Aktuella meddelanden
Välkomna till kursen! Kursens schema finns i TimeEdit.
Länk till pingpong.
18/12:
Kort intro till Fredholms teori för lösbarhet av
integralekvationer: dimensionssatsen, dualitet,
Fredholmoperatorer, kompakta operatorer. Entydighet medför
existens för I+kompakt. Bevis av entydighet med hjälp av
enkelskiktpotential och Greens formel. Se
föreläsningsanteckningar 11/12, s. 7-14.
17/12:
Integralekvationer för inre och yttre Dirichlet och
Neumannproblem. Randvärden för skiktpotentialer.
Dubbelskiktpotentialen K och dess adjunkt K^* på randkurvan. Se
föreläsningsanteckningar från 11/12, s.4-7. Numerisk lösning med
dubbelskiktspotentialen: Matlabkoden jag använde finns här.
Se också 4.2 där för beskrivning av den använda
diskretiseringen.
14/12:
Övningar DC kap 4. Kelvintransformen 4.4. Uppgift 4.5, där
vi som extrauppgift visade omvändningen till medelvärdessatsen
med Greens formel. Uppg. 4.8: radiella lösningar till plana
Helmholtz beskrivs av Besselfuktioner. Potensserielösning,
Laplace i polära kooridinater.
11/12:
Harnacks olikhet för positiva harmoniska funktioner.
Randintegralekvationer för Dirichlet och Neumannproblemet. Föreläsningsanteckningar, med avslutande sidor, som
komplement till DC kap 5. Newtonpotential, enkel- och
dubbelskiktspotentialer. Tolkning i termer av monopoler och
dipoler. Detaljstudie av dipolpotentialens singulariteter i
planet. DC5.1.
10/12:
Medelvärdessatsen och starka maximumprincipen för harmoniska
funktioner: DC4.2. Motsvarande resultat för allmänna lösningar
till värmeledningsekvationen hittar den intresserade här
(ingår ej i kursen). Lösning av randvärdesproblem med
variabelseparation DC4.4 ingår i kursen, men tas inte upp på
föreläsning.. Greensfunktioner och Poissonkärna DC4.5. G:s
symmetri, DC sats 32. Beräkning av Poissonkärnan för cirkelskiva
genom spegling i cirkeln. Poissonkärnan, till skillnad från
fundamentallösningen, ger en approximitiv enhet på randen.
Positivitet hos Poissonkärnan.
7/12:
Ett finita differensmetoden-exampel med matlab och
parabolisk skalning på diskretiseringen: slät lösning för
t>0. Total kollaps bakåt i tiden. DC3:3: Maximumprincipen och
spegling. DC3:6: avtagande energi och entydighet. GF9.5.3: löser
en distribution u den elliptiska PDEn Delta u=f och f är en slät
funktion så är u inte bara en funktion utan helt slät.
4/12:
Värmekärnan och Cauchyproblemet på R^n för
värmeledningsekvationen. Oändlig utbredningshastighet och
släthet hos kaloriska funktioner. Laplaces ekvation, harmoniska
funktioner, fundamentallösningar till Laplace i planet och
rummet. Greens 3 identiteter. DC 3.3-4, 4.1-2.
3/12:
Värmeledningsekvationen kan inte lösas bakåt i tiden.
Maximumprincipen: bevis av svaga formuleringen. Entydighet och
stabilitet. Lösning av start och (icke-homogena)
randvärdesproblemet med Fourierserie. Sinusserie för Dirichlets
randvillkor. DC 3.1-3.2
30/11:
Vi räknade uppgifter på vågekvationen, DC kap. 2: 2.1
halvlinjen med friktion i ändpunkten. 2.6: superposition av
plana vågor för att matcha startdata. 2.17: Fourierserielösning.
Cosinusserie för Neumanns randvillkor.
27/11:
DC 2.3, Poissons formel, karakteristisk kon, Huygens princip
(bara i 3D, 5D,...), fördröjd potential, Duhamels princip.
