matematiska metoder, tma042, del C, vt 2005

Här kommer det att finnas all information och allt utdelat material till kursen
matematiska metoder, del C (tma042), vt 2005.
Kort kursbeskrivning samt planering finns på
schemat, utförlig kursbeskrivning se nedan.

KursansvarigBernhard Behrens, tel. 7723573
                           mottagning:
måndagar 12 - 13  (matem. centrum, rum 1239)
                           extramottagning torsdag v10
(jag kommer till SI-grupperna kl. 15)

Studieförtroendeman
Lukas Sandström

SI
SI:s hemsida

Här är länken till KURSUTVÄRDERINGSBLANKETTEN

OBS  
Kursen startar må 17/1, kl 13.15 (HA1), första räknestugan må 24/1 (a,b) och on 26/1 (c,d)
           Demonstration av uppgifter sker i storgrupp fr 13-15 (HA1), därför har vi bara
           en räknestuga per vecka (där ni räknar själva).
           Kolla alltid schemat, denna lp har 8 veckor pga charmdagar (8/2, 9/2)!
OBS  Saländring för grupp d: onsdagens räknestuga (15-17) är i ES 63 (inte i ES 61).

OBS  Kursboken för lp4 och E2: transformer, är på ingående (Cremona) :
          Adams-James: Serier and Transforms (Pearson, 2005, ISBN 1 84479 316 8), ca pris 570 kr.

Övningsledare:  Bernhard Behrens (grupp a, c)
                            Kurt Persson (grupp b, d)          

Tentor
:                 
05-03-14 em (V),
här är tesen (med svar), ges tillbaka 4/4 kl. 15.00 i HA1, resultat
                               05-08-19 fm  (V),  06-01-13 em  (V), 
06-08-25 fm (V),  07-01-19 e (V),
                               sista tentan:  07-08-31 fm (V)


Övningstenta:      lö 12/2, kl. 8.30-10.30 (V)
(går t.o.m. "Taylorutveckling"), ges tillbaka to 17/2
                               (finns därefter i mottagningsrummet, hämta ut den!)

Du lär dig enbart genom det du gör själv, ingen annan kan göra det åt dig, (vi) andra kan bara hjälpa dig med det. Men då är det avgörande att du verkligen utnyttjar vår hjälp. En viktig del är "självverksamheten" i räknestugan, försök att räkna så många uppgifter som möjligt (du får ett utförligt schema så du vet vid varje tillfälle precis vad du skall göra). Diskutera med kompisen, men ffa med övningsledaren; dess uppgift är att hjälpa dig att komma fram till en lösning (inte att räkna uppgifter), den möjligheten har du under 7x2 = 14 timmar (inte hemma!). Utnyttja även SI-verksamheten. En annan viktig del är det där med "självkontroll": kan du skriva ner an bra lösning? Det måste tränas, ta "instuderingsuppgifterna" på största allvar, gör dem angiven vecka och studera därefter lösningarna! Fråga vid minsta oklarhet!

Utdelat material:
Schema  för övningshäftet upplaga 2005
Schema 
för övningshäftet upplaga 2001
Instuderingsuppgifter
Lösning till uppgift 4.20
Repetitionsfrågor
2 övningstentor (med svar)
Gamla tentor
Arctan-yta
Datorlaboration (som *.pdf-fil)
Mapleexempel som *.mw-fil (ladda ner den och kör den i maple)
Mapleexempel som *.html-fil
MATLABexempel

dag-för-dag-planering:

