta varje term (för sig) med ”eden termen” är helt fel.
- (b) Efter att man kommit fram till en andragradare, så skrev man endast en lösning, 2. Trots att den andra lösningen, -4, var falsk, så behöver man nämna att det finns ytterligare en lösning (som råkar vara falsk). Annars verkar det att man misslyckats lösa andragradsekvationen.
- (b) Man kastade inte bort den falska lösningen.
- (b) Fel tecken i pq-formeln.
- (c) \( \tan v = \frac{\cos v}{\sin v} \)
- (c) \( \sin 2v = 2 \sin v\) eller \( \sin 2v = \sin^2 v\)
- (c) Man delade båda leden av ekvationen med \( \sin v \) utan att diskutera fallet att detta blir noll. Kom ihåg att man aldrig får dividera med noll. Det är extra viktigt att tänka på det när man dividerar med ett uttryck som innehåler någon variabel. Det finns två (kanske fler) möjliga sätt hur man kan gå tillväga korrekt:
- Överför alla termer till ena ledet av ekvationen så att det är noll på andra ledet. Bryt ut den gemensamma faktorn \(\sin v\). En produkt är lika med noll om och endast om en av faktorerna är lika med noll. Man uppdelar lösningen i två fall - den ena faktorn är lika med noll, eller den andra faktorn är lika med noll. Man får alltså två grenar och båda grenarna ger någon lösning.
- Det andra korrekta sättet för att hantera ekvationen där man vill dela med \( \sin v \) är att uppdela lösningen i två fall:
- \( \sin v = 0 \) - man alltså ersätter samtliga \( \sin v \) i ekvationen med noll och löser ut \(v\) med tanke på att dessa v måste uppfylla \( \sin v = 0 \) (annars är de falska lösningar);
- \( \sin v \neq 0 \) - i så fall får man dividera med \(\sin v \) och lösa ut \(v \) med tanke på att dessa v måste uppfylla \( \sin v \neq 0 \) (annars är de falska lösningar)
- (c) \( \sqrt{2} = 4 \) respektive \( \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \)
- (c) \( \cos^2 v = k \) löstes felaktigt av \( \cos v = \sqrt{k} \) i stället för \( \cos v = \pm \sqrt{k} \).
- (c) Som svar skrev man att \( v = -\pi/4 \) eller \( v = -\pi/4 + 2 k \pi \), där värdet på k inte specificerats. Uppgiften lät att vinkeln v ska ligga mellan \(\pi \) och \(2 \pi \). Man kan säga att \( - \pi/4 \) tillhör den korrekta kvadranten, men det är ändå fel svar eftersom \( - \pi/4 \approx -0,785\) inte ligger mellan 3,14 och 6,28. Inga poäng har dragits i denna tenta om vinkeln låg i rätt kvadrant, men man kan förvänta sig att ett sådant slarvfel kommer kosta poäng i senare matematikkurser.
Relevanta exempel/uppgifter i kurslitteraturen: Exempel 2.8, 2.12, 3.29–3.31; Testuppgift 2.9–2.11. Övning 2.17b, 2.23, 3.34, 3.38
Uppgift 4 - Cosinussatsen (10p)
Rent teoretisk fråga från teorilistan som baserades på Avsnitt 3.4. Deluppgiften (c) var något svårare och representarade teorilistans varning "Det kan dock förekomma andra bevisuppgifter som inte bygger på just teorem i kursboken".
De vanligaste felen/orsakerna till poängavdrag var:
- (a) man skrev en massa (mer eller mindre) relevanta informationer omkring cos:satsen utan att faktiskt formulera satsen
- (a) \(\sin \) i stället för \( \cos \)
- (a) ovanlig beteckning för vinkeln i cos:satsen. T.ex., \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \varphi \). Om man inte säger vad \( \varphi \) är för något, så kan svaret inte godtas trots att man kanske menat rätt. (I detta fall skulle både \(\gamma \) och \( C \) gå bra.) Om man skriver \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha \), så kan svaret inte godtas eftersom det faktiskt är felaktigt ty det framgår från figuren på tentatesen att \( \alpha \) är vinkeln vid hörnet A. (I detta fall skulle man kunna skriva \( \alpha \) endast ifall man ritar en egen figur där \( \alpha \) ligger vid det korrekta hörnet.)
