Som bekant är det i många sammanhang otillräckligt att begränsa sig till reella tal; det är det komplexa talområdet som är det naturliga. Till exempel är rötterna till algebraiska ekvationer ofta komplexa. Det är fördelaktigt att arbeta med komplexa periodiska signaler ejwt i stället för de reella cos wt och sin wt. Detta leder sedan vidare till studiet av icke-periodiska signaler, där Fourier- och Laplacetransformer är viktiga verktyg. Dessa kan inte förstås och utnyttjas till fullo, om man inte behärskar komplex analys.
Denna kurs behandlar komplex analys, varmed förstås derivering och integrering av komplexvärda funktioner av en komplex variabel. I kursen ingår den grundläggande teorin jämte tillämpningar på fältteori och signal- och systemteori.
Ytligt sett finns det likheter mellan reell och komplex analys (t.ex. ser deriveringsreglerna likadana ut), men skillnaderna visar sig vara fundamentala. Många av de grundläggande satserna i den komplexa analysen saknar motsvarighet i den reella analysen. (Även där någon motsvarighet finns, är den komplexa versionen ofta den ''rätta'', t.ex. i fråga om Taylorutvecklingar.) Detta beror på att en reell variabel x är endimensionell, medan en komplex variabel z=x+iy är ett tvådimensionellt objekt. Därför spelar (plan) geometri en viss roll i samband med komplex analys. De elementära funktionerna förstås också bäst i det komplexa sammanhanget. T.ex. är det först där som man förstår att trigonometriska och hyperboliska funktioner bara är två sidor av samma sak.
En analytisk funktion är en funktion, som är komplext deriverbar. Real- och imaginärdelarna till analytiska funktioner visar sig vara harmoniska, dvs. de är lösningar till Laplaces ekvation. Denna mycket viktiga ekvation dyker upp i många sammanhang. Några storheter som beskrivs av Laplaces differentialekvation är elektrostatisk potential, hastighetspotential för strömmande vätskor, stationär temperaturfördelning, utbuktningen hos ett membran, osv. Användning av analytiska funktioner är en viktig lösningsmetod för plana potentialproblem.
Ett annat tillämpningsområde är signal- och systemteori. Vid analysen av linjära system (filter) är Fourier- och Laplacetransformer viktiga hjälpmedel. När det gäller Laplacetransform är det väsentligt att transformvariabeln s är en komplex variabel. Ett filters egenskaper bestäms nämligen av överföringsfunktionens uppförande i det komplexa planet.
Kursens mål: Teknologen skall efter genomgången kurs
Kurslitteratur:
A. D. Wunsch, Complex Variables with Applications,
Addison-Wesley, 3d ed., 2004.
Utdelat material: Laplacetransform, Hilberttransform,
kausala filter, m.m.
Föreläsare och examinator: Lyudmila Turowska, tel.: (772)5341, e-mail: turowska@math.chalmers.se
Övningsledare:
| (a) | Lyudmila Turowska |
| (b) | Kjell Holmåker |
| (c) | Johan Karlsson |
Kurs-PM m.m. finns på nätet på adress
http://www.md.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tma035/0405/
Tider och lokaler:
| Föreläsningar: | tisdagar 10-12 i HC3, ändrat till PS (Palmstedssalen) |
| fredagar 13-15 i HC3, ändrat till HC4 | |
| Övningar: | måndagar 8-10 i ES51-53 (ej v. 1) |
| onsdagar 13-15 i ML2-4 |
Examination: Obligatoriska inlämningsuppgifter (Matlab)
och en skriftlig tentamen (kombinerad problem- och teoriskrivning).
Här finns mer information om tentan
och en lista med teorifrågor. Övningsskrivning som kan ge
bonuspoäng på sluttentan.
Inlämningsuppgift 1 Ett
tryckfel på sidan 2, 3e raden från botten: det skall vara (w-w_0)/(w-\bar
w_0)=h(w) istället för (w-w_0)/(w-z_0)=h(w)
Inlämningsuppgift 2. Det
blir ingen Inlämningsuppgift 2!!!!
Inlämningsuppgifterna bör lämnas in före kursens slut. Utan klara
inlämningsuppgifter kan inget betyg ges på kursen, även om tentan är godkänd.
Övningsskrivning: 25/9 2004 kl. 13.00-15.00 i
V-huset. Omfattning t.o.m. avsnitt 4.4 (Cauchy-Goursats sats)
plus 8.1-8.4 (avbildningar).
Tentamen: 19/10 2004 em i V-huset.
Omtentamen: 13/01 2005 fm i V-huset.
Hjälpmedel på tentamen: Beta.
lösnigsförslag till tentamenskrivningen 2004-10-19.
