Lärare
Föreläsare och examinator:
Nils E M Svanstedt,
telefon: 772 5346, nilss@chalmers.se
Matematiska Vetenskaper
Datorstudio handledare:
Hermann Douanla douanla@chalmers.se
Förra årets tentamen
Kursbeskrivning
Kursen behandlar matematiska modeller i 1D och 2D
av processer där reaktion och produktion, samt
transportmekanismer som diffusion
och konvektion, ingår. Dessa modeller, som
typiskt baseras på
konservering av massa och värme samt vissa
konstitutiva samband,
utgörs av partiella differentialekvationer.
Huvudmomentet i kursen
består i att lära dig beräkna lösningar till dessa
ekvationer
med Finita Elementmetoden (FEM), vilken bygger på
approximation
med styckvisa polynom. Vi inleder kursen med att
studera styckvisa polynom och hur de kan användas för
att approximera givna funktioner. Vi går sedan
vidare och beskriver hur en approximation av den
okända lösningen till en differentialekvation kan
beräknas. Under kursens gång kommer du att få arbeta
med både teori, implementation av metoden, samt
modellering. Speciellt utvecklar du din egen
FEM-lösare i Matlab. Du kommer aven att lara Dig att
anvanda programvaran Puffin
från Body & Soul.
Kursen omfattar även grunderna om funktionsserier.
Kursform
Föreläsningar (4 tim/v) plus övningar i datorstudio (4 tim/v).
Arbetet med inlämningsuppgifterna spelar en viktig roll under kursen
och ger genomgång av hela kursinnehållet från teori
till praktik.
Schema
Föreläsning:
Måndag 13-15, i KS11. Torsdag 13-15, i KS101.
Datorstudio:
Tisdag 13-15, i KD1. Torsdag 8-10, i KD1.
Kurslitteratur
The Finite Element Method; Theory, Practice and Implementation, Larson and Bengzon, 2009.(LB)
Calculus, Adams.
Detaljerat kursprogram
Detaljerad (preliminär) plan:
LV1:
Föreläsning 1, måndag 21 mars 13-15:
Vektorrummet av linjära funktioner på ett intervall. Vektorrummet av styckvis
linjära, kontinuerliga funktioner på ett intervall. Linjär interpolation.
Styckvis linjär, kontinuerlig interpolation. Interpolationsfeluppskattningar.
Bevis av interpolationsfeluppskattningar i max normen.
Chapter 1.1-1.2 i LB
Föreläsning 2, torsdag 24 mars 13-15:
Introduktion till L2-projektion.
Definition samt härledning av linjärt ekvationssystem.
Formulering och bevis av feluppskattningar av felet i L2-projektionen.
Chapter 1.3 i LB.
Studioövning 1 (och 2), tisdag 22 mars 13-15 och torsdag 24 mars 8-10:
Piecewise Polynomial Lab.
Om du vill kan du ladda ner
("Shift-klicka" på länkarna)
de två filer som behövs för
att köra PP Lab till din egen dator:
PP.fig
och PPmod.m.
LV2:
Föreläsning 3, måndag 28 mars 13-15:
Genomgång av kvadraturformler (extra material från denna hemsida)
med tillämpning på numerisk beräkning av integraler samt beräkning av
ekvationssystem för L2-projektion.
Studiövning 3, tisdag 29 mars 13-15:
Repetition av kvadraturformler med tillämpning på numerisk beräkning av integraler.
Dessa kommer nu omedelbart att användas i numerisk L2-projektion i dagens övning.
Skapa en mapp Studio3 i din kurskatalog och ladda ned filerna
LoadVector.m och
MassMatrix.m till
denna mapp.
Du guidas sedan genom laborationen genom att klicka på
Kvadratur. L2-projektion.
Studioövning 4,torsdag 31 mars 8-10:
Fortsatt arbete med Kvadratur. L2-projektion..
Föreläsning 4, torsdag 31 mars 13-15:
Finita Elementmetoden FEM i 1D. Existens och entydighet samt feluppskattning i energinorm.
2.1 and 2.2 in LB.
LV3:
Forelasning 5, måndag 4 april 13-15 Stationära värmeledningsekvationen,
Robin randvillkor (extra material från denna hemsida).
Genomgång av Neumann och Robinvilkor i FEM. Vi visar ocksa att Dirichlet villkor kan approximeras med Robinvillkor.
2.3-2.5 i LB.
