Lärare
Föreläsare och examinator:
Nils E M Svanstedt,
telefon: 772 5346, nilss@chalmers.se
Matematiska Vetenskaper
Datorstudio handledare:
Hermann Douanla douanla@chalmers.se
Förra årets tentamen
Tentajour tisdag 25 maj kl 13.15-15 i MVF 21
Kursbeskrivning
Kursen behandlar matematiska modeller i 1D och 2D
av processer där reaktion och produktion, samt
transportmekanismer som diffusion
och konvektion, ingår. Dessa modeller, som
typiskt baseras på
konservering av massa och värme samt vissa
konstitutiva samband,
utgörs av partiella differentialekvationer.
Huvudmomentet i kursen
består i att lära dig beräkna lösningar till dessa
ekvationer
med Finita Elementmetoden (FEM), vilken bygger på
approximation
med styckvisa polynom. Vi inleder kursen med att
studera styckvisa polynom och hur de kan användas för
att approximera givna funktioner. Vi går sedan
vidare och beskriver hur en approximation av den
okända lösningen till en differentialekvation kan
beräknas. Under kursens gång kommer du att få arbeta
med både teori, implementation av metoden, samt
modellering. Speciellt utvecklar du din egen
FEM-lösare i Matlab. Du kommer aven att lara Dig att
anvanda programvaran Puffin
från Body & Soul.
Kursen omfattar även grunderna om funktionsserier.
Kursform
Föreläsningar (4 tim/v) plus övningar i datorstudio (4 tim/v).
Arbetet med inlämningsuppgifterna spelar en viktig roll under kursen
och ger genomgång av hela kursinnehållet från teori
till praktik.
Schema
Föreläsning:
Måndag 13-15, i KS11. Torsdag 13-15, i KS101.
Datorstudio:
Tisdag 13-15, i KD1. Torsdag 8-10, i KD1.
Kurslitteratur
The Finite Element Method; Theory, Practice and Implementation, Larson and Bengzon, 2009.(LB)
Calculus, Adams.
Detaljerat kursprogram
Detaljerad (preliminär) plan:
LV1:
Föreläsning 1, måndag 15 mars 13-15:
Vektorrummet av linjära funktioner på ett intervall. Vektorrummet av styckvis
linjära, kontinuerliga funktioner på ett intervall. Linjär interpolation.
Styckvis linjär, kontinuerlig interpolation. Interpolationsfeluppskattningar.
Bevis av interpolationsfeluppskattningar i max normen.
Chapter 1.1-1.2 i LB
Föreläsning 2, torsdag 18 mars 13-15:
Introduktion till L2-projektion.
Definition samt härledning av linjärt ekvationssystem.
Formulering och bevis av feluppskattningar av felet i L2-projektionen.
Chapter 1.3 i LB.
Studioövning 1 (och 2), tisdag 16 mars 13-15 och torsdag 18 mars 8-10:
Piecewise Polynomial Lab.
Om du vill kan du ladda ner
("Shift-klicka" på länkarna)
de två filer som behövs för
att köra PP Lab till din egen dator:
PP.fig
och PPmod.m.
LV2:
Föreläsning 3, måndag 22 mars 13-15:
Genomgång av kvadraturformler (extra material från denna hemsida)
med tillämpning på numerisk beräkning av integraler samt beräkning av
ekvationssystem för L2-projektion.
Studiövning 3, tisdag 23 mars 13-15:
Repetition av kvadraturformler med tillämpning på numerisk beräkning av integraler.
Dessa kommer nu omedelbart att användas i numerisk L2-projektion i dagens övning.
Skapa en mapp Studio3 i din kurskatalog och ladda ned filerna
LoadVector.m och
MassMatrix.m till
denna mapp.
Du guidas sedan genom laborationen genom att klicka på
Kvadratur. L2-projektion.
Studioövning 4,torsdag 25 mars 8-10:
Fortsatt arbete med Kvadratur. L2-projektion..
Föreläsning 4, torsdag 25 mars 13-15:
Finita Elementmetoden FEM i 1D. Existens och entydighet samt feluppskattning i energinorm.
2.1 and 2.2 in LB.
Påskuppehåll!
LV3:
Forelasning 5, måndag 12 april 13-15 Stationära värmeledningsekvationen,
Robin randvillkor (extra material från denna hemsida).
Genomgång av Neumann och Robinvilkor i FEM. Vi visar ocksa att Dirichlet villkor kan approximeras med Robinvillkor.
2.3-2.5 i LB.
