In english

Kf1 - Tillämpad Matematik, TMA 225 - 2010

Lärare

Föreläsare och examinator:
Nils E M Svanstedt, telefon: 772 5346, nilss@chalmers.se
Matematiska Vetenskaper

Datorstudio handledare:
Hermann Douanla douanla@chalmers.se

Förra årets tentamen

Tentajour tisdag 25 maj kl 13.15-15 i MVF 21

Kursbeskrivning

Kursen behandlar matematiska modeller i 1D och 2D av processer där reaktion och produktion, samt transportmekanismer som diffusion och konvektion, ingår. Dessa modeller, som typiskt baseras på konservering av massa och värme samt vissa konstitutiva samband, utgörs av partiella differentialekvationer. Huvudmomentet i kursen består i att lära dig beräkna lösningar till dessa ekvationer med Finita Elementmetoden (FEM), vilken bygger på approximation med styckvisa polynom. Vi inleder kursen med att studera styckvisa polynom och hur de kan användas för att approximera givna funktioner. Vi går sedan vidare och beskriver hur en approximation av den okända lösningen till en differentialekvation kan beräknas. Under kursens gång kommer du att få arbeta med både teori, implementation av metoden, samt modellering. Speciellt utvecklar du din egen FEM-lösare i Matlab. Du kommer aven att lara Dig att anvanda programvaran Puffin från Body & Soul. Kursen omfattar även grunderna om funktionsserier.

Kursform

Föreläsningar (4 tim/v) plus övningar i datorstudio (4 tim/v). Arbetet med inlämningsuppgifterna spelar en viktig roll under kursen och ger genomgång av hela kursinnehållet från teori till praktik.

Schema

Föreläsning:
Måndag 13-15, i KS11. Torsdag 13-15, i KS101.

Datorstudio:
Tisdag 13-15, i KD1. Torsdag 8-10, i KD1.

Kurslitteratur

The Finite Element Method; Theory, Practice and Implementation, Larson and Bengzon, 2009.(LB)
Calculus, Adams.

Detaljerat kursprogram

Detaljerad (preliminär) plan:

LV1:

Föreläsning 1, måndag 15 mars 13-15:

Vektorrummet av linjära funktioner på ett intervall. Vektorrummet av styckvis linjära, kontinuerliga funktioner på ett intervall. Linjär interpolation. Styckvis linjär, kontinuerlig interpolation. Interpolationsfeluppskattningar. Bevis av interpolationsfeluppskattningar i max normen.
Chapter 1.1-1.2 i LB

Föreläsning 2, torsdag 18 mars 13-15:

Introduktion till L2-projektion. Definition samt härledning av linjärt ekvationssystem. Formulering och bevis av feluppskattningar av felet i L2-projektionen.
Chapter 1.3 i LB.

Studioövning 1 (och 2), tisdag 16 mars 13-15 och torsdag 18 mars 8-10:

Piecewise Polynomial Lab. Om du vill kan du ladda ner ("Shift-klicka" på länkarna) de två filer som behövs för att köra PP Lab till din egen dator: PP.fig och PPmod.m.

LV2:

Föreläsning 3, måndag 22 mars 13-15:

Genomgång av kvadraturformler (extra material från denna hemsida) med tillämpning på numerisk beräkning av integraler samt beräkning av ekvationssystem för L2-projektion.


Studiövning 3, tisdag 23 mars 13-15:

Repetition av kvadraturformler med tillämpning på numerisk beräkning av integraler. Dessa kommer nu omedelbart att användas i numerisk L2-projektion i dagens övning.
Skapa en mapp Studio3 i din kurskatalog och ladda ned filerna LoadVector.m och MassMatrix.m till denna mapp.
Du guidas sedan genom laborationen genom att klicka på Kvadratur. L2-projektion.

Studioövning 4,torsdag 25 mars 8-10:

Fortsatt arbete med Kvadratur. L2-projektion..

Föreläsning 4, torsdag 25 mars 13-15:

Finita Elementmetoden FEM i 1D. Existens och entydighet samt feluppskattning i energinorm.
2.1 and 2.2 in LB.

Påskuppehåll!

LV3:

Forelasning 5, måndag 12 april 13-15 Stationära värmeledningsekvationen, Robin randvillkor (extra material från denna hemsida). Genomgång av Neumann och Robinvilkor i FEM. Vi visar ocksa att Dirichlet villkor kan approximeras med Robinvillkor. 2.3-2.5 i LB.

