| lv1: Vi fortsätter med förberedande kursen, denna (sista) vecka repeterar vi derivata och tillämpning av derivatan på beräkning av tangent/normal och max/min. Att kunna derivera är förutsättning för allt som kommer!! | viktigt: Att du kan derivera, att du kan bestämma en ekvation för tangent/normal och att du vet hur man bestämmer max/min (dvs var en funktion växer/avtar). Träna så mycket som möjligt, det är väldigt viktigt att du får routin! |
| lv2: må
har vi hela 4 ti matte, vi går igenom "grunderna":
satslogik
och
mängdlära. Vi skapar ett vetenskapligt språk (mha
vardagssvenskan) och
inför många begrepp som vi använder i allt som kommer:
matem. utsaga,
operatorer
mellan dessa (konjunktion, disjunktion, negation, implikation),
mängder
och operatorer mellan dessa (union, snitt, komplement, (symmetrisk)
mängddifferens,
potensmängd, kartesisk produkt). Sedan (ti)
inför vi Boolesk algebra. Vi diskuterar axiomen och visar de
viktigaste räknereglerna, även för XOR-operatorn. Fr skall vi visa att
utsagor/mängder är (exempel på) Booleska algebror och fortsätter med att lära
oss att räkna "algebraiskt" i sådana. Vidare börjar
vi med "bevis". BB och PB:
kap1.1-1.3, 1.12 |
viktigt: Vad menas med "matematisk utsaga"? Hur definieras "och", "eller", "implikation"... för matem. utsagor? Vad är en mängd och hur definieras "snitt", "union", "mängddifferens", "symmetrisk mängddifferens", "delmängd", "potensmängd", "kartesiska produkten av två mängder"? Exempel? Vad är en Boolesk algebra? Exempel (utsagor- mängdalgebra), kan du "räknereglerna"? Hur funkar "induktionsbevis"? |
| lv3: ti,ons
räknar vi exempel på induktion, på indirekt och
på motsägelsebevis. Sedan börjar vi med
"analysen": Först behandlar vi "funktioner": vi ger en "arbetsdefinition" och
exempel,
definierar
sedan injektivitet och den till en funktion inversa
funktionen och monotoni. PB: kap1
(ffa 1.8). fr beskriver vi de reella talen med ordningsrelationen, absolutbelopp med regler, ffa triangelolokheten och börjar med de elementära funktionerna, först ut potensfunktioner (bra exempel på injektivitet). Sedan inför vi det centrala begreppet gränsvärdet: vi ger (och motiverar) definitionen samt variationer och räknar exempel. PB: kap2 |
viktigt: Vad är ett direkt, ett indirekt, ett motsägelsebevis? Exempel? Kan du räknereglerna för ordningsrelationen? Kan du räknereglerna för absolutbeloppet? Vad är och hur skriver vi upp en funktion? Vad är definitionsmängden resp. värdemängden resp. grafen till en funktion? Vad är Heavisides stegfunktion, funktionen signum? Vad är en växande, en avtagande, en monoton funktion? Vad är en injektiv funktion? Vad är "f invers"? Kan du visa att en strängt monoton funktion är injektiv? Hur definieras potensfunktionerna? Kan du definiera "gränsvärde" (alla variationer: höger-, vänster, då x går mot oändligheten)? |
| lv4: må fortsätter vi med gränsvärdet; vi visar det första standardgränsvärdet (1/x då x går mot 0, resp. mot oändligheten) och visar räkneregler för gränsvärden. Sedan definierar och studerar vi det första speciella gränsvärdet: kontinuitet. ti diskuterar vi viktiga egenskaper av kontinuerliga funktioner (satsen om mellanliggande värden, existens av max/min), sedan börjar vi med det andra speciella gränsvärdet, derivatan: definition och räkneregler. fr härleder vi derivatan av sammansatt, invers och potens- funktion. PB: kap2 och 3. | viktigt: kan du räkna med gränsvärden (reglerna, bevis av reglerna)? Vad är en kontinuerlig funktion? Vilka egenskaper har en kontinuerlig funktion? Vad är en omgivning till en punkt, en inre punkt till en mängd? Vad är en deriverbar funktion? Hur definieras derivatan av en funktion? Vad ger den? Kan du deriveringsreglerna? Bevisa dem? Kan du härleda derivatan av f-invers? Av potensfunktionerna? Är en deriverbar fkt. kontinuerlig? Är en kontinuerlig funktion deriverbar? |
| lv5:
må:
Vi definierar
tangent/normal till en kurva, sedan tillämpar vi derivatan:
först får vi ett nödvändigt
(men
ej tillräckligt!) villkor för att en punkt är
extrempunkt ("stationär
punkt"
om f deriverbar i punkten), sedan visar vi den fundamentala
"medelvärdessatsen"
som ger karaktäriseringar av monotoni, injektivitet mm. PB: kap3. ti,fr
börjar vi med de trigonometriska funktionerna: definition,
kontinuitet,
deriverbarhet (derivator), standardgränsvärdet sin(x)/x,
då x går mot 0 (PB:
kap1.9) och
behandlar arcusfunktionerna och de hyperboliska funktionerna
(beskåda graferna).