må 17/1: Vi repeterar grundbegrepp som  Rn, vektor, längd, avstånd, och definerar nya som inre punkt, randpunkt, öppen mängd, sluten mängd. Sedan börjar vi med vektorvärda funktioner av rella variabler ("fält"): vi visar att de är bestämda av sina koordinatfunktioner (reellvärda funktioner) och hur man kan åskådliggöra funktioner av flera variabler (riktningsfält, nivåkurvor, funktionsyta). ti 18/1, to 20/1: Vi "repeterar" gränsvärde, kontinuitet,..., men nu för fält (ordagrant samma definitioner, satser och bevis pga triangelolikheten, koordinatvis gränsvärde/kontinuitet). "Slutet och begränsat" intervall motsvaras i flera dimensioner av "kompakt mängd". Vi räknar exempel på gränsvärde, ofta med polära koordinater. Sedan börjar vi med kurvor (exempel, parameterframställning, Cm-kurva, tangentvektor).
PB: kap1 och 3.1
viktigt:
repetera delB: geometrisk vektor (i R3), längd- avstånd. 
Nytt: Vad är en inre punkt, en randpunkt, randen till en mängd i Rn?  Vad  är en öppen mängd, en  sluten  mängd, en kompakt mängd? Vad är ett fält, ett fälts koordinatfunktioner? Hur kan man åskådliggöra ett fält, resp. reellvärda funktioner av två variabler? Hur definieras (och beräknas) gränsvärde, kontinuitet? Vad är de polära koordinaterna? Vilka egenskaper har kontinuerliga funktioner? Vad är en (orienterad, kontinuerlig, deriverbar, Cm-)
kurva? Tangentvektorn till en kurva? 
må 24/1: Vi definierar arbete och kurvintegral (av ett fält längs en kurva) och räknar exempel. ti 25/1: Vi definierar en kurvas längd och räknar exempel. Sedan börjar vi med reellvärda funktioner av flera reella variabler. Först definierar vi bågvis sammanhängande mängd och formulerar s.o.m.v., sedan "partiella derivator", men "partiellt deriverbar" medför inte "kontinuerlig". to 27/1: Vi inför det det rätta begreppet "differentierbarhet" och visar att C1 medför differentierbarhet och att differentierbarhet medför kontinuitet. Sedan definierar vi operatorn grad  som generaliserar deriveringsoperatorn D (kedjeregeln och differentierbarhet blir enkla, gradf=0 medför att f är konstant på  bågvis sammanhängande mängder, visas på måndag). fr 28/1: Vi definierar riktningsderivatan och visar hur den fås med grad.
PB: 1.6 och 9.1 (även envariabelanalys, 7.4), 2.1-2.5
viktigt:
Vad är en bågvis sammanhängande mängd?
Hur beräknas längden av en kurva? Arbetet?
Vad är båglängdselementet av en kurva?
Hur defineras och vad ger de partiella derivatorna?
Vad är en differentierbar funktion?
Kan du visa att C1 medför kontinuerlig?
Hur defineras (beräknas) tangentplan?
Kan du (bevisa, tillämpa) kedjeregeln?
Vad är gradientvektorn till en funktion?
Vad ger den? Vilka egenskaper har den?
må 31/1: Vi visar att gradf anger den riktning i vilken funktionsvärdena växer snabbast samt att gradf är vinkelrätt mot nivåkurvor/nivåytor. Sedan studerar vi hur funktioner i en variabel kann approximeras med polynom, nämligen Maclaurinpolynom. ti 1/2: Vi bestämmer Maclaurinpolynomet för de elementära funktionerna och illustrerar hur man kan tillämpa denna "Maclaurinutveckling" (numeriska beräkningar, beräkning  av gränsvärde mm); bland annat får vi den geometriska serien och binomialteoremet. to 3/2: Vi härleder Taylorutvecklingen av  funktioner av flera variabler, sedan börjar vi med max-min-problem:  vi definierar  (lokal ) extrempunkt, stationär punkt och sadelpunkt och visar att (för part. deriverbara funktioner) extrempunkter är stationära. fr 4/2: Vi tillämpar Taylorutvecklingen för att karaktärisera stationära punkter; viktiga begrepp är (positivt definit, negativt definit, indefinit) kvadratisk form.
PB: envariabelanalys: kap 9 och flerv.analys: 2.5, 2.6
viktigt:
Vad är Maclaurinpolynomet till en funktion?
Kan du härleda Maclaurins sats? Langranges restterm?    
Kan du beräkna Maclaurinpolynomet (till alla
elementära funktionerna)? Vad är de generaliserade binomialkoefficienterna? Kan du härleda binomialsatsen? Kan du härleda Taylorutvecklingen av funktioner av flera variabler? Vad är en lokal extrempunkt, en stationär punkt, en sadelpunkt? Kan du visa att inre extrempunkter är stationära om funktionen är part. deriverbar; omvändningen? Vad är en (positivt definit, negativt definit, indefinit) kvadratisk form? Hur kan karaktären hos stationära punkter bestämmas?

