grupp: top02-25
namn1: David Karlsson
namn2: Lina Jansson
************************************************************
1.	Optimalvärdet är z = 50

2.	FAS 1: 	Inför artificiell variabel a_1 och löser problemet
		min z = a_1
		då  2x_1 +  x_2 +  x_3 + s_1       = 30
		     x_1 + 2x_2 +  x_3 - e_1 + a_1 = 10
		    -x_1 + 2x_2 + 3x_3 + s_2       = 40
		     x_1, x_2, x_3, s_1, s_2, e_1, a_1 >= 0
		Vi får lösningen z = 0 då x_2 = 5, s_1 = 25, s_2 = 30 och 
		övriga variabler är lika med 0.
		Vår startbas i det ursprungliga problemet blir alltså 
		  b_1 = {x_2, s_1, s_2}.
	FAS 2:	Löser problemet
		min z = x_1 + 3x_2 + 2x_3
		då  2x_1 +  x_2 +  x_3 + s_1 = 30
		     x_1 + 2x_2 +  x_3 - e_1 = 10
		    -x_1 + 2x_2 + 3x_3 + s_2 = 40
		     x_1, x_2, x_3, s_1, s_2, e_1 >= 0
		med b_1 som startbas. Vi får lösningen z = 10.

3.	FAS 1: 	Inför artificiell variabel a_1 och löser problemet
		min z = a_1 + a_2
		då  -2x_1 + x_2 + x_3 + s_1       = 2
		    -3x_1       + x_3 - e_1 + a_1 = 1
		            x_2 - x_3 - e_2 + a_2 = 1
		    x_1, x_2, x_3, s_1, e_1, e_2, a_1, a_2 >= 0
		Optimallösningen är z = 1/2 vilket ger att problemet inte är 
		satisfierbart. Detta inses även lätt genom algebraiska 
		manipulationer.

4.	Lösningen är obegränsad.

5.	Med startbas {s_1, s_2, s_3} löses problemet 
		max z = 6x_1 + 4x_2 + 7x_3
		då   x_1 + 2x_2 + 3x_3 + s_1 = 8
		    2x_1 +  x_2 + 2x_3 + s_2 = 5
		    3x_1 + 3x_2 + 4x_3 + s_3 = 10
		    x_1, x_2, x_3, s_1, s_2, s_3 >= 0
	och optimalvärdet fås till z = 35/2, då x_3 = 5/2, s_1 = 1/2 och övriga 
	variabler är lika med 0.

6.	Vi inför x_4 och får problemet
		max z = 6x_1 + 4x_2 + 7x_3 + 2x_4
		då   x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 3x_4 + s_1 = 8
		    2x_1 +  x_2 + 2x_3        + s_2 = 5
		    3x_1 + 3x_2 + 4x_3 +  x_4 + s_3 = 10
		    x_1, x_2, x_3, x_4, s_1, s_2, s_3 >= 0
	Den reducerade kostnaden för x_4 i basen {x_1, x_3, s_1} är då 1 och 
	den nya optimallösningen är z = 56/3 då x_1 = 13/6, x_2 = 2/3, 
	x_4 = 3/2 och övriga variabler är lika med 0. Vi ser att samtliga 
	slackvariabler är 0 så även intuitivt borde det optimala målfunktions- 
	värdet öka.

7.	Skuggpriset för bivilkor 2 är 8/3, vilket är värdet av slackvariabeln 
	för bivillkor 2 i den optimala basen.
	Om högerledskoefficienten för bivillkor 2 ökas med en enhet till 6
	så bör målfunktionsvärdet öka med 8/3 till 64/3, om inget annat bivilkor
	sätter stopp för detta. Testkörning i matlab ger att det optimala mål-
	funktionsvärdet blir 20, dvs mindre än det vi förutsåg. Vi ser dock att
	detta beror på det tredje bivilkoret, som hindrar fortsatt expansion i
	x_4-ledd.