grupp: 22 namn1: Gilgamesh Moussa namn2: Eric Åkervall, Viktor Kouzmine ************************************************************ LABORATION 2 Laboranter: Gilgamesh Moussa 801022-0070 Eric Åkervall 790522-5152 Victor Kouzmine ------------------------------------------------------------------------------------------- DEL 1 ------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift 1 a) Metoderna konvergerar mot punkten (-2.25, -3.0625). Denna, den exakta lösningen, erhålles med hjälp av Newton. Vid beräkning med BL erhålles ett litet fel då avbrottsvilkoret (gradientlängden) uppfylls innan metoden funnit rätt punkt. BL metoden är alltså mindre exakt. Vid angivelse av andra startpunkter erhålles små skillnader i lösningarna med BL metoden. Även antalet iterationer skillde sig mellan nio och tio stycen beroende på vald startpunkt. b) Funktionen är konvex och lösningen är med i definitionsmängden. Lösnigen är alltså global. c) Vid beräknandet av nästa punkt (första steget) erhålles alltid en konstant som är oberoende av vilken startpunkt som väljs. Därför konvergerar alltid Newtons metod i en iteration. ------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift 2 a) Metoderna konvergerar mot punkten (1, 1). Med BL metoden krävs mer än 200 iterrationer vilket var vår begränsning. Newton steg 1 kräver minst iterationer (5 st) och de andra metoderna kräver något fler (13 st.) iterrationer. b) Funtionen består av kvadratiska och linjära komponenter. Den är därmed konvex och lösningen är en global lösning. c) Med andra startpunkter konvergerade lösningarna mot samma punkt. Dock erhölls ofta ett större fel än tidigare med BL metoden. Newton steg 1 visade sig hela tiden kräva minst iterrationer. ------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift 3 a) Värdena i Jakobianen går mot oändligheten då startpunkten går mot noll. Därför kan ej startpunkten (0, 0) väljas vid lösning med Newton. Newton marquart ger en lösning som går mot (3, 1) efter tre iterationer. Funktionsvärdet är där like med -58. b) Fyra stationära punkter hittades. Av dessa var två sadelpunkter, ett lokalt minima och ett lokalt maxima. ------------------------------------------------------------------------------------------- DEL2 ------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift 1 a) optimal pkt. vid (0.625, 1.25), funk.värde=-1.5625 b) KKT villkoren: 1-4x(1) + x(2) -2lambda(1)*x(1)+2lambda(2) = 0 2-2x(2)+x(1)+lambda(1)-lambda(2) = 0 lamda(1) = 0 lambda(2) = 0.125 lambda >= 0 Funktionen är konvex och även bivillkoren är konvexa. => Problemet är konvext Den erhållna lösningen är alltså ett globalt max. ------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift 2 a) De olika startpunkterna gav följande resultat: Start pkt. Opt.pkt. funk.värde Lambda ------------------------------------------------------------------------------------ (0, 0) ----------- Lösning saknas -------- (1, 1) (3.4, 1.2) 3.4 l(1)=0.075, l(2)=0.2 (-1, -1) (-3.0, -2.0) -3.0 l(1)=0.125 (3.7, 0) (3.6056, 0) 3.6056 l(2)=3.6056 Punkten (-3.0, -2.0) är det bästa resultatet. Funktionen är konvex och bivillkoren är konkava. => Problemet är konvext Vår lösning är global. ------------------------------------------------------------------------------------------- DEL 3 ------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift 1 Lösnings metod Problem Konvergerar mot -------------------------------------------------------- EPA 2 (3.20, 0.70) IPA 2 (3.20, 0.70) EPA 3 (-3.5, 3.5) IPA 3 (-3.5, 3.5) ------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift 2 Metoderna konvergerar mot ett globalt minimum, vilket ligger på kanten av def. området. ------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift 3 I problem 3 fanns två optimala punkter med samma fkt. värde. I problem 2 hittade vi endast en optimal pkt.