grupp: 2
namn1: Andreas Nilsson
namn2: Ola Lindqvist
************************************************************
Uppgift 1

Optimalt värde: 50
Optimal bas: x3, x5, x1, där x5 är slackvariabel i bivillkor 2.
x1=10
x2=0
x3=10


Uppgift 2

Fas 1
Vi ställer upp problemet med 3 slackvariabler, men ser att vi inte har en tillåten bas. Vi inför då en artificiell variabel x7 och minimerar z'=x7. Vi hittar en optimal bas x4, x6, x2, som blir vår startbas i fas 2.
Fas 2
Vi kör nu problemet, med startbas x4, x6, x2 och får en optimal lösning med värdet z=10 med basvariablerna x1, x4, x6.
Dvs.
x1=10
x2=0
x3=0
z=10


Uppgift 3

Vi ställer upp problemet, men vi hittar ingen given startbas och inför artificiella variabler.
Vi ser att vi inte kan hitta någon bas med de artificiella variablerna noll. Dvs. det finns ingen tillsåten bas i det ursprungliga problemet.


Uppgift 4

Vi formulerar dualen och löser problemet. Vi hittar en tillåten bas med x2, x3 och x4, men den är inte optimal. Vi kan inte hitta en optimal bas, eftersom problemet är obegränsat. Det ser vi genom att värdet på B^(-1)A(:,i) är negativ för alla i.



Uppgift 5

Vi löser problemet som tidigare och får optimal bas x2, x3, x4 med optimalt värde 35/2.
Dvs.
x1=0
x2=0
x3=5/2
z=35/2

Vi ser att en av basvariablerna har värdet noll. Det innebär att vi har degeneration.


Uppgift 6

Vi inför den nya variabeln och har en reducerad kostnad på -3/2 för den i den bas som var optimal för problem 5.
Vi löser problemet med den nya variabeln införd och får optimal bas x1, x6, x7.
Optimala värdet blir 56/3.
Dvs,
x1=5/2
x2=0
x3=0
x7=11/6
z=56/3

Vi har nu 3 bivillkor, men 4 variabler. Vi har därför ett underbestämt ekvationssystem. 
Vi får samma optimala värde med basen x1, x2 och x7, som ovan.
Dvs.
x1=13/6
x2=2/3
x3=0
x7=3/2
z=56/3

Alltså samma värde, men en ny bas, med nya värden.



Uppgift 7


Vi löser problemet genom att ändra högerledet i bivillkor 2 till 6. Vi löser problemet på nytt och får ett nytt optimalt värde z=19.
Skuggpriset fås då som delta(z)/delta(högerled) = (35/2-19) / (6-5) = 1.5.
Dvs. Skuggpriset är 1.5 för bivillkor 2.

Vi kan även räkna ut skuggpriset genom att titta på det duala problemet. Vi ställer därför upp det duala problemet och löser det. Vi får då ut att y2 blir 8/3, vilket är vårt sökta skuggpris.