Lösning till vågekvationen i planet. Ändlig
utbredningshastighet, reversibilitet, bevarande av energi. DC
övning 2.30: explicit lösning av en icke-linjär vågekvation med
startdatum exp(-x^2), shocks och vågor som bryter.
26/11:
d'Alemberts formel i en dimension: DC 2.1. Poissons formel
(2.23) i 3 dimensioner, DC 2.3: Vi räknar fram denna med
Fouriertransform, lösning av ODE för fix frekvens, och
inverstransform till Riemann-distributionen på sfär. Jämför
Coltons räkning s.70-71.
23/11:
Vi räknade uppgifter och kompletterade med teori från GF
kap. 9.2, 9.4: Multiplikation och faltning mellan testfunktion
och distribution, svag konvergens, Fouriertransformering av
tempererade distributioner. Uppgifter 9.1.4, 9.1.3, 9.2.5.
20/11:
Distributioner på R^n. Derivering i distributionsmening. GF
9.1. Ex: Diracdeltat i origo och längs kurvor.
Ex: Fundamentallösningarna
till Laplaces, värmelednings- och vågekvationen i två oberoende
variabler. Släthet utanför origo hos de två första, och ändlig
utbredningshastighet hos den sista. Deltats fysikaliska
innebörd: punktkälla.
16/11:
Sobolevrummen H^1 och H^1_0. Numeriskt exempel på FEM i
planet med bilinjära element. Se del 4.2 och FEMkod här.
CJ 1.16: Blandade randvillkor, 1D FEMelement för Neumann, CJ
2.11: Neumannproblemet, Poincarés olikhet. 2.3: Fjärde
ordningens ekvation, Naturliga och absoluta randvillkor.
13/11:
Svag/variations-formulering av Neumannproblemet. Naturliga
randvillkor. CJ 1.7. Existens av svaga lösningar i Hilbertrum.
Se mina anteckningar samt CJ
1.5-6, 2.1-2. Jag hann inte prata om Sobolevrummen.
12/11:
Dirichletproblemet och dess formulering som
variationsproblem och minimeringsproblem. Ekvivalens mellan
dessa under lämpliga förutsättningar. Svaga/starka lösningar.
Ändligdimensionell approximation av variationsproblemet: FEM.
CJ. 1.1-2, 1.4.
6/11:
1:a ordningens PDE: Integrering av karakterisk ODE ger
variabelbyte som förenklar PDEn till ODE. (DC1.2)
Räknade DC 1.2(b). 2:a ordningens PDE: Den kvadratiska formen
visar om PDEn är elliptisk/hyperbolisk/parabolisk. Genom
faktorisering av den kvadratiska formen och lösning av 1:a
ordningen PDE finner vi variabelbyte som transformerar PDEn till
kanonisk form. (DC 1.3) Räknade 1:7(c) och (b). Kommenterade men
hann inte med 1:9(a).
5/11:
Idag härledde jag värmeledningsekvationen (DC 1.1) och
vågekvationen (AR:1.4), samt Laplace/Poisson/Helmholtz ekvation.
Välställdhet och Dirichlet/Neumann randvillkor (AR 1.7). Jag
hann inte med att definiera normer på linjära funktionsrum, som
används för stabilitetsvillkoret. (DC s. 287 för de som inte
känner till detta.)
Lärare
Kursansvarig, föreläsare och övningsledare: Andreas Rosén
Labbhandledare: Maximilian Thaller
Kurslitteratur
Den obligatoriska litteraturen för kursen består av följande
två prisvärda böcker:
DC: David Colton, Partial Differential Equations - An
Introduction,Dover Publications, 2004
CJ:
Claes Johnson, Numerical Solution of Partial Differential
Equations by the Finite Element Method, Dover Publications,
2009
OBS: DC och CJ kan inte beställas från Cremona, utan
rekommendationen är att ni köper dom t ex från adlibris.