Studiovning 5, tisdag 13 april 13-15 Börja med att öppna, samt spara hos dig själv, funktionsfilerna PoissonSolver1D.m och PoissonAssembler1D.m

Du guidas nu igenom laborationen genom att klicka på FEM i 1D

Studioovning 6, torsdag 15 april 8-10: FEM för Tidsberoende problem.
Genomgång av vad som krävs för Inlamningsuppgift 1 (dvs att ha en fungerande FEM-lösare för tidsberoende problem som Du demonstrerar med en körning för Din lärare.)

Föreläsning 6, torsdag 15 april 13-15: Framat och bakat Euler for numerisk losning av ordinara differential ekvationer. Finit element diskretisering av tidsberoende problem. 5.0-5.1 i LB.

LV4:

Forelasning 7 , måndag 19 april 13-15: Problemlösning bland Räkneuppgifter lv1-lv3.

Studiovning 7, tisdag 20 april 13-15: Arbete med Tidsberoende problem. samt Inlämningsuppgift 1.

Studiovning 8, torsdag 22 april 8-10: Slutforande av arbete med uppgift 1.

Forelasning 8 , torsdag 22 april 13-15: Problemlösning. Gemensam räkning samt enskild räkning bland Räkneuppgifter lv1-lv3.

LV5:
Föreläsning 9, måndag 26 april 13-15: Introduktion till tvådimensionella problem, triangulering, basfunktioner. Stationära värmeledningsekvationen i 2D. Formulering av FEM för Poisson's equation. 3.1-3.4 och 4.1-4.2 i LB

Studioövning 9, tisdag 27 april 13-15: Introduktion till Puffin Samt arbete med Session E1 i datorsessionerna i Body & Soul.

Studioövning 10, torsdag 29 april 8-10 Arbete med Session E1 i datorsessionerna i Body & Soul

Föreläsning 10, torsdag 29 april 13-15 Fortsättning på Finita element metoden för tvådimensionella problem. Tidsberoende problem i 2D.

LV6:

Föreläsning 11, måndag 3 maj 13-15:
Fortsättning på Finita element metoden för tvådimensionella problem. Tidsberoende problem i 2D.

Studioövning 11, tisdag 4 maj 13-15 Arbete med Sessionerna E1 och E2 i datorsessionerna i Body & Soul

Studioövning 12, torsdag 6 maj 8-10:
Fortsatt arbete med Session E2 i datorsessionerna i Body & Soul


Föreläsning 12, torsdag 6 maj 13-15: Konvektions-diffusionsproblem och reaktions-diffusionsproblem.

LV7:

Föreläsning 13, måndag 10 maj 13-15: Serier (ur Adams).


Studioövning 13, tisdag 11 maj 13-15 : Arbete med Sessionerna E3-E5 i datorsessionerna i Body & Soul.

LV8:

Föreläsning 14, måndag 17 maj 13-15: Serier

Studioövning 14, tisdag 18 maj 8-10 : Arbete med Sessionerna E3-E5 i datorsessionerna och projektet.

Studioövning 15, torsdag 20 maj 8-10 : Arbete med Sessionerna E3-E5 i datorsessionerna och projektet.

Föreläsning 15, torsdag 20 maj 13-15: Serier

Examination

1. Att bli godkänd på två obligatoriska uppgifter. Uppgift 1 består i att skriva en tidsberoende FEM-lösare i en rumsdimension och demonstrera en körning på denna vid dator. Uppgift 2 är en inlämningsuppgift som beskrivs nedan. Uppgifterna är individuella men samarbete i grupp uppmuntras.

2. En skriftlig tentamen. Tentamensproblemen kommer att bygga till stor del på räkneuppgifterna.

Inlämningsuppgiften

Numerisk lösning av valt problem. En skriftlig redovisning skall lamnas in. Den skall innehålla problembeskrivning. Modell (lämplig PDE). Variations- och FEM formulering. Diskreta ekvationssystemet. Matlab-kod. Numerisk lösning (Visualisering). Kommentar om lösningen och modellen.

Extra räkneuppgifter:

Räkneuppgifter vecka 1

Lösningar vecka 1

Räkneuppgifter vecka 2

Lösningar vecka 2

Räkneuppgifter vecka 3

Lösningar vecka 3

Extra materiel:

Extra materiel om Kvadratur (1D)

Extra materiel om Robin randvillkor (1D)

Extra materiel om Tidsberoende problem (1D):

Inga nya räkneuppgifter för vecka 4. Slutfor Inlamningsuppgift 1.

Räkneuppgifter vecka 5

Lösningar vecka 5


Räkneuppgifter med lösningar vecka 6


Räkneuppgifter med lösningar vecka 7


Editor: Nils E M Svanstedt
Last modified: 2010-05-17