TMA690, Partiella differentialekvationer , 2018/19

Aktuella meddelanden

Välkomna till kursen! Kursens schema finns i TimeEdit.
Länk till pingpong.


18/12:
Kort intro till Fredholms teori för lösbarhet av integralekvationer: dimensionssatsen, dualitet, Fredholmoperatorer, kompakta operatorer. Entydighet medför existens för I+kompakt. Bevis av entydighet med hjälp av enkelskiktpotential och Greens formel. Se föreläsningsanteckningar 11/12, s. 7-14.

17/12:
Integralekvationer för inre och yttre Dirichlet och Neumannproblem. Randvärden för skiktpotentialer. Dubbelskiktpotentialen K och dess adjunkt K^* på randkurvan. Se föreläsningsanteckningar från 11/12, s.4-7. Numerisk lösning med dubbelskiktspotentialen: Matlabkoden jag använde finns här. Se också 4.2 där för beskrivning av den använda diskretiseringen.

14/12:
Övningar DC kap 4. Kelvintransformen 4.4. Uppgift 4.5, där vi som extrauppgift visade omvändningen till medelvärdessatsen med Greens formel. Uppg. 4.8: radiella lösningar till plana Helmholtz beskrivs av Besselfuktioner. Potensserielösning, Laplace i polära kooridinater.

11/12:
Harnacks olikhet för positiva harmoniska funktioner. Randintegralekvationer för Dirichlet och Neumannproblemet. Föreläsningsanteckningar, med avslutande sidor, som komplement till DC kap 5. Newtonpotential, enkel- och dubbelskiktspotentialer. Tolkning i termer av monopoler och dipoler. Detaljstudie av dipolpotentialens singulariteter i planet. DC5.1.

10/12:
Medelvärdessatsen och starka maximumprincipen för harmoniska funktioner: DC4.2. Motsvarande resultat för allmänna lösningar till värmeledningsekvationen hittar den intresserade här (ingår ej i kursen). Lösning av randvärdesproblem med variabelseparation DC4.4 ingår i kursen, men tas inte upp på föreläsning.. Greensfunktioner och Poissonkärna DC4.5. G:s symmetri, DC sats 32. Beräkning av Poissonkärnan för cirkelskiva genom spegling i cirkeln. Poissonkärnan, till skillnad från fundamentallösningen, ger en approximitiv enhet på randen. Positivitet hos Poissonkärnan.

7/12:
Ett finita differensmetoden-exampel med matlab och parabolisk skalning på diskretiseringen: slät lösning för t>0. Total kollaps bakåt i tiden. DC3:3: Maximumprincipen och spegling. DC3:6: avtagande energi och entydighet. GF9.5.3: löser en distribution u den elliptiska PDEn Delta u=f och f är en slät funktion så är u inte bara en funktion utan helt slät.

4/12:
Värmekärnan och Cauchyproblemet på R^n för värmeledningsekvationen. Oändlig utbredningshastighet och släthet hos kaloriska funktioner. Laplaces ekvation, harmoniska funktioner, fundamentallösningar till Laplace i planet och rummet. Greens 3 identiteter. DC 3.3-4, 4.1-2.

3/12:
Värmeledningsekvationen kan inte lösas bakåt i tiden. Maximumprincipen: bevis av svaga formuleringen. Entydighet och stabilitet. Lösning av start och (icke-homogena) randvärdesproblemet med Fourierserie. Sinusserie för Dirichlets randvillkor. DC 3.1-3.2

30/11:
Vi räknade uppgifter på vågekvationen, DC kap. 2: 2.1 halvlinjen med friktion i ändpunkten. 2.6: superposition av plana vågor för att matcha startdata. 2.17: Fourierserielösning. Cosinusserie för Neumanns randvillkor.

27/11:
DC 2.3, Poissons formel, karakteristisk kon, Huygens princip (bara i 3D, 5D,...), fördröjd potential, Duhamels princip. Lösning till vågekvationen i planet. Ändlig utbredningshastighet, reversibilitet, bevarande av energi. DC övning 2.30: explicit lösning av en icke-linjär vågekvation med startdatum exp(-x^2), shocks och vågor som bryter.

26/11:
d'Alemberts formel i en dimension: DC 2.1. Poissons formel (2.23) i 3 dimensioner, DC 2.3: Vi räknar fram denna med Fouriertransform, lösning av ODE för fix frekvens, och inverstransform till Riemann-distributionen på sfär. Jämför Coltons räkning s.70-71.

23/11:
Vi räknade uppgifter och kompletterade med teori från GF kap. 9.2, 9.4: Multiplikation och faltning mellan testfunktion och distribution, svag konvergens, Fouriertransformering av tempererade distributioner. Uppgifter 9.1.4, 9.1.3, 9.2.5.
20/11:
Distributioner på R^n. Derivering i distributionsmening. GF 9.1. Ex: Diracdeltat i origo och längs kurvor.
Ex: Fundamentallösningarna till Laplaces, värmelednings- och vågekvationen i två oberoende variabler. Släthet utanför origo hos de två första, och ändlig utbredningshastighet hos den sista. Deltats fysikaliska innebörd: punktkälla.