Studiovning 5, tisdag 13 april 13-15 Börja med att öppna, samt spara hos dig själv, funktionsfilerna
PoissonSolver1D.m och
PoissonAssembler1D.m
Du guidas nu igenom laborationen genom att klicka på
FEM i 1D
Studioovning 6, torsdag 15 april 8-10: FEM för Tidsberoende problem.
Genomgång av vad som krävs för Inlamningsuppgift 1 (dvs att ha en fungerande FEM-lösare för tidsberoende problem som
Du demonstrerar med en körning för Din lärare.)
Föreläsning 6, torsdag 15 april 13-15: Framat och bakat Euler for numerisk losning av ordinara differential ekvationer.
Finit element diskretisering av tidsberoende problem. 5.0-5.1 i LB.
LV4:
Forelasning 7 , måndag 19 april 13-15:
Problemlösning bland Räkneuppgifter lv1-lv3.
Studiovning 7, tisdag 20 april 13-15: Arbete med Tidsberoende problem.
samt Inlämningsuppgift 1.
Studiovning 8, torsdag 22 april 8-10: Slutforande av arbete med uppgift 1.
Forelasning 8 , torsdag 22 april 13-15: Problemlösning. Gemensam räkning samt enskild räkning
bland Räkneuppgifter lv1-lv3.
LV5:
Föreläsning 9, måndag 26 april 13-15:
Introduktion till tvådimensionella problem, triangulering,
basfunktioner. Stationära värmeledningsekvationen i 2D.
Formulering av FEM för Poisson's equation. 3.1-3.4 och 4.1-4.2 i LB
Studioövning 9, tisdag 27 april 13-15: Introduktion till
Puffin
Samt arbete med Session E1 i datorsessionerna
i Body & Soul.
Studioövning 10, torsdag 29 april 8-10
Arbete med Session E1 i datorsessionerna
i Body & Soul
Föreläsning 10, torsdag 29 april 13-15
Fortsättning på Finita element metoden för tvådimensionella problem.
Tidsberoende problem i 2D.
LV6:
Föreläsning 11, måndag 3 maj 13-15:
Fortsättning på Finita element metoden för tvådimensionella problem.
Tidsberoende problem i 2D.
Studioövning 11, tisdag 4 maj 13-15
Arbete med Sessionerna E1 och E2 i datorsessionerna
i Body & Soul
Studioövning 12, torsdag 6 maj 8-10:
Fortsatt arbete med Session E2 i datorsessionerna
i Body & Soul
Föreläsning 12, torsdag 6 maj 13-15:
Konvektions-diffusionsproblem och reaktions-diffusionsproblem.
LV7:
Föreläsning 13, måndag 10 maj 13-15:
Serier (ur Adams).
Studioövning 13, tisdag 11 maj 13-15 : Arbete med
Sessionerna E3-E5 i datorsessionerna
i Body & Soul.
LV8:
Föreläsning 14, måndag 17 maj 13-15:
Serier
Studioövning 14, tisdag 18 maj 8-10 : Arbete med
Sessionerna E3-E5 i datorsessionerna och projektet.
Studioövning 15, torsdag 20 maj 8-10 : Arbete med
Sessionerna E3-E5 i datorsessionerna och projektet.
Föreläsning 15, torsdag 20 maj 13-15:
Serier
Examination
1. Att bli godkänd på två obligatoriska
uppgifter. Uppgift 1 består i att skriva en tidsberoende FEM-lösare i en rumsdimension
och demonstrera en körning på denna vid dator. Uppgift 2 är en inlämningsuppgift
som beskrivs nedan. Uppgifterna är individuella
men samarbete i grupp uppmuntras.
2. En skriftlig tentamen. Tentamensproblemen kommer att bygga
till stor del på räkneuppgifterna.
Inlämningsuppgiften
Numerisk lösning av valt problem.
En skriftlig redovisning skall lamnas in. Den skall innehålla
problembeskrivning. Modell (lämplig PDE). Variations- och FEM formulering.
Diskreta ekvationssystemet. Matlab-kod. Numerisk lösning (Visualisering). Kommentar
om lösningen och modellen.
Extra räkneuppgifter:
Räkneuppgifter vecka 1
Lösningar vecka 1
Räkneuppgifter vecka 2
Lösningar vecka 2
Räkneuppgifter vecka 3
Lösningar vecka 3
Extra materiel:
Extra materiel om Kvadratur (1D)
Extra materiel om Robin randvillkor (1D)
Extra materiel om Tidsberoende problem (1D):
Inga nya räkneuppgifter för vecka 4. Slutfor Inlamningsuppgift 1.
Räkneuppgifter vecka 5
Lösningar vecka 5
Räkneuppgifter med lösningar vecka 6
Räkneuppgifter med lösningar vecka 7
|