I kursen ingår en introduktion till distributionsteori, där vi kommer använda:
GF Gerald B. Folland: Fourier analysis and its
applications (kapitel 9)
PS: Peter Sjögren: Introduktion
till distributionsteorin
Förkunskaper till kursen innefattar kursen i Fourieranalys, där
GF var kurslitteratur. Det antas att ni fortfarande har denna
tillgänglig.
---
En del föresläsningsanteckningar kommer läggas upp här på kurshemsidan under kursens gång.
Mina föreläsningsanteckningar
(AR) från en liknande PDE-kurs, som ni kan ha nytta
av och som kommer användas i undervisningen.
Engelsk-svensk matematisk ordlista.
Program
Föreläsningar måndagar och tisdagar 10-12 i MA, fredagar 13-15 i FL51.
Måndagen den 19/11 föreläser M. Thaller och ger en introduktion
till de obligatoriska FEM-projekten.
(P) markerar att föreläsningen ifråga huvudsakligen ägnas åt
problemdemonstration.
Vecka |
Avsnitt och Innehåll |
---|---|
Mån 5/11 Tis 6/11 (P) |
DC Kapitel 1: Introduktion till PDE 1.1: Laplace, våg- och värmeledningsekvationerna 1.2: Lösning av 1:a ordningens PDE 1.3: Klassificering av 2:a ordningens PDE Välställda problem, start- och randvillkor. |
Mån 12/11 Tis 13/11 Fre 16/11 (P) |
CJ Kapitel 1 och 2: FEM 1.1-2: Variationsformulering, styvhetsmatris DC 4.1, 4.3: Greens 1:a, Dirichlet och Neumanns randvärdesproblem 1.5-1.6: Hilbertrummet L_2, Sobolevrum H^1 och H^1_0 1.7: Svaga formuleringar av randvärdesproblemen 2.1-2: Existens av svaga lösningar. Poincaré-olikheter Föreläsningsanteckningar |
Mån 19/11(FEM-projekt) Tis 20/11 Fre 23/11 |
GF kapitel 9, PS: Introduktion till
distributionsteorin 9.1: Svaga derivator, fundamentallösningar till PDE 9.2: Faltning, svag konvergens 9.4: Tempererade distributioner och Fourier transform 9.5: Regularitet av PDE lösningar |
Mån 26/11 Tis 27/11 Fre 30/11 |
DC Kapitel 2: Hyperboliska vågekvationen 2.1: d'Alemberts formel 2.3: Poissons formel, Huygens princip 2.4: Fouriers metod |
Mån 3/12 Tis 4/12 Fre 7/12 |
DC Kapitel 3: Paraboliska värmeledningsekvationen 3.1: Maximumprincipen 3.2: Fouriers metod 3.3: Fundamentallösning: värmekärnan 3.4: Släthet |
Mån 10/12 Tis 11/12 Fre 14/12 |
DC Kapitel 4: Elliptiska Laplace-ekvationen 4.1: Greens formler 4.2: Medelvärdesegenskap, maximumprincip 4.3: Randvärdesproblem 4.5: Fundamentallösning, Greensfunktioner Helmholtz ekvation |
Mån 17/12 Tis 18/12 |
DC Kapitel 5: Existens av lösningar till
randvärdesproblem. Randintegralekvationer 5.1: Enkel- och dubbelskiktspotentialer 5.2: Fredholm-integralekvationer 5.3: Lösning av randvärdesproblem Föreläsningsanteckningar: s. 1-11, 12-14 |
Rekommenderade övningsuppgifter
Vecka |
Uppgifter |
---|---|
1. PDE introduktion |
DC 1: 1-2,7-10 |
2. FEM |
CJ 1: 3,14,16,18, CJ 2: 3,6-11 |
3. Distributioner |
CJ 1.12, GF 9.1:3,4,7,8;
9.2:2,5,7,11; 9.4:5,14; 9.5:3,4,6 |
4. Vågekvationen |
DC 2: 1-7,10-12 |
5. Värmeledningsekv. |
DC 3: 1-7,15 |
6. Laplace ekvation |
DC 4: 1-4,6-10,27,30 |
7: Randintegraler |
DC 5: 1,3,11 |
Studieresurser
- Den viktigaste resursen är lärarna på kursen. Använd undervisningstiden till att fråga lärarna, speciellt på räkneövningarna. Ställa frågor via e-post är inte alls lika effektivt och lärare har inte alltid tid att besvara utan hänvisar hellre till räkneövningar.