- (c) De flesta tentanderna bevisade cosinussatsen en gång till (med trubbig vinkel), vilket inte alls var det efterfrågade beviset.
- (c) Implikation åt fel håll bevisades. Följande två påståenden är inte likadana:
- Om \( c^2 \gt a^2 + b^2 \), så är vinkeln \( \gamma \) trubbig. (Detta skulle egentligen bevisas.)
- Om vinkeln \( \gamma \) är trubbig, så är \( c^2 \gt a^2 + b^2 \). (Detta bevisades av många studenter.)
- (c) Indirekt bevis (se nedan) var inte fullständigt - ett av fallen fattades.
Man kunde ge ett direkt bevis till (c) som i lösningsförslaget. Det gick lika bra att ge ett indirekt bevis (snarare motsägelsebevis):
- Antag att \( \gamma \) är spetsig. Då får man att \( c^2 \lt a^2 + b^2 \) ur cosinussatsen ty \(\cos \gamma \) är positivt och det subtraheras.
- Antag att \( \gamma \) är rät. Då får man att \( c^2 = a^2 + b^2 \) ur Pythagoras sats.
- Om man nu förutsätter att \( c^2 \gt a^2 + b^2 \) precis som det stått i deluppgiften, så kan \(\gamma \) vara varken spetsig eller rät eftersom det i så fall skulle gälla att \( c^2 \le a^2 + b^2 \). Det enda möjliga fallet som står kvar är alltså att \( \gamma \) är trubbig och således är triangeln ABC trubbvinklig.
Uppgift 5 - Areasatsen, trig:ettan (4p)
Uppgiften utgår från olika problem inom triangelsolvering (Kapitel 3). Uppgiftens formulering uppmanar studenten till att använda areasatsen, fast det är några detaljer som inte är givna men krävs i areasatsen. Tentauppgiften uppkom som förenkling av problemet där alla tre sidor i en triangel är givna och man ska bestämma arean.
De vanligaste felen/orsakerna till poängavdrag var:
- \(\cos\) i stället för \(\sin\) i areasatsen;
- \( \gamma = \frac{3}{5} \), vilket ledde till att \(Arean = 30 \sin\left(\frac{3}{5}\right) \);
- efter att man beräknat \( \sin \gamma = \frac{4}{5} \), så svarade man med att \(Arean = 30 \sin\left(\frac{4}{5}\right) \) som om \( \gamma = \frac{4}{5} \) (vilket det inte var);
- man räknade ut \( c = 8 \) cm och använde detta till att få fram \( \sin \gamma = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} \) utan att motivera att den givna triangeln är rätvinklig;
- trig:ettan användes utan kvadrater, d.v.s. \( \cos \gamma + \sin \gamma = 1 \), vilket ledde till \( \sin \gamma = \frac{2}{5} \).
Den givna triangeln råkade vara rätvinklig, så det gick alldeles bra att räkna ut den tredje sidlängden och sedan visa att \(a\) var hypotenusan (respektive att \( \alpha = 90^\circ \)) och räkna ut arean som produkten av kateternas längder delat med 2.
Relevanta exempel/uppgifter i kurslitteraturen: Exempel 3.2, 3.14; Testuppgift 3.4b, 3.11–3.12. Övning 3.11, (3.26), 3.27
Uppgift 6 - Komplexa tal: binomisk ekvation (6p)
Denna var en verkligen komplex uppgift som utgick från Avsnitt 4.9 (gamla upplagans Avsnitt 3.20). Man skulle förvandla ett komplext tal i rektangulär form till polär form, bestämma tre komplexa tal vars kubik blir det komplexa talet, förvandla dessa tre tal från polär form till rektangulär form. Det handlade alltså om en binomisk ekvation av gradtalet 3.
De vanligaste felen/orsakerna till poängavdrag var:
- \( (z+2)^3 = z^3 + 2^3 \), vilket strider starkt mot kuberingsreglerna;
- man utvecklade \( (z+2)^3 = z^3 + 6z^2 + 12z + 8 \), vilket leder till en ekvation som är olösbar med standardmetoder
- man ansatt \( z = x+iy \) i början och utvecklade \( (x+iy+2)^3 \), vilket leder till en olösbar ekvation
- man bestämde den polära formen av -8i fel (ifall detta var det enda felet i uppgiften, så drogs endast 1 poäng)
- man vågade dividera med noll: argumentet av -8i ”räknades ut” som \( \arctan \frac{-8}{0} \). (Om vinkeln blev korrekt till slut, så drogs inga poäng.)