16/11:
Sobolevrummen H^1 och H^1_0. Numeriskt exempel på FEM i planet med bilinjära element. Se del 4.2 och FEMkod här. CJ 1.16: Blandade randvillkor, 1D FEMelement för Neumann, CJ 2.11: Neumannproblemet, Poincarés olikhet. 2.3: Fjärde ordningens ekvation, Naturliga och absoluta randvillkor.

13/11:
Svag/variations-formulering av Neumannproblemet. Naturliga randvillkor. CJ 1.7. Existens av svaga lösningar i Hilbertrum. Se mina anteckningar samt CJ 1.5-6, 2.1-2. Jag hann inte prata om Sobolevrummen.

12/11:
Dirichletproblemet och dess formulering som variationsproblem och minimeringsproblem. Ekvivalens mellan dessa under lämpliga förutsättningar. Svaga/starka lösningar. Ändligdimensionell approximation av variationsproblemet: FEM. CJ. 1.1-2, 1.4.

6/11:
1:a ordningens PDE: Integrering av karakterisk ODE ger variabelbyte som förenklar PDEn till ODE. (DC1.2)
Räknade DC 1.2(b). 2:a ordningens PDE: Den kvadratiska formen visar om PDEn är elliptisk/hyperbolisk/parabolisk. Genom faktorisering av den kvadratiska formen och lösning av 1:a ordningen PDE finner vi variabelbyte som transformerar PDEn till kanonisk form. (DC 1.3) Räknade 1:7(c) och (b). Kommenterade men hann inte med 1:9(a).

5/11:

Idag härledde jag värmeledningsekvationen (DC 1.1) och vågekvationen (AR:1.4), samt Laplace/Poisson/Helmholtz ekvation. Välställdhet och Dirichlet/Neumann randvillkor (AR 1.7). Jag hann inte med att definiera normer på linjära funktionsrum, som används för stabilitetsvillkoret. (DC s. 287 för de som inte känner till detta.)

Lärare

Kursansvarig, föreläsare och övningsledare: Andreas Rosén

Labbhandledare: Maximilian Thaller

Kurslitteratur

Den obligatoriska litteraturen för kursen består av följande två prisvärda böcker:
DC: David Colton, Partial Differential Equations - An Introduction,Dover Publications, 2004
CJ: Claes Johnson, Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Dover Publications, 2009

OBS: DC och CJ kan inte beställas från Cremona, utan rekommendationen är att ni köper dom t ex från adlibris.

I kursen ingår en introduktion till distributionsteori, där vi kommer använda:

GF Gerald B. Folland: Fourier analysis and its applications (kapitel 9)
PS: Peter Sjögren: Introduktion till distributionsteorin

Förkunskaper till kursen innefattar kursen i Fourieranalys, där GF var kurslitteratur. Det antas att ni fortfarande har denna tillgänglig.
---


En del föresläsningsanteckningar kommer läggas upp här på kurshemsidan under kursens gång.

Mina föreläsningsanteckningar (AR)  från en liknande PDE-kurs, som ni kan ha nytta av och som kommer användas i undervisningen.

Engelsk-svensk matematisk ordlista.

Program

Föreläsningar måndagar och tisdagar 10-12 i MA, fredagar 13-15 i FL51.

Måndagen den 19/11 föreläser M. Thaller och ger en introduktion till de obligatoriska FEM-projekten.
(P) markerar att föreläsningen ifråga huvudsakligen ägnas åt problemdemonstration.

Vecka
Avsnitt och Innehåll
Mån 5/11
Tis 6/11 (P)
DC Kapitel 1: Introduktion till PDE
1.1: Laplace, våg- och värmeledningsekvationerna
1.2: Lösning av 1:a ordningens PDE
1.3: Klassificering av 2:a ordningens PDE
Välställda problem, start- och randvillkor.
Mån 12/11
Tis 13/11
Fre 16/11 (P)
CJ Kapitel 1 och 2: FEM
1.1-2: Variationsformulering, styvhetsmatris
DC 4.1, 4.3: Greens 1:a, Dirichlet och Neumanns randvärdesproblem
1.5-1.6: Hilbertrummet L_2, Sobolevrum H^1 och H^1_0
1.7: Svaga formuleringar av randvärdesproblemen
2.1-2: Existens av svaga lösningar. Poincaré-olikheter
Föreläsningsanteckningar
Mån 19/11(FEM-projekt)
Tis 20/11
Fre 23/11
GF kapitel 9, PS: Introduktion till distributionsteorin
9.1: Svaga derivator, fundamentallösningar till PDE
9.2: Faltning, svag konvergens
9.4: Tempererade distributioner och Fourier transform
9.5: Regularitet av PDE lösningar
Mån 26/11
Tis 27/11
Fre 30/11
DC Kapitel 2: Hyperboliska vågekvationen
2.1: d'Alemberts formel
2.3: Poissons formel, Huygens princip
2.4: Fouriers metod
Mån 3/12
Tis 4/12
Fre 7/12
DC Kapitel 3: Paraboliska värmeledningsekvationen
3.1: Maximumprincipen
3.2: Fouriers metod
3.3: Fundamentallösning: värmekärnan
3.4: Släthet
Mån 10/12
Tis 11/12
Fre 14/12
DC Kapitel 4: Elliptiska Laplace-ekvationen
4.1: Greens formler
4.2: Medelvärdesegenskap, maximumprincip
4.3: Randvärdesproblem
4.5: Fundamentallösning, Greensfunktioner
Helmholtz ekvation
Mån 17/12
Tis 18/12
DC Kapitel 5: Existens av lösningar till randvärdesproblem.
Randintegralekvationer
5.1: Enkel- och dubbelskiktspotentialer
5.2: Fredholm-integralekvationer
5.3: Lösning av randvärdesproblem
Föreläsningsanteckningar: s. 1-11, 12-14

