grupp: top02-25
namn1: Lina Jansson
namn2: David Karlsson
************************************************************
Obegränsad optimering
1.a
BL (10,10) 	=> 	f(x) = -11.1562
			x    = (-2.2491,-3.06255)
			antal iterationer    = 5

Newton (10,10) 	=>	f(x) = -11.1562
			x    = (-2.25,-3.0625)
			antal iterationer    = 1

BL (-5,-5)	=>	f(x) = -11.1562
			x    = (-2.25225,-3.06234)
			antal iterationer    = 9

Newton (-5,-5) 	=>	f(x) = -11.1562
			x    = (-2.25,-3.0625)
			antal iterationer    = 1
Metoderna tycks konvergera mot (-2.25,-3.0625).

1.b
Både lokalt och globalt minimum.

1.c
Funktionen är kvadratisk och Newtons metod konvergerar i ett steg för kvadratiska problem.

2.a
BL konvergerar inte på tillåtet antal iterationer.

Newton (steglängd 1) (-1.5,-1) =>	f(x) = 2.9716 * 10^-25
					x    = (1,1)
					antal iterationer    = 5

Nw (modifierad) (-1.5,-1) =>	f(x) = 1.6535 * 10^-9
				x    = (1.00002,1.00003)
				antal iterationer    = 13

Nw (Marquardt) (-1.5,-1) =>	f(x) = 1.6535 * 10^-9
				x    = (1.00002,1.00003)
				antal iterationer    = 13
Metoderna tycks konvergera mot (1,1).

2.b
Funktionen är inte konvex.

3.a
Hessianen i startpunkten är singulär. Levenberg-Marquards modifiering fungerar dock bättre än BL

3.b
Alla typer av stationära punkter förekommer.



Matlabs optimeringstoolbox
1.a
Matlab ger lösningen x=(0.625,1.25), bivilkor 2 aktivt vid start i (0,0). Målfunktionsvärdet är då 1.5625.

1.b
KKT-vilkor
(i)	xgrad(L(x,l)) = grad(x1-2x1^2+2x2-x2^2+x1*x2) - l1*grad(x1^2-x2) + l2*grad(2x1-x2) = (1-4x1+x2, 2-2x2+x1) - l1*(2x1,1) + l2*(2,-1) = 0
(ii)	l1 > 0, l2 > 0
(iii)	l1*(x1^2-x2) = 0, l2*(2x1-x2) = 0
(iv)	x1^2-x2 > 0, 2x1-x2 > 0
funktionen är kvadratisk och därmed konvex och bivillkoren är konkava, så problemet är konvext. Eftersom lösningen är ett lokalt minimum så är det då även ett globalt minimum.

2
  x 		f(x)		Kommentar
-----------------------------------------------------------------------
(0,0)		(0,0)		(ligger utanför det tillåtna området)
(1,1)		(3.4,1.2)	(tillåten punkt 2 aktiva bivilkor)
(-1,-1)		(-3,-2)		(tillåten punkt 2 aktiva bivilkor)
(-3.7,0)	(3.6056,0)	(tillåten punkt, inga aktiva bivilkor)
(2,-1)		(-3,-2)		(samma som (-1,-1) )
(1,-2)		(1,-4)		(tillåten punkt, inga aktiva bivilkor)
-----------------------------------------------------------------------
Bästa målfunktionsvärde är -3 för startpunkter (-1,-1) eller (1,-2).
Problemet är inte konvext så det är inte möjligt att garantera ett globalt optimum.



Straff- och barriärmetoder
1
För problem 2:
Extern straffmetod konvergerar mot (ungefär) (2.6,2.6) i x1,x2-planet.
Intern straffmetod konvergerar mot (3.2220, 0.7500) i x1,x2-planet.
För problem 3:
Extern straffmetod konvergerar mot (3.5355,-3.5355) i x1,x2-planet.
Intern straffmetod konvergerar mot (-3.5355,3.5355) i x1,x2-planet.


2
Problem 2:
Extern straffmetod får målfunktionsvärde 2.6807		(lokalt tillåtet optimum).
Intern straffmetod får målfunktionsvärde 0.2524		(globalt optimum).

Problem 3:
Extern straffmetod får målfunktionsvärde -12.4998	(globalt optimum).
Intern straffmetod får målfunktionsvärde -12.4998	(globalt optimum).

3
Problem 2:
Det saknas lokala optima. Därför måste eventuella optima vara randpunkter till det tillåtna området. Vi har hittat ett sådant.
Problem 3:
+-(3.5355,-3.5355) är de enda tillåtna optima som existerar.