- man bestämde de tre lösningarna genom att dra kubikroten ur ett komplext tal. Kubikroten är definierad endast för reella tal! Funktionen ”upphöjt till en tredjedel” är definierat endast för icke-negativa reella tal! (inga poäng drogs, men det är ändå fel.)
- man la till perioden \( 2 k \pi \) eller \( k \pi \) (sic) efter att argumentet dividerats med 3
- perioden \( 2 k \pi \) i argumentet dividerades inte med 3 utan med något annat tal
Det gick bra att lösa den här ekvationen genom att ansätta \( z + 2 = a + ib \), utveckla \( (a+ ib)^3 \) och sedan identifiera realdelarna och imaginärdelarna i den uppkomna ekvationen \( a^3 - 3ab^2 + i(3a^2b - b^3) = -8i \). Det var ett par tentander som började med en sådan lösning fast de inte klarade av den. Man skulle kommit fram till en ekvation där en produkt är lika med noll. På liknande sätt som i Uppgift 3c behöver man uppdela lösningen i två fall - antingen den ena faktorn är lika med noll, eller den andra faktorn är lika med noll. Alla de studenterna som försökte genomföra det här lösningssättet dividerade ekvationen med ett uttryck som innehöll variabel utan att tänka på att man aldrig får dividera med noll.
Relevanta exempel/uppgifter i kurslitteraturen: Exempel 4.23 (gamla upplagans 3.45); Testuppgift 4.11, 4.12, 4.16 (gamla upplagans 3.19, 3.20, 3.24); Övning 4.23, 4.24, 4.27, 4.28, (4.29) (gamla upplagans 3.40–3.41, 3.45–3.47);
Uppgift 7 - Enkla gränsvärden med algebraisk förenkling (6p)
I den här uppgiften behövde man beräkna gränsvärden som svarade mot de obestämda uttrycken ”\( \frac{0}{0} \)” samt ”\( \frac{\infty}{-\infty} \)” m.h.a. standardmetoderna som fått ganska mycket utrymme i kursboken (Avsnitt 5.1, 5.2, 5.4).
De vanligaste felen/orsakerna till poängavdrag var:
- (a) parenteser saknades. T.ex. \( (\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+3}) (\sqrt{3x+1} + \sqrt{x+3})\) är INTE lika med \( 3x+1 -x+3 = 2x + 4 \) UTAN med \( (3x+1) - (x+3) = 2x-2\).
- (a) \(\frac{0}{0} = 0\)
- (a) man multiplicerade ihop (och utvecklade) täljaren med nämnarens konjugat, respektive nämnaren med täljarens konjugat. På så sätt skulle man få helt ohanterbara uttryck. Det finns inget behov att utföra denna multiplikation eftersom konjugaten inte skapar några problem med gränsvärdesövergången.
- (b) \( \sqrt{9x^2 + 2} = 3x + \sqrt{2} \) (eventuellt \(3|x|+\sqrt{2}\)). Det finns ingen räknelag som säger \( \sqrt{A \pm B} = \sqrt{A} \pm \sqrt{B} \). Det finns PRECIS EN typ av kontinuerliga reella funktioner som uppfyller \( f(A+B) = f(A) + f(B) \), alltså att funktionen får tillämpas på varje term för sig i stället för på hela uttrycket: INTE exponentialfunktionen (se Uppgift 3a), INTE logaritmfunktionen (se Uppgift 3b), INTE de trigonometriska funktionerna (Uppgift 3c), INTE kuberingen (se Uppgift 6), och INTE kvadratroten heller. Det är endast linjära funktioner (med konstant term lika med 0) som får tillämpas termvis. För alla andra funktioner behöver man utgå från deras respektive räknelagar.
- (b) parenteser saknades, d.v.s., \( (x+2)^2 - (x-1)^2 \) är INTE lika med \( x^2 + 4x + 4 - x^2 - 2x + 1 = 2x + 5 \) UTAN med \( (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 2x + 1) = 6x+3\).