Preliminärt program för föreläsningarna:
| Datum | Avsnitt i boken | Stoff |
|---|---|---|
| Ti 2/9 | (Kap. 1); 2.1-2.4 | (Komplexa tal); den komplexa derivatan |
| Fr 5/9 | 2.5-2.6; 3.1-3.4 | Harmoniska funktioner; elementära funktioner |
| Ti 9/9 | 3.4-3.8 | Elementära funktioner |
| Fr 12/9 | 8.1-8.4 | Konforma avbildningar; Möbiusavbildningar |
| Ti 16/9 | 4.1-4.3 | Integration, Cauchys sats |
| Fr 19/9 | 4.4-4.6 | Cauchys integralformel med tillämpningar (maximumprinc. m.m.) |
| Ti 23/9 | 5.4-5.6 | Taylor- och Laurentserier |
| Fr 26/9 | 5.7, 6.1-6.2 | Nollställen, singulära punkter, residusatsen |
| Ti 30/9 | 6.3-6.8 | Residukalkyl, beräkning av integraler |
| Fr 3/10 | 4.7, 8.5-8.7 | Potentialproblem, Poissons integralformel, konform avbildning |
| Ti 7/10 | 6.12, 5.8 | Argumentprincipen, Rochés sats; z-transformer |
| Fr 10/10 | 7.1-7.2 | Linjära system, kausalitet, stabilitet; |
| Laplacetransform m.m. | Fouriertransformer, Laplacetransformer | |
| Ti 14/10 | Laplacetransform m.m. | Hilberttransformer m.m. |
| Fr 17/10 | Reserv |
På föreläsningarna visas ibland några OH-bilder.
Dessa finns tillgängliga här som pdf-filer:
OH-bilder till kap. 1-2
OH-bilder till kap. 3 och 8
Preliminärt program för räkneövningarna:
| Datum | Demonstration | Självverksamhet |
|---|---|---|
| On 1/9 | 1.4:26, 33a, 34; 2.3:13; 2.4:4 | 1.4:23, 27, 31, 20, 33b; 2.3:12 |
| Må 6/9 | 2.4:15--17; 2.5:11, 13, 14; 3.1:27 | 2.4:18; 2.5:9 |
| 0n 8/9 | 3.2:17, 26; 3.5:9, 13, 14 | 3.1:15; 3.4:21,26; 3.5:10 |
| Må 13/9 | 3.8:3, 9, 20; 8.3:3; 8.4:15 | 3.6:14; 3.7:4; 3.8:10; 8.3:9 |
| 0n 15/9 | 8.4:18, 23, 24; 8.3:10; 8.4:34 | 8.4:17, 21, 25, 30, 35 |
| Må 20/9 | 4.2:11; 4.3:21; 4.4:9; 4.5:10; 4.6:5 | 4.2:13, 14; 4.3:12-13; 4.4:11; 4.5:7, 17 |
| 0n 22/9 | 4.6:8; 5.5:19, 21, 27 | 5.5:7, 16, 18 |
| Må 27/9 | 5.6:3, 11, 26; 5.7:14; 6.1:7 | 5.6:4, 9, 13 |
| 0n 29/9 | 6.1:7; 6.3:16, 31 | 6.3:3, 25, 32 |
| Må 4/10 | 6.4:9; 6.5:21; 6.6:5, 22 | 6.4:8, 15; 6.5:20; 6.6:9, 14 |
| 0n 6/10 | 6.8:9; 8.5:3, 9, 11 | 6.8:2; 8.5:4, 10; 8.6:1 |
| Må 11/10 | 7.1:4, 30, 34; 6.12:10, 14 | 7.1:7, 32; 6.12:11, 13 |
| 0n 13/10 | Reserv |
Som ett komplement till övningsprogrammet är här några ytterligare övningsuppgifter, som kan vara lämpliga för egen räkning.
1.4: 18, 15, 35; 1.5:9, 12, 25
2.3:16; 2.4:1, 5, 22, 23; 2.5:10, 15, 20
3.1:16, 26; 3.2::4, 12, 27; 3.4:9, 24, 28
3.5:5, 11, 12; 3.6:12, 21; 3.7:9; 3.8:5, 11
8.4:13, 19
4.2:5, 15; 4.3:19; 4.4:4, 6; 4.5:4, 5, 11; 4.6:1, 2, 14
5.4:7, 14; 5.5:15, 19; 5.6:2, 7; 5.7:3, 5, 11, 13
6.1:8; 6.2:10, 31; 6.3:19, 29; 6.4:7; 6.5:17, 29; 6.6:1, 13, 25; 6.8:3
7.1:8, 9
Nedan finns ett komplement till läroboken:
Laplacetransform, Hilberttransform,
kausala filter, m.m.
Avsnittet om Laplacetransformer ersätter delar av avsnittet 7.1 i boken.