må 7/2: Vi bevisar satsen om karaktärisering av stationära punkter med kvadr. form och räknar exempel, sedan behandlar vi fält: vi definierar funktionalmatris och funktionaldeterminant.  ti 8/2: Vi ser hur enkelt "differentierbarhet" och kedjeregeln blir för fält och definierar differential.  to 10/2: Vi behandlar implicita funktionssatsen och räknar exempel. Sedan börjar vi med problemet "bestäm det största/minsta värde som en funktion antar på en mängd"; utförliga exempel räknas (även på fredag).
PB: 2.7, 3.2-3.4, 4.1, 4.2
viktigt:
Definition av funktionalmatris/determinant, differential.
Funktionaldeterminant för polära koordinater.
Vad menas med att ett fält är differentierbart? lokalt bijektivt i en punkt? Inversa och implicita funktionssatsen.
Hur hittar man största/minsta värdet av en funktion på kompakta och på icke kompakta mängder?

må 14/2: Vi löser max-min-problem utan kompakt område och med bivillkor. ti 15/2: Vi ägnar oss åt dubbelintegraler som vi motiverar geometriskt (volymen av "området under en funktionsyta") så som vi gjorde för enkelintegraler ("arean av området under en funktionskurva"); beräkning sker via itererad integration, inses väldigt ådkådligt (skivformeln!). to17/2: Vi beskriver utförligt "koordinatbyte" och motiverar variabelsubstitution i dubbelintegraler. Många exempel räknas.
PB: 4.2, 4.3, 6.1-6.4
viktigt:
Lagrange multiplikatormetod.
Vad är en integrerbar funktion av två variabler? En mätbar (=kvadrerbar) mängd, en nollmängd? Satsen om itererad integration, integration över standardområden.
Vad är den geometriska betydelsen av funktionaldeterminanten? Hur funkar variabelsubstitution för dubbelintegraler?
Du lär dig att integrera genom att räkna många exempel. Gå igenom först samtliga exempel vi räknade på tavlan och samtliga exempel i boken (="typtal med lösningar")!
må 21/2: Vi definierar generaliserad dubbelintegral m.h.a. uttömmande följder och räknar exempel, bl.a. integralen av exp(-x^2) ("errorfunction"). ti 22/2, to 24/2: Vi börjar med "vektoranalys" i planet: först inför vi viktiga begrepp för kurvor (sluten, enkel), för mängder i planet (enkelt sammanhängande) och på torsdag för fält (konservativt kraftfält, potential och kurvintegral oberoende av vägen). Sedan bevisar vi Green's sats som spelar en avgörande roll i planet  (den ger en karaktärisering av konservativa fält) och i rummet (användes i beviset av Gauss sats, lp4). På torsdag visar vi huvudresutatet:  under vissa, viktiga förutsättningar gäller för ett kraftfält  F=(P,Q)  ekvivalens mellan "konservativt", "kurvintegral oberoende av vägen" och den enkla (lätt verifierbara) identiteten  "P'y=Q'x".
PB: 6.6, 9.2-9.4
viktigt:
Uttömmande följd, generaliserad dubbelintegral. Kan du beräkna exp(-x^2) över hela reella axeln?
Vad är en sluten, en enkel, kurva? En enkelt sammanhängande mängd  en mängd med positivt orienterad rand, i planet? Vad menas med att "kurvintegralen är oberoende av vägen i D"? Vad är ett konservativt kraftfält? Vad är en potential till ett fält? Kan du (formulera och bevisa) Green's sats? Samband mellan potential, fält och arbete för konservativa fält? Hur kan du avgöra om ett fält är konservativt?
må 28/2: Vi visar att för konservativa fält är arbete = potentialskillnad, räknar exempel. ti 1/3:  Vi börjar med tillämpningar: gravitationsfält, elektrostatiskt fält och magnetfält, vidare areaberäkning av områden i planet. to 3/3: vi börjar med repetition: vi visar integralkalkylens MVS, Cauchys MVS och L'Hospitals regel, studerar kurvor på polärform och de sfäriska koordinaterna.
PB: 9.3-9.4, PB: envariabelanalys: kap 9
viktigt:
Vad är arbetet för konservativa fält? Kan du beräkna en potential till ett konservativt fält? Kan du beräkna arean av ett område i planet m.h.a. Green? Vad är och hur löses en exakt differentialekvation? Hur beräknas arean av områden som beskrives med polära koordinater? Kan du (visa) integralkalkylens medelvärdessats för två funktioner? L'Hospital's regler?
må 7/2, ti 8/2: Vi repeterar, tentorna 02-01-18 och 04-08-20 (delvis) demonstreras.
Ingen undervisning torsdag och fredag.
viktigt:
Räkna tentorna 02-01-18 och 04-08-20 hemma (före 7/2)!!
Sista RÖ må (7/2) resp. on (9/2).



      Name                    Last modified       Size  Description

[DIR] Parent Directory 18-Jun-2004 09:14 -