grupp: 53
namn1: Peter Strand
namn2: Truls Bengtsson
************************************************************
Laboration 2
Grupp 53
Truls Bengtsson
Peter Strand

DEL I:

Uppgift 1)

 a. Startpunkt (10,10):
     BL: (-2.2491, -3.06255) efter 9 iterationer
     Newton: (-2.25, -3.0625) efter 1 iteration
    Startpunkt (5,5):
     BL: (-2.24945, -3.06191) efter 8 iterationer
     Newton: (-2.25, -3.0625) efter 1 iteration
 b. Ja, kvadratisk funktion har bara ett optimum.
 c. Det finns inga fler termer i Taylorutvecklingen
    efter Hessian-termen, och således kan epsilon
    bestämmas utan vidare iteration.

Uppgift 2)

 a. Alla metoder konvergerar mot (1,1), men brantaste
    lutningsmetoden går väldigt långsamt.
    Fem iterationer krävs för newton med steg 1, och 13
    för de andra newtonvarianterna.
 b. Ej konvex. Detta är optimum, då funktionens gradtal
    (två resp. fyra) inte tillåter några andra
    extrem-kurvor.
 c. Andra startpunkter beter sig likartat med den givna.

Uppgift 3)

 a. Hessianen saknar invers i den givna startpunkten.
    Marquardts modifierade variant använder inte 
    Hessianen utan Jakobianen, vilken är skild från noll
    och går alldeles utmärkt att använda.
 b. Ett lokalt minimum (3, 1), ett lokalt maximum
    (-3, -1), två sadelpunkter (-3, 1), (3, -1).


Del II:

Uppgift 1)

 a. Problemet löst. Punkt: (0.6250, 1.2500)
 b. Z(x*)^T * grad(f(x*)) = 
    [1, 2] [-0.250, 0.125]^T = 0
 
    lambda* = (((AA^T)^-1)A)grad(x*) = [0, 0.125] >= 0

    lambda*^T g(x*) = [0, 0.1953] != 0

    Därmed observerar vi att optimalitetsvillkoret inte
    är uppfyllt och därmed kan inte punkten vara något
    optimum.


 Uppgift 2)

    Vi använde toolboxen fmincon som gav följande 
    resultat:

    Startpunkt:         Funnen punkt:
    (0.0, 0.0)          (0.0, 0.0)
    (1.0, 1.0)          (3.4, 1.2)
    (-1.0, -1.0)        (-3.0, -2.0)
    (3.7, 0)            (3.6056, 0.0)
    (1.8, 7.2)          (3.4, 1.2)

    Toolboxen kan förefalla illa vald, då väldigt
    suboptimala lösningar hittats i de flesta fall. Vi
    misstänker att det är svårt att matematiskt finna
    ett globalt minima trots att det borde finnas om
    man betraktar problemsystemet från en geometrisk
    vinkel.
    
Del III:

Uppgift 1)

    Exempel 2 med ELP konvergerar mot (0.7, 0.75)
    Exempel 3 med ELP konvergerar mot (3.54, -3.54)

    Exempel 2 med ILA konvergerar mot (3.2, 0.75)
    Exempel 3 med ILA konvergerar mot (3.54, -3.54)

Uppgift 2)

    I exempel 2 gick båda metoderna mot vars ett 
    lokalt optimum och inte det globala då det 
    fanns ett annat lokalt optimum inom de angivna 
    gränserna med ett lägre värde. I exempel 3
    fann båda metoderna samma optimum som var 
    globalt sådant under de givna begränsningarna.
    Det fanns förövrigt två sådana symetriska globala
    optimum som låg på x1 + x2 = 0 axeln.

Uppgift 3) 

    I exempel 2 fanns som sagt ett lägre optimum som 
    låg i den övre vänster hörn c:a (1/3, 3.1). I
    exempel 3 fanns symmetriska optimum enligt
    uppgift 2.