Studiovning 5, tisdag 5 april 13-15 Börja med att öppna, samt spara hos dig själv, funktionsfilerna
PoissonSolver1D.m och
PoissonAssembler1D.m
Du guidas nu igenom laborationen genom att klicka på
FEM i 1D
Studioovning 6, torsdag 7 april 8-10: FEM för Tidsberoende problem.
Genomgång av vad som krävs för Inlamningsuppgift 1 (dvs att ha en fungerande FEM-lösare för tidsberoende problem som
Du demonstrerar med en körning för Din lärare.)
Föreläsning 6, torsdag 7 april 13-15: Framat och bakat Euler for numerisk losning av ordinara differential ekvationer.
Finit element diskretisering av tidsberoende problem. 5.0-5.1 i LB.
LV4:
Forelasning 7 , måndag 11 april 13-15:
Problemlösning bland Räkneuppgifter lv1-lv3.
Studiovning 7, tisdag 12 april 13-15: Arbete med Tidsberoende problem.
samt Inlämningsuppgift 1.
Studiovning 8, torsdag 14 april 8-10: Slutforande av arbete med uppgift 1.
Forelasning 8 , torsdag 14 april 13-15: Problemlösning. Gemensam räkning samt enskild räkning
bland Räkneuppgifter lv1-lv3.
Påskuppehåll!
LV5:
Föreläsning 9, måndag 2 maj 13-15:
Introduktion till tvådimensionella problem, triangulering,
basfunktioner. Stationära värmeledningsekvationen i 2D.
Formulering av FEM för Poisson's equation. 3.1-3.4 och 4.1-4.2 i LB
Studioövning 9, tisdag 3 maj 13-15: Introduktion till
Puffin
Samt arbete med Session E1 i datorsessionerna
i Body & Soul.
Studioövning 10, torsdag 5 maj april 8-10
Arbete med Session E1 i datorsessionerna
i Body & Soul
Föreläsning 10, torsdag 5 maj 13-15
Fortsättning på Finita element metoden för tvådimensionella problem.
Tidsberoende problem i 2D.
LV6:
Föreläsning 11, måndag 9 maj 13-15:
Fortsättning på Finita element metoden för tvådimensionella problem.
Tidsberoende problem i 2D. Konvektions-diffusionsproblem. Förberedelse för projektet.
Studioövning 11, tisdag 10 maj 13-15
Arbete med Sessionerna E1 och E2 i datorsessionerna
i Body & Soul
Studioövning 12, torsdag 12 maj 8-10:
Fortsatt arbete med Session E2 i datorsessionerna
i Body & Soul
Föreläsning 12, torsdag 12 maj 13-15:
Serier (ur Adams)
LV7:
Föreläsning 13, måndag 16 maj 13-15:
Serier (ur Adams).
Studioövning 13, tisdag 17 maj 13-15 : Arbete med
projektet .
Studioövning 14, torsdag 19 maj 8-10 : Arbete med projektet.
Föreläsning 14, tordag 19 maj 13-15:
Genomgång av tentan 2010.
Examination
1. Att bli godkänd på två obligatoriska
uppgifter. Uppgift 1 består i att skriva en tidsberoende FEM-lösare i en rumsdimension
och demonstrera en körning på denna vid dator. Uppgift 2 är en inlämningsuppgift
som beskrivs nedan. Uppgifterna är individuella
men samarbete i grupp uppmuntras.
2. En skriftlig tentamen. Tentamensproblemen kommer att bygga
till stor del på räkneuppgifterna.
Inlämningsuppgiften
Numerisk lösning av valt problem.
En skriftlig redovisning skall lamnas in. Den skall innehålla
problembeskrivning. Modell (lämplig PDE). Variations- och FEM formulering.
Diskreta ekvationssystemet. Matlab-kod. Numerisk lösning (Visualisering). Kommentar
om lösningen och modellen.
Extra räkneuppgifter:
Räkneuppgifter vecka 1
Lösningar vecka 1
Räkneuppgifter vecka 2
Lösningar vecka 2
Räkneuppgifter vecka 3
Lösningar vecka 3
Extra materiel:
Extra materiel om Kvadratur (1D)
Extra materiel om Robin randvillkor (1D)
Extra materiel om Tidsberoende problem (1D):
Inga nya räkneuppgifter för vecka 4. Slutfor Inlamningsuppgift 1.
Räkneuppgifter vecka 5
Lösningar vecka 5
Räkneuppgifter med lösningar vecka 6
Räkneuppgifter med lösningar vecka 7
|