- (b) \(\frac{\infty}{\infty} = 1\)
- (b) man skrev \( \sqrt{x^2} = x\) i stället för \(|x| \), vilket skulle förenklas till \( -x \)
- (b) man ersatt \( \sqrt{x^2} \) med \(x \) för positiva \( x \) och med \( -x \) för negativa \(x\) och då fick man två olika gränsvärden beroende på om \( x \) var positivt eller negativt. Man borde nog ha insett att \(x\) är negativt då det närmar sig minus oändligheten...
- (b) \( \frac{3}{6} = \frac{1}{3} \) (detta fel förekom förvånansvärt ofta)
Relevanta exempel/uppgifter i kurslitteraturen: Exempel 5.10, 5.17–5.18; Testuppgift 5.1, 5.4, 5.5, Övning 5.1, 5.6, 5.7
Uppgift 8 - Svåra gränsvärden med instängningssatsen och variabelbyte (4p)
Detta var en svår uppgift som utnyttjade teorin från kapitel 5 (framförallt Avsnitt 5.2), vilken dock inte använts i kursbokens exempel och räkneuppgifter (eller bara lite grann).
De vanligaste felen/orsakerna till poängavdrag var:
- \( \sin \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\sin 1}{x} \) eller \( \sin \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\sin}{x} \)
- (a) man utnyttjade instängningen \( -x \le x \sin (\frac{1}{x}) \le x \), vilket bara gäller för positiva \(x \)
- (a) man försökte byta variabel \( z = \frac{1}{x} \) utan att bestämma vart \(z \) skulle vara på vägen i gränsvärdet. Om \( x \to 0^+ \), så \(z \to \infty \). Om \( x \to 0^- \), så \(z \to -\infty \). Om man bara insett att \(z \) skulle närma sig oändligheten (vare sig positiva eller negativa), så skulle det bli glasklart att variabelbytet inte kan funka här
- (a) man försökte anpassa standarddubbelolikheten \( \cos v \le \frac{\sin v}{v} \le 1 \) till uppgiftens gränsvärde, vilket inte kunde funka eftersom vinkeln \(v\) som äts av sinusfunktionen behöver vara (pytte)litet, nämligen \(-\frac{\pi}{2} \lt v \lt \frac{\pi}{2} \). Gränsvärdet i deluppgiften (a) hade x gående mot noll, vilket gjorde att 1/x var jättestort, så vinkeln som kommer in i sinusfunktionen är jättestort.
- (b) man blandade ihop variablerna efter variabelbyte. När man substituerar \(x\) mot \(z = \frac{1}{x}\) så måste samtliga x:en ersättas med några z-uttryck. Det går inte bra att ha både x och z kvar
- (b) man bestämde inte vart \(z \) var på vägen i gränsvärdet. Om \( x \to \infty \), så \( z \to 0^+ \).
Det var faktiskt möjligt att använda sig av instängningssatsen i deluppgiften (b) också genom att anpassa dubbelolikheten \( \cos v \le \frac{\sin v}{v} \le 1 \) så att det blev \( \cos \frac{1}{x} \le x \sin \left(\frac{1}{x}\right) \le 1 \).
Relevanta referenser till kurslitteraturen: Instängningssatsen formuleras i Avsnitt 5.2 (se också tryckfelslistan) och den används i beviset av \( \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \) i Avsnitt 5.3; Variabelbyte används i Exempel 5.11, 5.15a; Testuppgift 5.3; Övning 5.4.
Uppgift 9 - Kontinuitet (4p)
Uppgiften handlade om kontinuiteten av reella funktioner, vilket är ett centralt begrepp inom matematisk analys och behandlades i delkursens slut (Avsnitt 5.6). Kontinuiteten skulle studeras m.h.a. ensidiga gränsvärden (Avsnitt 5.5). I den här uppgiften var det inte riktigt några vanligaste fel. Antingen visste man hur man gör och då blev det fullpoäng (eller kanske några poäng dragits p.g.a. smärre räknefel) eller så hade man ingen aning och då var det bara gallimatias.
Relevanta exempel/uppgifter i kurslitteraturen: Exempel 5.25, 5.32; Testuppgift 5.7, 5.8; Övning (5.16), 5.17