- Mattesupporten är öppen för alla som studerar på Chalmers eller på Naturvetenskapliga fakulteten vid Göteborgs universitet.
- FUNKA hjälper dig som går på Chalmers och har behov av extra stöd pga någon funktionsnedsättning.
Datorlaborationer
Obligatoriskt moment på kursen är projektarbete om numerisk
lösning av PDE med FEM=finita element metoden.
Beroende på hur väl detta görs kan ni få 0-5p i bonus på tentan.
Mihaly Kovacs: Beskrivning av FEM
Referenslitteratur för Matlab
- Material utvecklat av MV som ger en kortfattad introduktion till Matlab
- MATLAB for Engineers, Holly More
Ger en introduktion till Matlab och kräver inledningsvis ingen matrisalgebra. Är utmärkt för självstudier. - MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap, Per
Jönsson
Kräver kunskaper i Matrisalgebra. Innehåller lite mer avancerade övningar och modelleringsuppgifter. Är utmärkt som referenslitteratur/uppslagsbok.
Kurskrav
Kursens syfte och lärandemål finns angivna i kursplanen.
Duggor
Inga på denna kurs.
Istället planeras två omgångar med inlämningsuppgifter med
tentarelevanta uppgifter. Ni studenter som väljer att delta i
detta moment lämnar in handskrivna lösningar på givna uppgifter,
och rättar sedan någon kurskamrats uppgifter med hjälp av
lösningsförslag och rättningsmall från examinator. Momentet är
inte obligatorisk, men rekommenderas starkt som ett effektivt
sätt att förbereda sig inför tentan och få insikt om vad som
krävs där.
Inlämningsuppgifter omgång 1
med deadline 3/12.
Lösningsförslag och rättningsmall: rättningen önskas
klar 7/12.
Inlämningsuppgifter omgång 2 med
deadline 17/12.
Lösningsförslag
Examination
1. Skriftlig tentamen med 7 uppgifter och betygsstegen
3: 20-29p, 4: 30-39p, 5: 40-50p. Inga hjälpmedel.
2. Obligatoriska projekt som redovisas genom skriftlig
inlämning. Se "datorlabbar" ovan. Beroende på hur väl dessa
genomförts erhålls 0-5 bonuspoäng på tentan.
Datum, tider och platser för tentamen finns i studentportalen.
Ordinarie tenta: 17/1 2019, kl.8.30-12.30.
Omtentor: 26/4, kl. 8.30-12.30 samt 19/8, kl. 14.00-18.00.
Rutiner kring tentamina
I Chalmers Studentportal kan du läsa om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers. Tänk på att du måste anmäla dig i tid till tentan, eftersom du annars inte får tenta.
Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation och kvitto på erlagd kåravgift.
Du kan själv gå in i Ladok, via inloggning i Studentportalen, för att se dina resultat.
Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat
granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på
kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter
granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska
vetenskapers studieexpedition, se
information om öppettider. Kontrollera att Du har fått
rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på
rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns
en blankett till hjälp.
Granskning vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers
studieexpedition, se
information om öppettider. Eventuella klagomål på
rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns
en blankett till hjälp.
Kursvärdering
I början av kursen bör minst två studentrepresentanter ha
utsetts för att tillsammans med lärarna genomföra
kursvärderingen. Värderingen sker genom samtal mellan lärare och
studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter
kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.
Se följande mall för Kursvärdering i studentportalen.
Studentrepresentanter: Petter Miltén (milten) och Fredrik Hallhagen (frehallh).
Gamla tentor
Se tidigare
årgångar av kursen.
Tenta 190819 med lösningsförslag
Tenta 190426 med lösningsförslag
Tenta 190117 med lösningsförslag