grupp: top02-5
namn1: Niklas Therning
namn2: Niklas Harrysson
************************************************************
---------------------------------------------
Grupp: top02-5
Niklas Therning - d97thern@dtek.chalmers.se
Niklas Harrysson - d97nicke@dtek.chalmers.se
---------------------------------------------

Uppgift 1:

Optimal bas xb = (x1,x3,x5) = (10,10,4) och detta gav
z* = 50


Uppgift2:

Villkor 2 gör att vi måste använda fas2-metoden för att hitta 
en initial bas. Vi fick då fram basen xb = (x2,x4,x6), där x4
är slack variabel i bivillkor 1 och x6 är slackvariabel i 
bivillkor 3.

Med denna bas som start fick vi den optimala lösningen till 
x1=10, x2=0, x3=0 som gav z* = 10.


Uppgift3:

Vi använde fas2-metoden för att hitta en initial bas eftersom 
(x1,x2,x3) inte är en tillåten lösning.

Det gick inte att hitta en initial bas. Problemet har alltså inget 
ändligt minimum.


Uppgift4:

Även det duala problemet hade inget ändligt minimum, vilket är konsistent
med svaret i uppgift 3.


Uppgift5:

Här kunde vi direkt använda slackvariablerna som bas.

Här visade det sig att det fanns två optimala xb
xb1 = (x2,x3,x4) och xb2 = (x1,x3,x4).

Vi fick då lösningen x1=0, x2=0, x3=5/2 som gav z* = 35/2


Uppgift6:

Om xb1 från uppgift5 används blir den reducerade kostnaden rc = -3/2,
om xb2 används blir rc = -1.

När vi optimerar om problemet får vi lösningen x1 = 13/6, x2 = 2/3, x3 = 0
och x4 = 3/2 som ger z* = 56/3.


Uppgift7:

Skuggpriset blir y2 = 8/3.

Den optimala basen i uppgift 6 var xb = (x1,x2,x4) = (13/6, 2/3, 3/2).
Eftersom inga element i xb är noll kommer basen inte att ändras
för små ändringar i b. Så om ändringen av b2 från 5 till 6 är en
liten ändring, kommer inte basen att ändras. Då är målfunktionens 
värde linjärt beroende av b, vilket i detta fall skulle innebära att 
värdet ökar med (6-5)*y2, dvs värdet blir 56/3+(6-5)*(8/3) = 64/3.

Vi kontrollerade detta med matlab, men fick då optimala värdet 20
och såg dessutom att variablerna i basen ändrades. Alltså är en ändring
av 1 inte en tilräckligt liten förändring.

Vi provade även att öka b2 med 1/2 istället för 1. Då fick vi en linjär
ökning och såg att basen inte ändrades.