grupp: top02-51
namn1: Tobias Fries
namn2: Jonas Karlsson
************************************************************
Laboration 1 - Tillämpad optimering (Simplexmetoden)
Labgrupp 51 (top02-51)
Tobias Fries   md9frito@mdstud.chalmers.se
Jonas Karlsson md9karjo@mdstud.chalmers.se

Uppg. 1

Bas : [x1,x3,x5] (x5 slack)
x*  = [10 4 10]
z*  = 50

Uppg. 2

Får Fas 1-problemet

min x7
2x1 +  x2 + ...
 x1 + 2x2 +  x3 -  x5 +  x7 = 10
-x1 + 2x2 + ...
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7>=0 (x7 artificiell,x4-x6 slack)

Får optimum x7*=0 i basen x2,x4,x6

Fas 2 med startbas enligt ovan får :
Bas : [x1,x4,x6]
x*  = [10 10 50]
z*  = 10

Uppg. 3

Vi formulerar Fas 1-problemet

min x7+x8
-2x1 + ...             = 2
-3x1 +  x3 -  x5 +  x7 = 1
  x2 -  x3 -  x6 +  x8 = 1
Alla xi>=0 (x7,x8 artificiella)

Detta problem får optimalvärdet 0.5 med basen x2,x3,x7
och Fas 2-problemet är följaktligen ej lösbart. (Finns
ingen startpunkt)

Uppg. 4

min 2y~1 -y2 - y3
 2y~1 - 3y2 +  y4       =  4
 -y~1 +  y3 +  y5       = 10
  y~1 -  y2 +  y3 -  y6 =  4
y~1 = -y1
y~1,y2,...,y6>=0

Vi löste Fas 1-problemet, och fick obegränsat med startbaser, men
samtliga gav upphov till en obegränsad lösning i Fas 2, vilket stämmer
med teorin. P ej lösbar <= D obegr.

Uppg. 5

Bas : [x2,x3,x4] (x4 slack)
x*  = [0.5 2.5 0]
z*  = 17.5

Uppg. 6

Red. kostnad för nya variabeln, x7, är -1.5
Ny optimallösning är
Bas : [x1,x2,x7] eller [x1,x6,x7] 
x*  = [13/6 2/3 1.5] resp. [2.5 2/3 11/6]
z*  = 56/3
dvs varje konvexkombination av dessa extrempunkter är
en optimallösning.

Uppg. 7

y*=B^(-T)*c_b ger y*=[2/3 8/3 0]
Följaktligen är skuggpriset för bivillkor 2 = 8/3.
Ifall vi ändrar b(2) till 6 bör det nya målfunktionsvärdet
56/3+8/3=64/3. Nu råkar detta inte vara en tillåten lösning
med basen x1,x2,x7 eller x1,x6,x7. Däremot ger basen x1,x4,x7
ett nytt optimalvärde z*=20.