grupp: 8 namn1: Ulrika Estenberg namn2: Handan Dogramaci ************************************************************ Gruppnummer 8 Handan Dogramaci Ulrika Estenberg Del 1 Uppgift 1 Metoderna konvergerar mot punkten (-2.25, -3.06) med minvärdet -11.1562. För brantaste lutningsmetoden krävs 9 iterationer och för Newton krävs endast 1 iteration. Det är ett globalt min eftersom funktionen är konvex. Vi har tittat på Hessianen till problemet och sett att den är positivt definit. Newton konvergerar i en iteration för att vi har en kvadratisk funktion. Uppgift 2 Brantaste lutningsmetoden hinner inte konvergera mot en punkt på de 200 iterationerna som är max. Newtons metod konvergerar mot punkten (1,1) på 5 iterationer med minvärde 2.9716e-25. Newtons modifierade metod konvergerar mot punkten (1,1) på 13 iterationer med minvärdet 1.6535e-09. Newton (Marquardt) metoden konvergerar mot punkten (1,1) på 13 iterationer med minvärdet 1.6535e-09. Funktionen är inte konvex, vilket man kan se i 3D bilden eller genom att studera egenvärden till Hessianen. Nej, den är ej ett globalt optimum. Uppgift 3 Newtonriktningen är ej descentriktning. Vi hittar 4 st stationärpunkter. Sadelpunkter i punkterna (3,-1) och (-3,1). Maxpunkt i (-3,-1) och minpunkt i (3,1). Minpunkten hittas lätt och även sadelpunkten (3,-1) med de båda metoderna. Maxpunkten och sadelpunkten i (-3,1) hittas enbart om dessa punkter väljs som startpunkter. DEL 2 Uppgift 1 Funktionen har sitt max i (0.6250, 1.25). KKT-villkoren har tecknats och lambda2 beräknats till 0.125. KKT villkoren är uppfyllda med detta lambda2. Dessutom är funktionen konvex. Detta har vi förvissat oss om genom att titta på Hessianen vilken har positiva egenvärden för det ekvivalenta minproblemet. Uppgift 2 Vi har löst problemet med fmincon från olika punkter. Den bästa punkten att starta i är (-1,-1) vilket ger optimalpunkten (-3,-2). Vid start i (0,0) blir optimalpunkten (0,0). Startpunkten ligger utanför området och KKT villkoren är ej uppfyllda för denna optimalpunkt. Startpunkten (1,1) blir den optimala punkten (3.4,1.2) vilket är skärningen mellan de båda bivillkoren. Med start i punkten (3.7,0) ges optimalpunkten (3.0656,0) vilket ligger precis på bivillkor 2. Vid start i punkten (3.9,0) hittar vi åter den optimala punkten (-3,-2) och det gör vi även vid start i (3.3,0). Mellan dessa startpunkter blir optimalpunkten fortfarande (3.0656,0). DEL 3 Uppgift 1 Vi har provat metoderna för olika straff och fått följande resultat. Metod ett konvergerar mot (0.6799,0.7478) och (0.445,3.165) för problem 2. Metod ett konvergerar mot (3.5356,-3.5356) för problem 3. Metod två konvergerar mot (3.221,0.75) och (0.6799,0.7478) för problem 2. Metod två konvergerar mot (3.5356,-3.5356) och (-3.5356,3.5356) för problem 3. Uppgift 2 Genom studering av plottarna för funktionerna kunde vi se att funktion 3 har globala min. Däremot kunde vi inte avgöra om funktion 2 hade globala eller lokala min. De båda punkter är globala min för funktion 3. Uppgift 3 Genom att studera plottarna av funktionerna har vi konstaterat att funktionerna har följande optima. Funktion 2 har en maxpunkt. Funktion 3 har en sadelpunkt, två maxpunkter och två minpunkter. Sadelpunkten och maxpunkterna hittades ej med straffmetoderna.