grupp: 14
namn1: Jonas Hermansson
namn2: Gustav Pettersson
************************************************************
Jonas Hermansson 790115-5932
Gustav Pettersson 790727-8977

Uppgift 1
a BL:	startpunkt (10,10)	9 iterationer
	startpunkt (-5,-5)	9 iterationer
	startpunkt (-2,-3)	10 iterationer
	
 	Newton ger i alla punkter 1 iteration
 
 	I samtliga fall konvergerar losningen mot punkten (-2.25,-3.06)
 
b: 	Vi har en global minpunkt. inses latt geonm att se pa ekvationen och plotten.

c: 	Newtons metod bygger pa taylorutveckling till grad 2. Denna loses exakt och
   	da vi har en kvadratisk funktion kravs endast ett steg. Hessianen konstant.

Uppgift 2
a) 	BL: konvergarar mot (1.01,1.03) men nar ej avbrottskriteriet pa 200
	iterationer
	Newton(steg 1): konvergerar mot (1,1) med 3 iterationer
	newtons modifierade: konvergerar mot (1,1) med 6 iterationer
	newton(marquardt): konvergerar mot (1,1) med 6 iterationer
	
b)	Funktionen ar inte konvex. Inses av figuren da en linje dragen mellan
	tva punkter kan hamna under funktionsvardet. Vi kan alltsa inte
	garantera ett globalt optimum.

c)	starpunkt tex (-2,3) Newtons metoder konvergerar med mycket farre
	iterationer an BL. Newton(steg 1) tar minst iterationer, 6st. De andra
	tva likvardiga med 13 st.
	
Uppgift 3
a) 	Newtons(steg 1) fungerar inte for att Hessianen ar noll.
   	BL och LM konvergerar med 3 iterationer.
   
b) 	vi hittar en min punkt. Finns aven en max men den hittar vi ej ty
   	soker endast min.
	

DEL 2

uppgift 1
a)	X=fmincon('upg1f',[0 0],[],[],[],[],[-Inf -Inf],[Inf Inf],'upg1g') ger
	x1=0.6250 x2=1.250
	det ger att vart maxvarde ar -(-1.5625)
b)	vi har skrivit om problemet som ett min probelm med <= bivillkor
	KKT: 	1. Primal tillatenhet, OK ty g(xi)=-0.86 resp 0 <=0
		2. Komplementaritet lambda1=0 lambda2 godt.
		3. Dual tillatenhet. finns det lambda >=0 sa att x ar stationar
		punkt? Ja det finns det, lambda2=0.25
		KKT villkoren ar uppfyllda
	Konvex?	Hessianen till f(x) har tva egenvarden som bada ar 3. Alltsa ar
		den positivt definit, dvs vi har en konvex funktion. Egenvarden
		till hessianen for g1 ar 0 och 2, dvs g1 konkav funktion.
		Hessianen for g2 ar nollmatrisen, dvs g2 konkav. Detta innebar
		att mangden {x|g(x)<=0} ar konvex.
	Alltsa!	Konvex funktion pa konvex mangd och KKT uppfyllda, vi kan
		garantera ett globalt optimum.
		
		
uppgift 2
	Vi undersokte problemet i MatLab:s Optimization Tolbox och anvande
	punkterna (0,0), (1,1), (-1,-1), (3.7,0), (10,10), (-10,10), (10,-10)
	och (-10,-10). (0,0) gav ingen mojlig losning; (1,1) och (10,10) gav
	optimala punkten (3.4,1,2); (-1,1), (-10,10), (10,-10) och (-10,-10) gav
	den optimala losningen (-3,-2); och (3.7,0) gav punkten (3.6056,0). Av
	dessa ar punkten (-3,-2) den basta, da den ger vardet -3. 
	
	Vi kan genom att studera forsta bivillkoret konstatera att det minsta x1
	vardet som ar mojligt for detta ar -3. x2 blir da -2 och dessa varden
	kan sedan sattas in i bivillkor 2. Detta stammer och vi har alltsa ett
	globalt min.

Uppgift 3

1.	problem 2: IPA ger optimal punkt (2.3,2.1), EPA ger (4.6,4.6)
	problem 3: IPA ger optimal punkt (2,2) EPA ger (-3.5,3.5)
2.	Metoderna konvergerar mot globalt optimum forutom for IPA pa problem 3
	som konvergerar mot en sadelpunkt.
3.	problem 1: globalt min och globalt max finns.
	problem 2: globalt max, globalt min och lokala optima finns.
	problem 3: globalt min, globalt max och sadelpunkt finns.