Rekommenderade övningsuppgifter

Vecka
Uppgifter
1. PDE introduktion
DC 1: 1-2,7-10
2. FEM
CJ 1: 3,14,16,18, CJ 2: 3,6-11
3. Distributioner
CJ 1.12, GF 9.1:3,4,7,8;  9.2:2,5,7,11; 9.4:5,14; 9.5:3,4,6
4. Vågekvationen
DC 2: 1-7,10-12
5. Värmeledningsekv.
DC 3: 1-7,15
6. Laplace ekvation
DC 4: 1-4,6-10,27,30
7: Randintegraler
DC 5: 1,3,11

Studieresurser

Datorlaborationer

Obligatoriskt moment på kursen är projektarbete om numerisk lösning av PDE med FEM=finita element metoden.
Beroende på hur väl detta görs kan ni få 0-5p i bonus på tentan.

Mihaly Kovacs: Beskrivning av FEM

Beskrivningar av projekten

Referenslitteratur för Matlab

  1. Material utvecklat av MV som ger en kortfattad introduktion till Matlab
  2. MATLAB for Engineers, Holly More
    Ger en introduktion till Matlab och kräver inledningsvis ingen matrisalgebra. Är utmärkt för självstudier.
  3. MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap, Per Jönsson
    Kräver kunskaper i Matrisalgebra. Innehåller lite mer avancerade övningar och modelleringsuppgifter. Är utmärkt som referenslitteratur/uppslagsbok.

Kurskrav

Kursens syfte och lärandemål finns angivna i kursplanen.

Duggor

Inga på denna kurs.

Istället planeras två omgångar med inlämningsuppgifter med tentarelevanta uppgifter. Ni studenter som väljer att delta i detta moment lämnar in handskrivna lösningar på givna uppgifter, och rättar sedan någon kurskamrats uppgifter med hjälp av lösningsförslag och rättningsmall från examinator. Momentet är inte obligatorisk, men rekommenderas starkt som ett effektivt sätt att förbereda sig inför tentan och få insikt om vad som krävs där.

Inlämningsuppgifter omgång 1 med deadline 3/12.
Lösningsförslag och rättningsmall: rättningen önskas klar 7/12.
Inlämningsuppgifter omgång 2 med deadline 17/12.
Lösningsförslag

Examination

1. Skriftlig tentamen med 7 uppgifter och betygsstegen 3: 20-29p, 4: 30-39p, 5: 40-50p. Inga hjälpmedel.
2. Obligatoriska projekt som redovisas genom skriftlig inlämning. Se "datorlabbar" ovan. Beroende på hur väl dessa genomförts erhålls 0-5 bonuspoäng på tentan.

Läsanvisningar till tentan

Datum, tider och platser för tentamen finns i studentportalen.

Ordinarie tenta: 17/1 2019, kl.8.30-12.30.
Omtentor: 26/4, kl. 8.30-12.30 samt 19/8, kl. 14.00-18.00.

Rutiner kring tentamina

I Chalmers Studentportal kan du läsa om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers. Tänk på att du måste anmäla dig i tid till tentan, eftersom du annars inte får tenta.

Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation och kvitto på erlagd kåravgift.

Du kan själv gå in i Ladok, via inloggning i Studentportalen, för att se dina resultat.

Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Granskning vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Kursvärdering

I början av kursen bör minst två studentrepresentanter ha utsetts för att tillsammans med lärarna genomföra kursvärderingen. Värderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.

Se följande mall för Kursvärdering i studentportalen.

Studentrepresentanter: Petter Miltén (milten) och Fredrik Hallhagen (frehallh). 

Gamla tentor

Se tidigare årgångar av kursen.

Tenta 190426 med lösningsförslag
Tenta 190117 med lösningsförslag