Information om kursen TMA501 Optimal styrning av differentialekvationer för TM4, F3/F4.

Denna kurs handlar om den matematiska teorin för optimala processer, där processerna beskrivs av differentialekvationer. Här är några problemställningar från olika tillämpningsområden:

Hur skall ett företag planera sin produktion på bästa möjliga sätt?
Hur skall tillgängliga ekonomiska resurser fördelas på ett optimalt sätt mellan konsumtion och investeringar, med hänsyn till bl.a. miljöeffekter?
Hur regleras storskaligt fiske på ett optimalt sätt?
Hur får man ett fordon i rörelse att stanna i en given punkt på så kort tid som möjligt?
Hur skall en viss medicin doseras för att uppnå bästa effekt med så litet biverkningar som möjligt?
Hur styr man en rymdraket till ett givet mål med så liten bränsleförbrukning som möjligt?
Hur skall en kemisk reaktion styras för att utbytet skall bli så stort som möjligt?
Vad är formen på den rotationssymmetriska kropp, som röner minst motstånd då den rör sig genom ett tunt medium? (Ett klasssiskt problem av Newton.)

Dessa frågeställningar leder i sin matematiska formulering till problem om optimal styrning (kontroll) av differentialekvationer. Med detta menas följande: Ett system av något slag (av t. ex. teknisk, ekonomisk eller biologisk natur) beskrivs av tillståndsekvationer i form av differentialekvationer. Systemets tillstånd kan påverkas av ett antal styrvariabler, som kan få variera inom vissa gränser, och man vill att det skall utvecklas (styras) från ett givet begynnelsetillstånd till ett önskat sluttillstånd. Vidare har man något mått på hur bra styrningen är, t. ex. i form av en kostnad eller ett utbyte. Man vill då välja styrvariablerna så att kostnaden blir så liten som möjligt eller utbytet så stort som möjligt.

Teorin för optimal styrning tog form i början av 1950-talet men har gamla rötter. Matematiskt är det en utveckling av den klassiska variationskalkylen, och det finns anknytningar till andra områden inom optimeringslära. Numera är det ett väletablerat område, där ren matematik kombineras med konkreta tillämpningar inom många områden. Tidigare gällde de flesta tillämpningarna tekniska problem, t.ex. inom reglerteknik, men på senare år har teorin kommit att tillämpas också inom många andra områden såsom ekonomi, biologi, medicin, m.m.

Denna kurs presenterar några av de matematiska grunderna för teorin för optimal styrning. Det handlar mycket om differentialekvationer med inslag av linjär algebra och geometri (konvexitetsteori). Teorin tillämpas sedan på ett antal problem av den typ som beskrevs ovan.

Förkunskapskrav: Inget utöver vanliga grundkurser förutsätts. Vissa erforderliga moment från teorin för differentialekvationer m.m. gås igenom under kursen.

Kurslitteratur:
[H] K. Holmåker, An introduction to optimal control theory, Göteborg 1999.
([K] G. Knowles, An introduction to applied optimal control, Academic Press, 1981.)

Föreläsare: Kjell Holmåker, tel. (772)3567.

Preliminär plan:

Vecka 1 Introduktion [H] Ch. 1, 2

Matematisk bakgrund, konvexitet [H] Ch. 3

Differentialekvationer [H] Ch. 4

Vecka 2 Kontrollerbarhet, observerbarhet [H] Ch. 5

Vecka 3 Det tidsoptimala problemet för linjära system [H] Ch. 6

Vecka 4 Det tidsoptimala problemet, forts. [H] Ch. 6

Allmänna extremalproblem [H] Ch. 7

Pontryagins maximumprincip, teori [H] Ch. 8

Vecka 5 Pontryagins max.princ., exempel [H] Ch. 8

Vecka 6 Det linjär-kvadratiska problemet [H] Ch. 9

Existens av optimal kontroll (ev.) [H] Ch. 6

Vecka 7 Styrning av partiella diff.ekv. [K] Ch. IX

Repetition

Datorlaboration som går ut på att bekanta sig med programmet MISER 3 och lösa några problem med det.

Kjell Holmåker

Last modified: Mon Mar 12 15:54:51 MET 2001

Vecka 1	Introduktion	[H] Ch. 1, 2
	Matematisk bakgrund, konvexitet	[H] Ch. 3
	Differentialekvationer	[H] Ch. 4
Vecka 2	Kontrollerbarhet, observerbarhet	[H] Ch. 5
Vecka 3	Det tidsoptimala problemet för linjära system	[H] Ch. 6
Vecka 4	Det tidsoptimala problemet, forts.	[H] Ch. 6
	Allmänna extremalproblem	[H] Ch. 7
	Pontryagins maximumprincip, teori	[H] Ch. 8
Vecka 5	Pontryagins max.princ., exempel	[H] Ch. 8
Vecka 6	Det linjär-kvadratiska problemet	[H] Ch. 9
	Existens av optimal kontroll (ev.)	[H] Ch. 6
Vecka 7	Styrning av partiella diff.ekv.	[K] Ch. IX
	Repetition