PB: kap1.10, 1.11, 4.6 |
viktigt:
Kan du ange tangenten (normalen) till en kurva? Vad är en stationär punkt? Är extrempunkter stationära? Under vilka förutsättningar gäller att extrempunkter är stationära? Kan du visa det? Är stationäre punkter extrem- punkter? Kan du (formulera, bevisa, tillämpa) medelvärdes- satsen? Hur definieras de trigonometriska funktionerna? Kan du räknereglerna? Kan du bevisa att de är kontinuerliga? Härleda deras derivator? Bevisa standardgränsvärdet sin(x)/x då x går mot 0? Hur definieras arcusfunktionerna? Kan du räkna med dem? Vad är de hyperboliska funktionerna? |
| lv6: må: Vi repeterar arcus- och hyperboliska funktioner och avslutar "elementära funktioner" med konvexitet/konkavitet samt standardgränsvärdena (talet e, exp(x) resp. ln(x) växer så mycket snabbare resp. långsammare än vilken potens av x som helst att kvoten x^p/exp(x) resp. ln(x)/x^p går mot 0 ...). PB: 2.3, 2.4 och sid. 75/81. ti börjar vi med det till deriveringen omvända problemet "bestäm en primitiv funktion". Vi konstruerar en primitiv funktion till f genom att bestämma "arean under y=f(x)" (att detta areamått existerar visas lv7); som konkret exempel får vi ln(x) och exp(x) (som den till ln inversa funktionen). PB 1.6, 1.7. on visar vi räkneregler för ln och exp och definierar allmänna potens- och exponential- funktioner. Sedan börjar vi med att "integrera" = "bestämma en primitiv funktion"; deriveringsregler översätts till integrerings- regler (linearitet, variabelsubstitution, partiell integration), många exempel räknas. fr: en mycket viktig teknik är "partialbråksuppdelning". PB kap5, 6.4. | viktigt:
Kan du beräkna inversen till sinh, tanh? Vad är och hur kan du avgöra konvexitet/konkavitet? Kan du (även härleda) standardgränsvärdena för exponential- och logaritm- funktionerna? Vad är en primitiv funktion till f? Kan du visa att en kontinuerlig funktion har en primitiv funktion? Hur definieras ln(x), exp(x), a^x, x^r? Kan du (visa) räknereglerna för potens- (logaritm-) funktionerna? Kan du integrera de elementära funktionerna? Kan du integreringsreglerna (variabelsubstitution, partiell integration)? Kan du partialbråksuppdela rationella funktioner? |
| lv7:
må,ti: Vi definierar "bestämd
integral", visar reglerna och äntligen att "areabestämning"
är ok
("kontinuerliga
funktioner är integrerbara); det görs med "Riemann
summor", en
viktig idè (teknik) som återkommer jämt och
ständigt i kommande kurser
(inte bara i mattekurser).Vidare diskuterar vi jämn och udda
funktion. on definierar
vi fakultet och binomialkoefficient ("n över m"),
varmed
vi löser problemen "valj m element ur en mäng med n
element
med resp. utan hänsyn till ordningen" och visar binomialteoremet. PB:
1.4.5. Sedan börjar vi med
repetitionen, bl.an räknar vi integraler
(tan(x/2)
- substit.). fr räknar vi tentan 03-08-18. |
viktigt:
Hur definieras "bestämd integral"? Vad är udda/jämna funktioner? Fördelen vid integrering? Vad är Riemann summor? Kan du visa att (hur) de approximerar en bestämd integral av en kontinuerlig funktion och leder till ett vettigt areamått? Vad är en integrerbar funktion? (Gör datorlabben nu och titta på de vackra bilderna!) Vad är fakultet, binomialtal ("m över n"), och vad ger dem? Kan du binomialsatsen? Vad är en permutation? OBS: räkna tentan 03-08-18, den demonstreras fr! |
![[DIR]](back.gif)
Parent Directory 18-Jun-2004
09:17 -